BAC 2026: monotonia funcțiilor prin derivată, pas cu pas

Studiul monotoniei apare în exercițiile de analiză matematică și te ajută să răspunzi la o întrebare simplă: unde crește și unde descrește o funcție? La BAC sau la admitere, răspunsul nu se obține privind doar formula funcției, ci analizând semnul derivatei pe intervale potrivite.

Vestea bună este că metoda are o structură clară. Dacă stabilești corect domeniul, calculezi derivata și construiești tabelul de semne, concluzia devine ușor de formulat. În acest articol, parcurgem metoda și vedem de ce unele scurtături pot duce la răspunsuri greșite.

Ce legătură există între derivată și monotonie?

Intuitiv, derivata descrie felul în care se modifică valoarea funcției în apropierea unui punct. O derivată pozitivă indică o tendință de creștere, iar una negativă indică o tendință de descreștere.

Pentru o funcție derivabilă pe un interval $I$, folosim următoarele criterii:

• dacă $f'(x)>0$ pentru orice $x\in I$, atunci $f$ este strict crescătoare pe $I$;
• dacă $f'(x)<0$ pentru orice $x\in I$, atunci $f$ este strict descrescătoare pe $I$;
• dacă $f'(x)=0$ pentru orice $x\in I$, atunci $f$ este constantă pe $I$.

Cuvântul interval contează. Nu poți aplica automat concluzia pe un domeniu format din două intervale separate de un punct în care funcția nu este definită.

Ce înseamnă „strict crescătoare”?

O funcție este strict crescătoare pe un interval dacă, pentru oricare două numere $x_1<x_2$ din acel interval, avem $f(x_1)<f(x_2)$.

Așadar, monotonia compară valorile funcției, nu semnul lor. O funcție poate fi crescătoare și poate avea numai valori negative pe intervalul studiat.

Metoda de rezolvare în cinci pași

1. Stabilește domeniul de definiție

Înainte să derivezi, verifică restricțiile formulei:

• numitorii trebuie să fie diferiți de zero;
• expresiile de sub radicalii de ordin par trebuie să fie nenegative;
• argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive.

Domeniul îți arată unde există funcția. Separat, trebuie să verifici unde este derivabilă: de exemplu, existența unei valori la capătul unui interval nu garantează existența derivatei acolo.

2. Calculează derivata

Aplică regulile de derivare și simplifică expresia fără să pierzi restricțiile domeniului. Pentru studiul semnului, forma factorizată este adesea mai utilă decât forma dezvoltată.

De exemplu, expresia $3(x+1)(x-3)$ îți arată imediat unde se anulează derivata și ce factori trebuie analizați.

3. Identifică punctele care separă intervalele

Rezolvă ecuația $f'(x)=0$. Notează și punctele unde derivata nu există, precum și punctele excluse din domeniul funcției.

Aceste categorii nu trebuie confundate. Un punct exclus din domeniu poate separa intervalele de studiu, dar nu poate fi punct de extrem al funcției.

4. Determină semnul derivatei

Așază punctele în ordine crescătoare și studiază semnul derivatei pe fiecare interval. Poți folosi semnele factorilor sau, după ce justifici că semnul este constant pe intervalul respectiv, o valoare de test.

5. Scrie concluzia cerută

Transformă semnele în informații despre funcție: „plus” înseamnă creștere, „minus” înseamnă descreștere. Dacă se cer extremele, calculează și valorile funcției în punctele corespunzătoare.

Exemplu rezolvat pas cu pas

Să se determine intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$.

Pasul 1: domeniul și derivata

Funcția este polinomială, deci este definită și derivabilă pe $\mathbb{R}$.

Derivăm fiecare termen:

$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3)$.

Factorizarea ne permite să studiem semnul fără calcule complicate.

Pasul 2: zerourile derivatei

Rezolvăm ecuația $3(x+1)(x-3)=0$ și obținem $x=-1$ sau $x=3$.

Cele două numere împart axa reală în trei intervale: $(-\infty,-1)$, $(-1,3)$ și $(3,+\infty)$.

Pasul 3: tabelul de semne

Factorul $3$ este pozitiv, deci semnul derivatei depinde numai de produsul $(x+1)(x-3)$.

Poziția lui $x$	$(-\infty,-1)$	$-1$	$(-1,3)$	$3$	$(3,+\infty)$
Semnul lui $f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
Variația lui $f$	crește	maxim local	descrește	minim local	crește

Pe primul interval, ambii factori sunt negativi, deci produsul este pozitiv. Între rădăcini, factorii au semne opuse. După $3$, ambii sunt pozitivi.

Pasul 4: intervalele de monotonie

Funcția este strict crescătoare pe $(-\infty,-1)$ și pe $(3,+\infty)$, respectiv strict descrescătoare pe $(-1,3)$.

Deoarece funcția este continuă în punctele de separare, putem include capetele finite: intervalele maximale de monotonie sunt $(-\infty,-1]$, $[-1,3]$ și $[3,+\infty)$, cu sensurile indicate mai sus.

Faptul că derivata este zero la un capăt nu anulează monotonia strictă pe interval.

Pasul 5: extremele locale

În $x=-1$, derivata trece de la pozitiv la negativ. Prin urmare, avem un maxim local, cu valoarea:

$f(-1)=-1-3+9+2=7$.

În $x=3$, derivata trece de la negativ la pozitiv. Avem un minim local, cu valoarea:

$f(3)=27-27-27+2=-25$.

Punctele de pe grafic sunt $(-1,7)$ și $(3,-25)$. Acestea sunt extreme locale, nu globale: funcția cubică este nemărginită atât superior, cât și inferior pe $\mathbb{R}$.

Atenție la funcțiile cu domeniul întrerupt

Considerăm $g(x)=\frac{x+1}{x-2}$, cu domeniul $D_g=\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

Derivata este $g'(x)=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2)^2}=\frac{-3}{(x-2)^2}<0$ pentru orice $x\ne2$.

Concluzia corectă: funcția este strict descrescătoare pe fiecare dintre intervalele $(-\infty,2)$ și $(2,+\infty)$.

Nu este însă strict descrescătoare pe întregul domeniu. De exemplu, $1<3$, dar $g(1)=-2<4=g(3)$, contrar inegalității cerute de descreștere. Acest exemplu arată de ce restricțiile domeniului trebuie păstrate până la final.

Greșeli frecvente

• Studiezi semnul funcției în locul semnului derivatei. Pentru monotonie, analizezi $f'(x)$, nu $f(x)$.
• Declari extrem orice zero al derivatei. Condiția $f'(a)=0$ nu este suficientă. Verifică schimbarea de semn.
• Uiți punctele excluse din domeniu. Acestea separă intervalele și nu pot fi incluse în răspuns.
• Confuzi abscisa cu valoarea extremului. În exemplul nostru, $-1$ este abscisa maximului local, iar $7$ este valoarea acestuia.
• Scrii „maxim global” fără justificare. Trecerea derivatei de la plus la minus indică un maxim local în situația analizată, nu automat unul global.

La final, verifică dacă intervalele tale acoperă toate porțiunile relevante ale domeniului și dacă sensurile de variație corespund semnelor din tabel.

Întrebări frecvente

Dacă derivata este zero într-un punct, funcția nu mai poate fi strict crescătoare?

Ba da. Funcția $f(x)=x^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deși $f'(0)=0$. Anularea derivatei într-un punct izolat nu înseamnă că funcția este constantă pe un interval.

Orice punct în care derivata se anulează este punct de extrem?

Nu. Pentru $f(x)=x^3$, derivata $f'(x)=3x^2$ este pozitivă de ambele părți ale lui $0$. Funcția continuă să crească, deci originea nu este punct de extrem. De aceea, tabelul de semne este esențial.

Trebuie să calculez limite pentru a determina monotonia?

Nu întotdeauna. Pentru intervalele de monotonie, domeniul și semnul derivatei sunt de regulă suficiente în exercițiile uzuale. Limitele devin utile când se cere un studiu mai amplu: comportarea la capetele domeniului, asimptote, imaginea funcției sau reprezentarea grafică.

Cum fixezi metoda înainte de examen

Rezolvă succesiv un polinom, o funcție rațională și o funcție cu logaritm. Pentru fiecare, păstrează aceeași ordine: domeniu, derivată, puncte de separare, semne, concluzie. Nu grăbi ultimul pas: un calcul corect valorează mai mult când răspunsul precizează exact intervalele și tipul extremelor.