Ecuații logaritmice: cum stabilești domeniul și elimini soluțiile false

Ecuațiile logaritmice pot părea simple: aplici o formulă, obții o ecuație de gradul al doilea și calculezi rădăcinile. Totuși, tocmai aici apare o capcană importantă: nu orice rădăcină a ecuației algebrice este și soluție a ecuației inițiale.

Pentru pregătirea de BAC 2026 sau pentru o admitere care include această temă, ai nevoie de o rutină sigură: condiții de existență, transformări corecte, rezolvare, verificare. Vom construi această rutină pe exemple concrete, astfel încât să o poți folosi atât la exerciții cu redactare, cât și la grile.

Ce verifici înainte să faci primul calcul

Logaritmul $\log_a b$ este definit în mulțimea numerelor reale dacă sunt îndeplinite simultan condițiile:

• $a>0$;
• $a\ne 1$;
• $b>0$.

Numărul $a$ este baza, iar $b$ este argumentul logaritmului. Într-o ecuație cu baza numerică validă, de exemplu $2$, $3$ sau $10$, verifici doar pozitivitatea argumentelor. Dacă baza conține necunoscuta, trebuie să impui și condițiile asupra bazei.

De exemplu, pentru $\log_2(x-1)$ trebuie să ai $x>1$. Pentru $\log_x 4$, condițiile sunt $x>0$ și $x\ne 1$.

Condițiile se impun simultan

Dacă ecuația conține mai mulți logaritmi, toate argumentele trebuie să fie pozitive în același timp. Așadar, faci intersecția, nu reuniunea condițiilor.

Pentru expresia $\log_2(x-1)+\log_2(5-x)$ obții:

• $x-1>0$, deci $x>1$;
• $5-x>0$, deci $x<5$.

Domeniul de lucru este $D=(1,5)$. Orice valoare din afara acestui interval este exclusă, indiferent cât de bine pare să se potrivească într-o ecuație obținută ulterior.

Formulele pe care le folosești și limitele lor

Pentru $a>0$, $a\ne 1$ și argumente pozitive, ai proprietățile:

• $\log_a u+\log_a v=\log_a(uv)$;
• $\log_a u-\log_a v=\log_a\left(\frac{u}{v}\right)$;
• $\log_a(u^k)=k\log_a u$, dacă $u>0$.

De asemenea, definiția logaritmului oferă echivalența $\log_a u=c\iff u=a^c$.

Dacă doi logaritmi au aceeași bază validă, atunci $\log_a u=\log_a v\iff u=v$, cu condiția ca $u$ și $v$ să fie pozitive. Această proprietate funcționează și pentru $0<a<1$: funcția logaritmică este injectivă și în acest caz.

Nu există o formulă care să transforme $\log_a(u+v)$ în suma logaritmilor. Formulele de mai sus se referă la produs, cât și putere, nu la suma argumentelor.

De ce domeniul se păstrează după transformare

Din $\log_a u+\log_a v$ poți trece la $\log_a(uv)$ numai când $u>0$ și $v>0$. Condiția $uv>0$ nu este suficientă pentru expresia inițială: produsul poate fi pozitiv și când ambii factori sunt negativi.

Prin urmare, o formulă poate simplifica scrierea, dar nu îți permite să lărgești domeniul stabilit la început.

Exemplu rezolvat pas cu pas

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația:

$\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$.

Pasul 1: stabilești condițiile de existență

Argumentele trebuie să fie strict pozitive:

$x-1>0$ și $x-3>0$.

Intersecția condițiilor conduce la $x>3$. Scriem $D=(3,+\infty)$ și păstrăm această restricție până la final.

Pasul 2: unești logaritmii

Pe domeniul stabilit, ambii factori sunt pozitivi, deci putem aplica formula sumei:

$\log_2\bigl((x-1)(x-3)\bigr)=3$.

Folosind definiția logaritmului, obținem:

$(x-1)(x-3)=2^3=8$.

Pasul 3: rezolvi ecuația algebrică

Dezvoltăm produsul și aducem termenii în același membru:

$x^2-4x+3=8$, deci $x^2-4x-5=0$.

Factorizăm:

$(x-5)(x+1)=0$.

Rezultă două valori candidate: $x=5$ și $x=-1$.

Pasul 4: filtrezi și verifici

Condiția $x>3$ păstrează doar valoarea $x=5$. Valoarea $-1$ este exclusă, deoarece argumentele logaritmilor inițiali ar fi negative.

Verificăm soluția acceptată în ecuația inițială:

$\log_2(5-1)+\log_2(5-3)=\log_2 4+\log_2 2=2+1=3$.

Prin urmare, mulțimea soluțiilor este $S=\{5\}$. Observă că ecuația algebrică are două rădăcini, dar ecuația logaritmică are o singură soluție.

Când folosești substituția

Dacă același logaritm apare la puteri diferite, o substituție poate transforma exercițiul într-o ecuație familiară. Să rezolvăm:

$(\log_2 x)^2-3\log_2 x+2=0$.

Mai întâi impunem $x>0$. Notăm apoi $t=\log_2 x$ și obținem:

$t^2-3t+2=0$, adică $(t-1)(t-2)=0$.

Așadar, $t=1$ sau $t=2$. Acestea sunt însă valorile necunoscutei auxiliare, nu răspunsurile finale. Revenim la $x$:

• dacă $\log_2 x=1$, atunci $x=2$;
• dacă $\log_2 x=2$, atunci $x=4$.

Ambele valori respectă domeniul, deci $S=\{2,4\}$. În acest exemplu, $t$ poate fi orice număr real; nu trebuie să îi impui condiția $t>0$. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv, nu valoarea logaritmului.

Atenție la pătratele din argument

Compară expresiile $\log_2(x^2)$ și $2\log_2 x$. Prima este definită pentru $x\ne 0$, iar a doua doar pentru $x>0$. Așadar, ele nu au același domeniu.

Formula valabilă pentru orice $x\ne 0$ este:

$\log_2(x^2)=2\log_2|x|$.

De exemplu, ecuația $\log_2(x^2)=2$ conduce la $x^2=4$, deci are soluțiile $x=-2$ și $x=2$. Dacă ai înlocui nejustificat membrul stâng cu $2\log_2 x$, ai pierde soluția negativă.

Este un exemplu util de reținut: transformările greșite pot introduce soluții false, dar pot și elimina soluții corecte.

Greșeli frecvente

• Scrii argumentul mai mare sau egal cu zero. Condiția este strictă: logaritmul lui zero nu este definit.
• Verifici doar produsul argumentelor. Într-o sumă de logaritmi, fiecare argument trebuie să fie pozitiv separat.
• Folosești o formulă pentru suma din argument. În general, $\log_a(u+v)\ne\log_a u+\log_a v$.
• Confunzi un număr cu logaritmul lui. Pentru a scrie $3$ ca logaritm în baza $2$, folosești $3=\log_2 8$, nu $\log_2 3$.
• Uiți revenirea după substituție. Dacă ai notat $t=\log_2 x$, valorile lui $t$ nu sunt automat soluțiile în $x$.
• Accepți toate rădăcinile ecuației algebrice. La final, fiecare candidat trebuie raportat la domeniul inițial.

Cum exersezi eficient pentru examen

Începe cu ecuații care conțin un singur logaritm, apoi treci la sume, diferențe și substituții. Pe ciornă, rezervă un rând separat condițiilor de existență și încercuiește domeniul. Este un obicei simplu care face verificarea finală mai ușoară.

Poți folosi grilele de antrenament pentru exercițiu și o simulare pentru a-ți urmări ritmul de lucru. Pentru pregătirea examenului național, consultă și subiectele de BAC, alegând varianta potrivită profilului tău. Pentru admitere, verifică separat programa oficială a facultății vizate.

Întrebări frecvente

Pot rezolva întâi ecuația și verifica domeniul abia la final?

Poți elimina unele valori neadmise prin verificarea finală, dar este mai sigur să stabilești domeniul de la început. Acesta justifică formulele folosite și te ajută să eviți transformări care pierd soluții.

Un logaritm poate avea valoare negativă?

Da. De exemplu, $\log_2\left(\frac12\right)=-1$, deoarece $2^{-1}=\frac12$. Argumentul este pozitiv, dar rezultatul este negativ. Nu confunda restricția asupra argumentului cu semnul valorii logaritmului.

Ce fac dacă nicio rădăcină nu respectă domeniul?

Concluzionezi că ecuația nu are soluții reale și scrii $S=\varnothing$. Nu este obligatoriu ca o ecuație să aibă soluții. Important este să arăți de ce toate valorile candidate sunt excluse.