Grile ASE admitere matematică rezolvate — 10 grile CSIE

Fie $(a_n)_{n \ge 1}$ o progresie aritmetică cu $a_1 = 3$ și $a_5 = 15$. Suma primilor 10 termeni ai progresiei este:

1. Termenul general: $a_n = a_1 + (n-1)r$, deci $a_5 = 3 + 4r = 15$, de unde $r = 3$.
2. $a_{10} = 3 + 9 \cdot 3 = 30$.
3. $S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} = \frac{33 \cdot 10}{2} = 165$.

A este corect, conform formulei sumei $S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}$. B ($150$) se obține dacă se ia $a_{10} = 27$, adică $a_1 + 8r$ în loc de $a_1 + 9r$. C ($180$) apare dacă se folosește $a_{11} = 33$ în locul lui $a_{10}$. D ($135$) este $S_9$, deci adună doar 9 termeni.

Fie ecuația $x^2 - 5x + m = 0$, $m \in \mathbb{R}$, cu rădăcinile reale $x_1, x_2$. Valoarea lui $m$ pentru care $x_1^2 + x_2^2 = 13$ este:

1. Relațiile lui Viète: $S = x_1 + x_2 = 5$, $P = x_1 x_2 = m$.
2. $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = 25 - 2m$.
3. $25 - 2m = 13 \Rightarrow m = 6$.
4. Verificare: $x^2 - 5x + 6 = 0$ are rădăcinile reale $2$ și $3$, iar $4 + 9 = 13$.

C este corect: $m = 6$ satisface relația și dă rădăcini reale ($\Delta = 1 > 0$). A ($m=4$) dă $25 - 8 = 17 \ne 13$. B ($m = 12$) rezultă din $25 - m = 13$, uitând factorul 2 din $S^2 - 2P$. D ($m=-6$) provine dintr-o greșeală de semn și dă $25 + 12 = 37$.

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$ este:

1. Condiții de existență: $x > 0$ și $x - 2 > 0$, deci $x > 2$.
2. $\log_2 [x(x-2)] = 3 \Rightarrow x(x-2) = 2^3 = 8$.
3. $x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow x \in \{-2, 4\}$.
4. Doar $x = 4$ respectă $x > 2$. Verificare: $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$.

B este corect după impunerea condițiilor de existență. A păstrează și $x = -2$, pentru care logaritmii nu sunt definiți. C ($x=2$) anulează argumentul lui $\log_2(x-2)$. D ($x = 8$) rezolvă greșit $x = 2^3$, ignorând al doilea logaritm: $\log_2 8 + \log_2 6 \ne 3$.

Valoarea expresiei $E = C_7^3 - A_5^2$ este:

1. $C_7^3 = \frac{7!}{3!\,4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$.
2. $A_5^2 = \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$.
3. $E = 35 - 20 = 15$.

D este corect. A ($25$) folosește $A_5^2 = 10$, adică îl confundă cu $C_5^2$. B ($35$) este doar $C_7^3$, fără scăderea aranjamentelor. C ($5$) presupune $A_5^2 = 30$, valoare greșită: corect $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, deci $A_5^2 = 20$.

Fie matricea $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, $m \in \mathbb{R}$. Matricea $A$ nu este inversabilă pentru:

1. $A$ nu este inversabilă exact când $\det A = 0$.
2. Dezvoltăm după prima linie: $\det A = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) - 2 \cdot (0 \cdot 2 - 1 \cdot 1) + m \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$.
3. $\det A = 2 + 2 - m = 4 - m$.
4. $4 - m = 0 \Rightarrow m = 4$.

A este corect: pentru $m=4$ determinantul este nul. B ($m=2$) dă $\det A = 4 - 2 = 2 \ne 0$, deci $A$ e inversabilă. C ($m=-4$) provine dintr-o greșeală de semn la ultimul termen ($+m$ în loc de $-m$) și dă de fapt $\det A = 8 \ne 0$. D ($m=0$) dă $\det A = 4 \ne 0$; se obține dacă se omite semnul minus din fața celui de-al doilea termen, când determinantul ar părea egal cu $-m$.

Rangul matricei $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ este:

1. Linia a doua este dublul primei, deci $\det B = 0$ și rangul este mai mic decât 3.
2. Căutăm un minor nenul de ordin 2: din liniile 1 și 3, coloanele 1 și 2, $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \ne 0$.
3. Deci $\operatorname{rang} B = 2$.

C este corect: există un minor de ordin 2 nenul, iar singurul minor de ordin 3 este nul. A ar cere ca toate liniile să fie proporționale, dar linia 3 nu e proporțională cu linia 1. B e imposibil deoarece $\det B = 0$. D este rangul doar pentru matricea nulă.

Valoarea limitei $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2}$ este:

1. Avem cazul $\frac{0}{0}$; aplicăm regula lui l'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} - 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$.
2. Din nou $\frac{0}{0}$; a doua aplicare: $\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2$.
3. Rezultatul este $2$.

B este corect după două aplicări ale regulii lui l'Hôpital. A ($1$) se obține uitând factorul 2 din derivata lui $e^{2x}$ la al doilea pas. C ($4$) apare dacă la final se derivează doar numărătorul ($4e^{2x}$) fără a deriva și numitorul. D ($0$) ar însemna că numărătorul tinde la 0 mai repede decât $x^2$, ceea ce nu e cazul.

Fie $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Valoarea maximului local al funcției $f$ este:

1. $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$, cu rădăcinile $x = 0$ și $x = 2$.
2. $f' > 0$ pe $(-\infty, 0)$, $f' < 0$ pe $(0, 2)$, $f' > 0$ pe $(2, \infty)$.
3. Deci $x = 0$ este punct de maxim local, iar $x = 2$ punct de minim local.
4. Valoarea maximă locală: $f(0) = 2$.

D este corect: $f$ crește apoi descrește în jurul lui $x = 0$. A ($-2$) este $f(2)$, valoarea minimului local. B ($0$) confundă punctul de maxim $x=0$ cu valoarea maximului. C ($4$) este diferența dintre maxim și minim, nu valoarea maximului.

Ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f(x) = \frac{2x^2 + 3x}{x - 1}$, $x \ne 1$, este:

1. $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{x^2 - x} = 2$.
2. $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - 2x] = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 2x^2 + 2x}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x}{x - 1} = 5$.
3. Asimptota oblică: $y = 2x + 5$.

A este corect ($m = 2$, $n = 5$). B ia $n$ egal cu coeficientul lui $x$ de la numărător, fără a calcula limita. C omite calculul lui $n$. D apare dintr-o greșeală de semn: $-2x \cdot (-1) = +2x$, nu $-2x$.

Valoarea integralei $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x(x+1)}\,dx$ este:

1. Descompunem în fracții simple: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.
2. O primitivă este $\ln x - \ln(x+1) = \ln \frac{x}{x+1}$ pe $[1, 2]$.
3. Newton–Leibniz: $\ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln \frac{2/3}{1/2} = \ln \frac{4}{3}$.

C este corect. A ($\ln 2$) integrează doar $\frac{1}{x}$ și uită termenul $-\frac{1}{x+1}$. B ($\ln \frac{3}{2}$) integrează doar $\frac{1}{x+1}$. D ($\ln \frac{3}{4}$) inversează limitele de integrare și dă o valoare negativă, imposibilă pentru o funcție pozitivă pe $[1,2]$.