Grile Poli Matematică rezolvate — admitere UPB, 10 grile

Fie $x_1, x_2$ rădăcinile ecuației $x^2 - 5x + 3 = 0$. Calculați $x_1^2 + x_2^2$.

1. Din relațiile lui Viète: $S = x_1 + x_2 = 5$ și $P = x_1 x_2 = 3$.
2. Folosim identitatea $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$.
3. Obținem $25 - 6 = 19$.

A este corect: $S^2 - 2P = 19$. B este doar $S^2$, uitând să scadă $2P$. C adună $2P$ în loc să-l scadă ($25 + 6$). D scade $4P$, confuzie cu $(x_1 - x_2)^2 = S^2 - 4P$.

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$.

1. Condiții de existență: $x > 0$ și $x - 2 > 0$, deci $x > 2$.
2. $\log_2[x(x-2)] = 3 \Rightarrow x^2 - 2x = 8$.
3. $x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow x \in \{-2, 4\}$.
4. Doar $x = 4$ respectă condiția $x > 2$.

A este corect: singura soluție din domeniu. B uită să verifice condițiile de existență; pentru $x = -2$ logaritmii nu sunt definiți. C anulează $\log_2(x-2)$, care nu e definit în 2. D rezolvă $\log_2 x = 3$, ignorând al doilea termen.

Calculați $(1 + i)^{10}$, unde $i^2 = -1$.

1. $(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$.
2. $(1 + i)^{10} = \left[(1+i)^2\right]^5 = (2i)^5 = 32 \cdot i^5$.
3. $i^5 = i^4 \cdot i = i$, deci rezultatul este $32i$.

A este corect. B greșește semnul lui $i^5$ (ia $i^5 = -i$). C consideră $i^5 = 1$, confundând perioada puterilor lui $i$. D ridică 2 la puterea a 10-a în loc de a 5-a, aplicând greșit $(1+i)^{10} = 2^{10} i^5$.

Fie $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Suma tuturor elementelor matricei $A^{2026}$ este:

1. Calculăm $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și intuim $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
2. Prin inducție: $A^{n+1} = A^n A = \begin{pmatrix} 1 & n+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
3. Pentru $n = 2026$, suma elementelor este $1 + 2026 + 0 + 1 = 2028$.

A este corect: $2 + n$ pentru $n = 2026$. B numără o singură unitate de pe diagonală. C dublează $2027$, ca și cum ambele elemente din afara diagonalei ar crește. D reține doar elementul din colțul dreapta-sus.

Sistemul $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + ay + z = 2 \\ x + y + az = 3 \end{cases}$, cu $a \in \mathbb{R}$, are soluție unică dacă și numai dacă:

1. Sistemul are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul (Cramer).
2. Scăzând prima linie din liniile 2 și 3: $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 \end{vmatrix} = (a-1)^2$.
3. $\Delta \neq 0 \iff a \neq 1$.

A este corect: $\Delta = (a-1)^2$ se anulează doar pentru $a = 1$. B greșește semnul rădăcinii. C confundă cu determinantul matricei cu $a$ pe toată diagonala, $(a-1)^2(a+2)$. D ignoră că pentru $a = 1$ determinantul este 0 (sistemul devine chiar incompatibil).

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x * y = x + y - 3$. Simetricul elementului $5$ în raport cu această lege este:

1. Elementul neutru $e$: $x * e = x \Rightarrow x + e - 3 = x \Rightarrow e = 3$.
2. Simetricul $x'$ al lui 5: $5 * x' = e \Rightarrow 5 + x' - 3 = 3$.
3. Obținem $x' = 1$. Verificare: $5 * 1 = 3 = e$.

A este corect: $5 * 1 = 3 = e$. B este opusul obișnuit, valabil doar pentru adunarea uzuală (neutru 0). C rezolvă $5 * x' = 0$, luând greșit neutrul 0. D este elementul neutru, nu simetricul lui 5.

Calculați $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{3n}$.

1. Este o nedeterminare de tip $1^\infty$.
2. Scriem $\left(1 + \frac{2}{n}\right)^{3n} = \left[\left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n/2}\right]^{6}$.
3. Paranteza mare tinde la $e$, deci limita este $e^6$. (Echivalent: $e^{\lim 3n \cdot \frac{2}{n}} = e^6$.)

A este corect: exponentul limită este $3n \cdot \frac{2}{n} = 6$. B împarte 2 la 3 în loc să înmulțească. C tratează greșit $1^\infty$ ca fiind 1. D împarte 3 la 2, tot o combinare greșită a factorilor.

Câte rădăcini reale are ecuația $x^3 - 3x + 1 = 0$?

1. Fie $f(x) = x^3 - 3x + 1$; $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$.
2. $f(-1) = 3 > 0$ (maxim local), $f(1) = -1 < 0$ (minim local).
3. Cum $\lim_{x \to -\infty} f = -\infty$ și $\lim_{x \to \infty} f = \infty$, șirul lui Rolle $-\infty, +, -, +\infty$ are 3 schimbări de semn, deci 3 rădăcini reale.

A este corect: maximul local e pozitiv și minimul local e negativ, deci graficul taie axa de 3 ori. B ar fi corect doar dacă extremele ar avea același semn. C ar presupune o rădăcină dublă, adică un extrem egal cu 0. D este imposibil: orice polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

Calculați $\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx$.

1. Integrare prin părți cu $f = x$, $g' = e^x$: $\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = e^x(x - 1) + C$.
2. Evaluăm: $e^1(1 - 1) - e^0(0 - 1) = 0 + 1 = 1$.

A este corect. B este doar $\int_0^1 e^x\,dx$, fără termenul $x e^x$. C adună integrala în loc să o scadă: $x e^x + e^x$ evaluat dă $2e - 1$. D integrează doar factorul $x$, tratând $e^x$ ca pe o constantă egală cu 1.

Calculați $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$.

1. Nedeterminare $\frac{0}{0}$; aplicăm regula lui l'Hospital: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$.
2. Tot $\frac{0}{0}$; aplicăm din nou: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$.

A este corect: două aplicări ale regulii lui l'Hospital dau $\frac{1}{2}$. B derivează a doua oară numitorul greșit ($x^2 \to 2x \to 1$ în loc de 2). C consideră că numărătorul tinde la 0 „mai repede”, fără calcul. D ar fi limita dacă numărătorul ar fi de ordinul lui $x$, dar termenul $x$ se reduce.