Subiect admitere Matematică varianta 1 rezolvat — 10 grile

Calculați $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{x^2 + 1}$.

1. Gradul numărătorului este egal cu gradul numitorului (2).
2. Împărțim prin $x^2$: $\frac{2 + 3/x}{1 + 1/x^2}$.
3. Când $x \to \infty$: $\frac{2 + 0}{1 + 0} = 2$.

A este corect: raportul coeficienților dominanți. B ia coeficientul lui $x$, nedominant. C ar fi limita dacă gradul numitorului ar fi mai mare. D ar fi limita dacă gradul numărătorului ar fi mai mare.

Fie $f(x) = x e^x$. Calculați $f'(0)$.

1. Regula produsului: $f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)$.
2. $f'(0) = e^0(1 + 0) = 1$.

A este corect. B uită termenul $e^x$ din derivata lui $x$. C calculează $f'(1)/2$, punct greșit. D = $f'(1)/e$, tot evaluare în alt punct.

Calculați $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,dx$.

1. O primitivă a lui $3x^2$ este $x^3$.
2. Leibniz–Newton: $x^3\big|_0^1 = 1 - 0 = 1$.

A este corect. B uită să integreze (evaluează integrandul în 1). C integrează doar $x^2$, uitând factorul 3. D derivează în loc să integreze ($6x$ în 1).

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $2^{x+1} = 16$.

1. $16 = 2^4$, deci $2^{x+1} = 2^4$.
2. Funcția exponențială este injectivă: $x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3$.

A este corect. B ignoră „+1” din exponent. C împarte 16 la 2. D scade 1 din 8, confuzie între exponent și valoare.

Calculați determinantul $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$.

1. Pentru ordinul 2: $ad - bc$.
2. $2 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 8 - 3 = 5$.

A este corect. B adună produsele în loc să le scadă. C inversează ordinea scăderii ($bc - ad$). D păstrează doar produsul diagonalei principale.

Într-o progresie aritmetică $a_1 = 3$ și rația $r = 4$. Calculați $a_{10}$.

1. Termenul general: $a_n = a_1 + (n - 1) r$.
2. $a_{10} = 3 + 9 \cdot 4 = 39$.

A este corect. B folosește $n \cdot r$ în loc de $(n-1) r$. C = $10 \cdot 4$, ignoră $a_1$. D = $a_9$, un termen mai devreme.

Calculați $\log_2 8 + \log_3 9$.

1. $\log_2 8 = 3$ pentru că $2^3 = 8$.
2. $\log_3 9 = 2$ pentru că $3^2 = 9$.
3. Suma este $5$.

A este corect. B = $3 \cdot 2$, înmulțește în loc să adune. C adună bazele și înmulțește argumentele — regulă inexistentă. D adună argumentele.

Suma rădăcinilor ecuației $x^2 - 5x + 6 = 0$ este:

1. Relațiile lui Viète: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$.
2. Verificare: rădăcinile sunt $2$ și $3$, iar $2 + 3 = 5$.

A este corect. B este produsul rădăcinilor $\frac{c}{a}$. C uită semnul minus din formula lui Viète. D este diferența $3 - 2$.

Calculați $C_6^2$.

1. $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
2. $C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.

A este corect. B = $A_6^2$, aranjamente (contează ordinea). C = $6 \cdot 2$. D = $6^2$.

Valoarea minimă a funcției $f(x) = x^2 - 4x + 7$ este:

1. $a = 1 > 0$, deci parabola are minim în vârf: $x_V = -\frac{b}{2a} = 2$.
2. $f(2) = 4 - 8 + 7 = 3$ (sau $-\frac{\Delta}{4a} = -\frac{16 - 28}{4} = 3$).

A este corect. B este $f(0)$, nu minimul. C este abscisa vârfului, nu valoarea minimă. D greșește semnul în $-\frac{\Delta}{4a}$.