Subiecte admitere ATM 2026 Matematică — 10 grile rezolvate

Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2}$ este:

1. Pentru $x \to 0$ obținem cazul $\frac{0}{0}$, deci aplicăm regula lui l'Hôpital.
2. Derivăm: $\frac{2e^{2x} - 2}{2x} = \frac{e^{2x} - 1}{x}$, tot $\frac{0}{0}$.
3. Mai aplicăm o dată: $\frac{2e^{2x}}{1} \to 2$.
4. Limita este $2$.

A este corect: dezvoltarea $e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \dots$ confirmă coeficientul $2$ al lui $x^2$. B uită factorul $2$ din derivata lui $e^{2x}$ la al doilea pas. C = $2^2$ ia $(2x)^2$ fără împărțirea la $2!$. D ar fi corect doar dacă numărătorul ar fi de ordin mai mare decât $x^2$.

Fie $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Suma elementelor matricei $A^{10}$ este:

1. Calculăm $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
2. Prin inducție, $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
3. Pentru $n = 10$: suma elementelor este $1 + 10 + 0 + 1 = 12$.

A este corect după formula $A^n$ demonstrată prin inducție. B omite unul dintre elementele $1$ de pe diagonală. C dublează elementul din colț ($2 \cdot 10$), confuzie cu $2^n$ sau cu $nA$. D ignoră elementul $n$ și adună doar diagonala, ca la matricea unitate.

Valoarea determinantului $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix}$ este:

1. Coloanele au forma $(1, a, a^2)$ cu $a = 1, 2, 3$: este un determinant Vandermonde.
2. Valoarea este $(2 - 1)(3 - 1)(3 - 2)$.
3. $= 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$.

A este corect (se verifică și prin regula lui Sarrus: $18 + 3 + 4 - 2 - 12 - 9 = 2$). B ar însemna două coloane egale, dar $1, 2, 3$ sunt distincte. C = $1 \cdot 2 \cdot 3$ înmulțește valorile, nu diferențele. D inversează ordinea diferențelor într-un singur factor.

Valoarea integralei $\displaystyle\int_0^1 x e^x \, dx$ este:

1. Integrăm prin părți cu $f = x$, $g' = e^x$: $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = (x - 1)e^x + C$.
2. Aplicăm Leibniz–Newton: $(1 - 1)e^1 - (0 - 1)e^0 = 0 + 1$.
3. Rezultatul este $1$.

A este corect. B este $\int_0^1 e^x dx$, adică uită factorul $x$. C reține doar termenul $x e^x$ evaluat în $1$, fără $-\int e^x dx$. D adună termenii prin părți în loc să-i scadă: $e + (e - 1)$.

Câte rădăcini reale are ecuația $x^3 - 3x + 1 = 0$?

1. Fie $f(x) = x^3 - 3x + 1$; $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$.
2. $f(-1) = 3 > 0$ (maxim local), $f(1) = -1 < 0$ (minim local).
3. $\lim_{x \to -\infty} f = -\infty$, $\lim_{x \to \infty} f = \infty$.
4. Șirul lui Rolle: $-\infty, 3, -1, \infty$ are 3 schimbări de semn, deci 3 rădăcini reale.

A este corect: câte o rădăcină în fiecare interval $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$. B ar fi adevărat dacă maximul și minimul local ar avea același semn. C ar cere o rădăcină dublă, adică $f(\pm 1) = 0$, ceea ce nu are loc. D este imposibil: orice polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

Numărul complex $(1 + i)^{10}$ este egal cu:

1. $(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$.
2. $(1 + i)^{10} = \left((1 + i)^2\right)^5 = (2i)^5 = 32 \cdot i^5$.
3. $i^5 = i^4 \cdot i = i$, deci rezultatul este $32i$.

A este corect. B greșește puterea lui $i$, luând $i^5 = -i$ (adică $i^3$). C păstrează modulul $|(1+i)^{10}| = 2^5 = 32$, dar pierde argumentul. D = $2^{10}$ ridică la putere ca și cum $|1 + i| = 2$, nu $\sqrt{2}$.

Mulțimea soluțiilor ecuației $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ este:

1. Condiții de existență: $x > 0$ și $x - 2 > 0$, deci $x > 2$.
2. $\log_2[x(x - 2)] = 3 \Rightarrow x^2 - 2x = 8 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0$.
3. Soluțiile ecuației de gradul II: $x = 4$ sau $x = -2$.
4. Doar $x = 4$ respectă $x > 2$.

A este corect. B uită condițiile de existență: pentru $x = -2$ logaritmii nu sunt definiți. C anulează argumentul $x - 2$, iar $\log_2 0$ nu există. D rezolvă greșit $\log_2 x = 3$ ignorând al doilea termen; verificare: $3 + \log_2 6 \ne 3$.

Fie $x_1, x_2, x_3$ rădăcinile polinomului $X^3 - 2X^2 + 3X - 4$. Valoarea expresiei $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ este:

1. Relațiile lui Viète: $s_1 = x_1 + x_2 + x_3 = 2$, $s_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 3$.
2. $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = s_1^2 - 2s_2$.
3. $= 4 - 6 = -2$.

A este corect; rezultatul negativ arată că polinomul are și rădăcini complexe nereale. B = $4 + 6$ adună $2s_2$ în loc să-l scadă. C = $s_1^2$ uită termenul $-2s_2$. D = $-6$ reține doar $-2s_2$ și uită $s_1^2$.

Aria suprafeței plane cuprinse între graficele funcțiilor $f(x) = x^2$ și $g(x) = 2x$ este:

1. Intersecția: $x^2 = 2x \Rightarrow x = 0$ sau $x = 2$.
2. Pe $[0, 2]$ avem $2x \ge x^2$.
3. Aria $= \int_0^2 (2x - x^2) dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.

A este corect. B este $\int_0^2 x^2 dx$, adică aria de sub parabolă, nu dintre curbe. C înjumătățește greșit rezultatul. D este $\int_0^2 2x \, dx$, aria de sub dreaptă, fără a scădea parabola.

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x * y = xy - 2x - 2y + 6$. Elementul neutru al acestei legi este:

1. Scriem legea în formă factorizată: $x * y = (x - 2)(y - 2) + 2$.
2. Căutăm $e$ cu $x * e = x$ pentru orice $x$: $(x - 2)(e - 2) + 2 = x \Leftrightarrow (x - 2)(e - 2) = x - 2$.
3. Egalitatea are loc pentru orice $x$ doar dacă $e - 2 = 1$, deci $e = 3$.
4. Legea este comutativă, deci și $e * x = x$.

A este corect: $x * 3 = 3x - 2x - 6 + 6 = x$. B este elementul absorbant ($x * 2 = 2$), nu cel neutru. C schimbă semnul: $x * (-3) = -5x + 12 \ne x$. D este termenul liber al legii: $x * 6 = 4x - 6 \ne x$.