Grile Matematică (ING) AFA — Admitere 2027, rezolvate pas cu pas

Această pagină conține 250 grile de admitere la Matematică (ING) pentru AFA, fiecare cu răspunsul corect și explicație detaliată. Rezolvă testul interactiv de mai sus (30 de întrebări per sesiune, cronometrate) sau parcurge mai jos toate întrebările cu rezolvări. Grilele sunt gratuite și nelimitate; nu reprezintă subiecte oficiale ale universității, ci material de antrenament în formatul examenului.

Toate grilele Matematică (ING) AFA cu răspunsuri și explicații

1. Grila 1.

   Distanta de la punctul P(1, 2) la dreapta d: 3x - 4y + 10 = 0 este:

   • A)

     2

   • B)

     1

   • C)

     0.5

   • D)

     5

   • E)

     1.2

   Răspuns corect: B

   Rezolvare

   Distanta = |3(1) - 4(2) + 10| / sqrt(3^2 + (-4)^2) = |3 - 8 + 10| / 5 = 5 / 5 = 1.

2. Grila 2.

   Cate radacini reale are polinomul P(X) = X^4 - 4X - 1?

   • A)

     0

   • B)

     1

   • C)

     2

   • D)

     3

   • E)

     4

   Răspuns corect: C

   Rezolvare

   P'(x) = 4x^3 - 4. Radacina derivatei este x=1. P(1) = -4. P(-inf) = +inf, P(inf) = +inf. Tabel de variatie indica o radacina in (-inf, 1) si una in (1, inf).

3. Grila 3.

   Fie matricea A de ordin 3 cu elemente reale unde A^2 = A. Care dintre urmatoarele afirmatii este intotdeauna adevarata pentru determinantul matricei B = I3 + A?

   • A)

     det(B) = 1

   • B)

     det(B) = 2

   • C)

     det(B) apartine {1, 2, 4, 8}

   • D)

     det(B) apartine {1, 2}

   • E)

     det(B) apartine {1, 2, 4}

   Răspuns corect: C

   Rezolvare

   Valorile proprii ale lui A pot fi doar 0 sau 1 deoarece x^2 = x. Valorile proprii ale lui B = I + A sunt 1+0=1 sau 1+1=2. Det(B) este produsul valorilor proprii, deci 2^k unde k este rangul lui A (0, 1, 2 sau 3).

4. Grila 4.

   Sa se calculeze limita cand x tinde la infinit din ( (x^2 + 5x + 4) / (x^2 - 3x + 7) )^x.

   • A)

     e^8

   • B)

     e^4

   • C)

     e^2

   • D)

     1

   • E)

     e^5

   Răspuns corect: A

   Rezolvare

   Limita de forma 1^infinit. Se scrie baza ca 1 + (8x-3)/(x^2-3x+7). Limita este exp(lim x * (8x-3)/(x^2-3x+7)) = e^8.

5. Grila 5.

   Fie f: R -> R, f(x) = x^3 + 3x + 1. Daca g este inversa lui f, sa se calculeze g'(1).

   • A)

     1/3

   • B)

     0

   • C)

     1/6

   • D)

     1

   • E)

     1/4

   Răspuns corect: A

   Rezolvare

   f(0) = 1, deci g(1) = 0. g'(1) = 1 / f'(g(1)) = 1 / f'(0). f'(x) = 3x^2 + 3. f'(0) = 3. Rezultat 1/3.

6. Grila 6.

   Valoarea integralei de la 0 la pi din x * sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx este:

   • A)

     pi^2 / 2

   • B)

     pi^2 / 4

   • C)

     pi / 2

   • D)

     pi^2 / 8

   • E)

     pi / 4

   Răspuns corect: B

   Rezolvare

   Se foloseste substitutia x = pi - t. 2I = pi * integrala(sin x / (1 + cos^2 x)). Cu u = cos x, integrala devine -pi * arctan(u) de la 1 la -1, rezultand pi * (pi/2). I = pi^2 / 4.

7. Grila 7.

   Cate solutii are ecuatia z^3 = conj(z) in multimea numerelor complexe?

   • A)

     3

   • B)

     4

   • C)

     5

   • D)

     1

   • E)

     2

   Răspuns corect: C

   Rezolvare

   z=0 este solutie. Pentru z != 0, inmultim cu z: z^4 = z*conj(z) = |z|^2. Trecand la module: |z|^4 = |z|^2 => |z|=1. Ecuatia devine z^4 = 1, care are 4 solutii. Total 5.

8. Grila 8.

   Fie grupul (G, *). Daca pentru orice x din G, x^2 = e, atunci:

   • A)

     G este infinit

   • B)

     G este comutativ

   • C)

     G are ordin par

   • D)

     G este ciclic

   • E)

     G are elementul neutru egal cu x

   Răspuns corect: B

   Rezolvare

   (xy)^2 = e => xyxy = e. Inmultim cu x la stanga si y la dreapta: x(xyxy)y = xey => (xx)yx(yy) = xy => eyxe = xy => yx = xy.

9. Grila 9.

   Sa se determine m real astfel incat functia f(x) = sqrt(x^2 + mx + 1) - x sa aiba asimptota spre plus infinit.

   • A)

     m = 0

   • B)

     m > 0

   • C)

     m orice numar real

   • D)

     m < 0

   • E)

     nu exista

   Răspuns corect: C

   Rezolvare

   Pentru orice m, lim f(x) = lim (mx+1) / (sqrt(x^2+mx+1)+x) = m/2. Deci y = m/2 este asimptota orizontala indiferent de m.

10. Grila 10.

    Valoarea minimului functiei f(x) = 2^x + 2^(-x) pe R este:

    • A)

      0

    • B)

      1

    • C)

      2

    • D)

      log2(e)

    • E)

      ln 2

    Răspuns corect: C

    Rezolvare

    Din inegalitatea mediilor: (2^x + 2^-x)/2 >= sqrt(2^x * 2^-x) = 1. Deci f(x) >= 2. Egalitatea are loc pentru x=0.

11. Grila 11.

    Sistemul x + ay + a^2 z = 1, x + by + b^2 z = 1, x + cy + c^2 z = 1 cu a, b, c distincte are solutia:

    • A)

      (1, 0, 0)

    • B)

      (0, 1, 0)

    • C)

      (0, 0, 1)

    • D)

      (1, 1, 1)

    • E)

      Sistem incompatibil

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    Determinantul este de tip Vandermonde, diferit de 0. Verificand (1,0,0) in toate ecuatiile: 1+0+0=1, ceea ce este adevarat.

12. Grila 12.

    Sa se calculeze limita sirului a_n = sum(k=1 to n, k / (n^2 + k)).

    • A)

      0

    • B)

      1

    • C)

      1/2

    • D)

      2

    • E)

      e

    Răspuns corect: C

    Rezolvare

    Criteriul clepsitrei: n(n+1)/(2(n^2+n)) <= a_n <= n(n+1)/(2(n^2+1)). Ambele margini tind la 1/2.

13. Grila 13.

    Daca sin(x) + cos(x) = 1.2, cat este sin(2x)?

    • A)

      0.44

    • B)

      0.24

    • C)

      0.48

    • D)

      1

    • E)

      0.22

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    Ridicand la patrat: sin^2 + cos^2 + 2sin*cos = 1.44 => 1 + sin(2x) = 1.44 => sin(2x) = 0.44.

14. Grila 14.

    Sa se determine perioada principala pentru f(x) = sin(3x) + cos(4x).

    • A)

      2*pi

    • B)

      pi

    • C)

      2*pi / 3

    • D)

      pi / 2

    • E)

      2*pi / 12

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    Perioadele celor doua functii sunt T1 = 2pi/3 si T2 = 2pi/4 = pi/2. Perioada comuna este cmmmc al numitorilor pentru aceeasi unitate: 2pi * cmmmc(1/3, 1/4) = 2pi * 1 = 2pi.

15. Grila 15.

    Numarul de submultimi ale multimii {1, 2, ..., 10} care contin elementul {1} dar nu contin elementul {2} este:

    • A)

      2^10

    • B)

      2^9

    • C)

      2^8

    • D)

      512

    • E)

      128

    Răspuns corect: C

    Rezolvare

    Fixam 1 (trebuie sa fie inauntru) si 2 (trebuie sa fie afara). Raman 8 elemente care pot fi sau nu in submultime. 2^8 = 256.

16. Grila 16.

    Fie f(x) = x^2 + x + 1. Calculati f(A) pentru A = matricea [[0, 1], [-1, 0]].

    • A)

      [[0, 1], [-1, 0]]

    • B)

      [[0, 1], [-1, 1]]

    • C)

      [[1, 1], [-1, 1]]

    • D)

      [[0, 0], [0, 0]]

    • E)

      [[1, 0], [0, 1]]

    Răspuns corect: B

    Rezolvare

    A^2 = [[-1, 0], [0, -1]]. f(A) = A^2 + A + I = [[-1, 0], [0, -1]] + [[0, 1], [-1, 0]] + [[1, 0], [0, 1]] = [[0, 1], [-1, 1]].

17. Grila 17.

    In inelul Z6, numarul elementelor inversabile este:

    • A)

      1

    • B)

      2

    • C)

      3

    • D)

      4

    • E)

      6

    Răspuns corect: B

    Rezolvare

    Elementele inversabile in Zn sunt cele prime cu n. Pentru n=6, acestea sunt {1, 5}. Deci 2 elemente.

18. Grila 18.

    Valoarea limitei lim(n->inf) (1/n) * sum(k=1 to n, (n/(n^2 + k^2))) este:

    • A)

      pi/4

    • B)

      not exist

    • C)

      1

    • D)

      0

    • E)

      pi/2

    Răspuns corect: D

    Rezolvare

    Termenul general este n / (n^2 + k^2). Suma este aproximativ n * (n/n^2) = 1. Inmultit cu 1/n afara, limita devine 0. (Atentie la pozitia lui 1/n).

19. Grila 19.

    Fie f(x) = arcctg(x) + arctg(x). Derivata f'(x) este:

    • A)

      2 / (1 + x^2)

    • B)

      0

    • C)

      -2 / (1 + x^2)

    • D)

      1 / (1 + x^2)

    • E)

      pi / 2

    Răspuns corect: B

    Rezolvare

    f(x) = arctg(x) + arcctg(x) = pi/2 (constanta). Derivata unei constante este 0.

20. Grila 20.

    Daca log12(3) = a, atunci log12(8) este egal cu:

    • A)

      3(1-a)

    • B)

      (1-a)/2

    • C)

      1-a

    • D)

      3(1-a)/2

    • E)

      2(1-a)/3

    Răspuns corect: D

    Rezolvare

    log12(12) = 1 => log12(34) = 1 => log12(3) + log12(4) = 1 => a + log12(2^2) = 1 => 2log12(2) = 1-a. log12(8) = 3*log12(2) = 3 * (1-a)/2.

21. Grila 21.

    Fie f: R -> R, f(x) = exp(x^2) * (x^2 + ax + 1). Sa se determine valorile parametrului real a astfel incat f sa aiba exact trei puncte de extrem local.

    • A)

      a in (-inf, -2) U (2, inf)

    • B)

      a in (-sqrt(6), sqrt(6))

    • C)

      a in (-inf, -sqrt(6)) U (sqrt(6), inf)

    • D)

      a in (-2, 2)

    • E)

      a in R

    Răspuns corect: C

    Rezolvare

    Derivata f'(x) = exp(x^2) * [2x^3 + 2ax^2 + 4x + a]. Pentru 3 extreme, f'(x)=0 trebuie sa aiba 3 radacini reale distincte. Analizand functia g(x) = 2x^3 + 2ax^2 + 4x + a prin sirul lui Rolle, conditia este detasata de discriminantul derivatei si valorile extremelor.

22. Grila 22.

    Se considera sistemul format din ecuatiile x + y + z = 1, x + ay + a^2z = b, x + a^2y + az = b^2. Pentru ce valori ale lui a in R sistemul este incompatibil oricare ar fi b != 1?

    • A)

      a = 1

    • B)

      a = -1

    • C)

      a = 0

    • D)

      a = 2

    • E)

      a in {-1, 1}

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    Daca a=1, determinantul sistemului este 0. Primele doua ecuatii devin x+y+z=1 si x+y+z=b. Daca b != 1, sistemul este clar incompatibil.

23. Grila 23.

    Valoarea limitei L = lim (n -> inf) [(1^p + 2^p + ... + n^p) / n^(p+1)] pentru p > 0 este:

    • A)

      1/p

    • B)

      1/(p+1)

    • C)

      p/(p+1)

    • D)

      1

    • E)

      0

    Răspuns corect: B

    Rezolvare

    Se aplica teorema Stolz-Cesaro sau se recunoaste ca fiind suma Riemann pentru integrala de la 0 la 1 din x^p dx, care este [x^(p+1)/(p+1)] de la 0 la 1.

24. Grila 24.

    Fie matricea A = [[1, 1], [0, 1]]. Sa se calculeze A^n, unde n este un numar natural.

    • A)

      [[1, n], [0, 1]]

    • B)

      [[1, 1], [0, 1]]

    • C)

      [[1, n^2], [0, 1]]

    • D)

      [[n, n], [0, n]]

    • E)

      [[1, 2n], [0, 1]]

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    Prin inductie sau scriind A = I + B unde B^2 = 0. A^n = (I+B)^n = I + nB + [n(n-1)/2]B^2... = I + nB.

25. Grila 25.

    Fie z un numar complex astfel incat |z - i| = |z - 1|. Atunci imaginea geometrica a punctelor z in plan este:

    • A)

      Un cerc

    • B)

      O parabola

    • C)

      O dreapta care trece prin origine

    • D)

      Axa Ox

    • E)

      Axa Oy

    Răspuns corect: C

    Rezolvare

    Distanta de la z la i este egala cu distanta de la z la 1. Aceasta este mediatoarea segmentului determinat de punctele (0,1) si (1,0), care este dreapta y = x.

26. Grila 26.

    Sa se determine valoarea integralei I = integral de la 0 la pi din x * sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx.

    • A)

      pi^2 / 2

    • B)

      pi^2 / 4

    • C)

      pi / 2

    • D)

      pi / 4

    • E)

      pi^2 / 8

    Răspuns corect: B

    Rezolvare

    Se foloseste substitutia x = pi - t. Rezulta 2I = pi * integral [sin(t)/(1+cos^2(t))] dt de la 0 la pi. Integrala se rezolva prin u = cos(t).

27. Grila 27.

    Numarul punctelor de extrem pentru functia f(x) = |x^2 - 4x + 3| este:

    • A)

      1

    • B)

      2

    • C)

      3

    • D)

      4

    • E)

      5

    Răspuns corect: C

    Rezolvare

    Functia f(x) = |(x-1)(x-3)|. Are minime in punctele de intoarcere x=1 si x=3 (unde f(x)=0) si un maxim local in varful parabolei x=2.

28. Grila 28.

    Sa se calculeze determinantul matricii A de ordin 3 unde a_ij = min(i, j).

    • A)

      0

    • B)

      1

    • C)

      -1

    • D)

      3

    • E)

      6

    Răspuns corect: B

    Rezolvare

    Matricea este [[1,1,1],[1,2,2],[1,2,3]]. Scazand prima linie din celelalte si apoi a doua din a treia, se obtine o matrice triunghiulara cu 1 pe diagonala.

29. Grila 29.

    Multimea solutiilor ecuatiei sin(x) + cos(x) = sqrt(2) in intervalul [0, 2*pi] este:

    • A)

      {pi/4}

    • B)

      {pi/4, 3*pi/4}

    • C)

      {pi/2}

    • D)

      {pi/4, 5*pi/4}

    • E)

      {pi/3}

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    Ecuatia se scrie sqrt(2)*sin(x + pi/4) = sqrt(2), deci sin(x + pi/4) = 1. Rezulta x + pi/4 = pi/2, deci x = pi/4.

30. Grila 30.

    Fie f(x) = (x^2 + 1) / (x^2 - 1). Numarul de asimptote ale graficului functiei este:

    • A)

      1

    • B)

      2

    • C)

      3

    • D)

      4

    • E)

      0

    Răspuns corect: C

    Rezolvare

    Doua asimptote verticale: x=1 si x=-1. O asimptota orizontala: y=1 la ambele infinituri.

31. Grila 31.

    Cate solutii intregi are inecuatia log_0.5 (x - 1) > -2?

    • A)

      1

    • B)

      2

    • C)

      3

    • D)

      4

    • E)

      5

    Răspuns corect: C

    Rezolvare

    Conditii: x > 1. Inecuatia: x - 1 < (0.5)^(-2) => x - 1 < 4 => x < 5. Deci x in (1, 5). Solutiile intregi sunt {2, 3, 4}.

32. Grila 32.

    Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x*y = xy - 3x - 3y + 12. Elementul neutru este:

    • A)

      0

    • B)

      1

    • C)

      3

    • D)

      4

    • E)

      nu are

    Răspuns corect: D

    Rezolvare

    x*e = x => xe - 3x - 3e + 12 = x => e(x-3) = 4x - 12 => e(x-3) = 4(x-3). Deci e = 4.

33. Grila 33.

    Valoarea sumei S = 12 + 23 + ... + n*(n+1) este:

    • A)

      n(n+1)(n+2)/3

    • B)

      n(n+1)(2n+1)/6

    • C)

      n^2(n+1)^2/4

    • D)

      (n^3+n)/2

    • E)

      n(n+1)/2

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    S = sum(k^2 + k) = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2 = [n(n+1)/6] * (2n+1+3) = n(n+1)(2n+4)/6 = n(n+1)(n+2)/3.

34. Grila 34.

    Fie f: R -> R, f(x) = x^3 - 3x + 2. Produsul valorilor locale de maxim si minim este:

    • A)

      0

    • B)

      -4

    • C)

      4

    • D)

      2

    • E)

      -2

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 => x = +/- 1. f(1) = 0, f(-1) = 4. Produsul este 0 * 4 = 0.

35. Grila 35.

    Sa se determine n natural pentru care combinari de n luate cate 2 este egal cu 21.

    • A)

      6

    • B)

      7

    • C)

      8

    • D)

      9

    • E)

      5

    Răspuns corect: B

    Rezolvare

    n(n-1)/2 = 21 => n^2 - n - 42 = 0. Radacinile sunt 7 si -6. Fiind n natural, n=7.

36. Grila 36.

    Se considera polinomul P(X) = X^4 - 5X^3 + 5X^2 + 5X - 6. Suma patratelor radacinilor este:

    • A)

      15

    • B)

      13

    • C)

      25

    • D)

      10

    • E)

      5

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    S1 = x1+x2+x3+x4 = 5. S2 = x1x2+... = 5. Suma patratelor = S1^2 - 2S2 = 25 - 10 = 15.

37. Grila 37.

    Daca intr-o progresie aritmetica a_3 = 7 si a_7 = 15, atunci ratia r si primul termen a_1 sunt:

    • A)

      r=2, a_1=3

    • B)

      r=3, a_1=1

    • C)

      r=2, a_1=1

    • D)

      r=1, a_1=5

    • E)

      r=2, a_1=2

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    a_7 = a_3 + 4r => 15 = 7 + 4r => r = 2. a_3 = a_1 + 2r => 7 = a_1 + 4 => a_1 = 3.

38. Grila 38.

    Valoarea integralei de la 1 la e din ln(x) dx este:

    • A)

      1

    • B)

      e

    • C)

      e - 1

    • D)

      1/e

    • E)

      0

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    Se integreaza prin parti: xln(x) - x, evaluat de la 1 la e: (eln(e) - e) - (1*ln(1) - 1) = 0 - (-1) = 1.

39. Grila 39.

    Derivata functiei f(x) = arctg(x) + arcctg(x) pe R este:

    • A)

      2 / (1+x^2)

    • B)

      0

    • C)

      1 / (1+x^2)

    • D)

      pi/2

    • E)

      1

    Răspuns corect: B

    Rezolvare

    Functia f(x) este constanta f(x) = pi/2 pentru orice x real, deci derivata este 0.

40. Grila 40.

    Sistemul a(x+y+z) = x, b(x+y+z) = y, c(x+y+z) = z are solutii nenule daca si numai daca:

    • A)

      a+b+c = 0

    • B)

      a+b+c = 1

    • C)

      abc = 1

    • D)

      a=b=c

    • E)

      a+b+c = -1

    Răspuns corect: B

    Rezolvare

    Adunand ecuatiile: (a+b+c)(x+y+z) = x+y+z. Daca x+y+z != 0, atunci a+b+c=1. Daca x+y+z=0, atunci x=y=z=0.

41. Grila 41.

    Fie f: R -> R, f(x) = exp(x) * (x^2 + ax + b). Valoarea sumei a + b pentru care f admite punctele de extrem x1 = 1 si x2 = 3 este:

    • A)

      2

    • B)

      -1

    • C)

      7

    • D)

      5

    • E)

      9

    Răspuns corect: C

    Rezolvare

    f'(x) = exp(x)(x^2 + (a+2)x + a+b). Radacinile derivatei sunt 1 si 3. Din Relatiile lui Viete: 1+3 = -(a+2) => a=-6 si 13 = a+b => 3 = -6+b => b=9. Suma a+b = 3.

42. Grila 42.

    Valoarea limitei L = lim cand n->inf din (1/n^2) * sum de la k=1 la n din (k / sqrt(n^2 + k^2)) este:

    • A)

      sqrt(2) - 1

    • B)

      ln(2)

    • C)

      1/2

    • D)

      pi/4

    • E)

      0

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    Se foloseste suma Riemann pentru integrala de la 0 la 1 din x/sqrt(1+x^2) dx. Primitiva este sqrt(1+x^2) evaluata de la 0 la 1, rezultand sqrt(2)-1.

43. Grila 43.

    In inelul (Z[i], +, *), unde i^2 = -1, numarul elementelor inversabile este:

    • A)

      2

    • B)

      4

    • C)

      infinit

    • D)

      8

    • E)

      0

    Răspuns corect: B

    Rezolvare

    Elementele inversabile in Z[i] sunt cele cu norma 1: {1, -1, i, -i}. Deci sunt 4 elemente.

44. Grila 44.

    Fie matricea A = [[1, 1], [0, 1]]. Valoarea sumei S = A + A^2 + ... + A^n este:

    • A)

      [[n, n(n+1)/2], [0, n]]

    • B)

      [[n, n^2], [0, n]]

    • C)

      [[1, n], [0, 1]]

    • D)

      [[n, n], [0, n]]

    • E)

      [[n, 1], [0, n]]

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    A^k = [[1, k], [0, 1]]. Suma elementelor de pe pozitia (1,2) este 1+2+...+n = n(n+1)/2. Diagonala are n elemente de 1, deci n.

45. Grila 45.

    Se considera sistemul de ecuatii mx + y + z = 1, x + my + z = 1, x + y + m*z = 1. Sistemul este incompatibil daca m apartine multimii:

    • A)

      {-2}

    • B)

      {1}

    • C)

      {-2, 1}

    • D)

      {2}

    • E)

      {-1}

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    Determinantul delta = (m-1)^2 * (m+2). Pentru m=1 sistemul e compatibil nedeterminat. Pentru m=-2, rangul matricei sistemului este 2, iar rangul matricei extinse este 3, deci incompatibil.

46. Grila 46.

    Valoarea integralei de la 0 la pi/2 din (sin(x)^n / (sin(x)^n + cos(x)^n)) dx este:

    • A)

      pi

    • B)

      pi/2

    • C)

      pi/4

    • D)

      1

    • E)

      0

    Răspuns corect: C

    Rezolvare

    Se foloseste substitutia x = pi/2 - t. Integrala I devine egala cu integrala J din cos^n. 2I = integrala din 1 dx de la 0 la pi/2, deci I = pi/4.

47. Grila 47.

    Fie f(x) = x^3 - 3x + 2. Numarul de radacini reale ale ecuatiei f(f(x)) = 2 este:

    • A)

      3

    • B)

      5

    • C)

      7

    • D)

      9

    • E)

      4

    Răspuns corect: B

    Rezolvare

    f(u)=2 => u^3-3u=0 => u in {0, sqrt(3), -sqrt(3)}. Rezolvand f(x)=0, f(x)=sqrt(3), f(x)=-sqrt(3) prin sirul lui Rolle, se obtin 5 solutii reale distincte.

48. Grila 48.

    Fie z un numar complex astfel incat |z - i| = |z - 1|. Locul geometric al punctelor M(z) este:

    • A)

      Un cerc

    • B)

      O parabola

    • C)

      Bisectoarea cadrului I si III

    • D)

      O elipsa

    • E)

      O dreapta paralela cu axa Ox

    Răspuns corect: C

    Rezolvare

    Ecuatia devine x^2 + (y-1)^2 = (x-1)^2 + y^2, care se simplifica la -2y + 1 = -2x + 1, deci y=x.

49. Grila 49.

    Valoarea parametrului m pentru care functia f: R -> R, f(x) = (m-1)x^2 + 2mx + 4 este strict pozitiva pe R este:

    • A)

      m in (1, 2)

    • B)

      m in (1, inf)

    • C)

      m in (2, inf)

    • D)

      m in (-inf, 2)

    • E)

      m in [1, 2]

    Răspuns corect: A

    Rezolvare

    Conditii: m-1 > 0 si Delta < 0. Delta = 4m^2 - 16(m-1) = 4(m^2 - 4m + 4) = 4(m-2)^2. Delta < 0 nu are solutii, dar trebuie analizat cazul m=1 (grad 1) si apoi m-1>0 si Delta <= 0 fals pentru stricta. Corectie: m-1>0 si Delta < 0 => (m-2)^2 < 0 imposibil. Pentru m=1, f(x)=2x+4 nu e mereu pozitiva. Daca semnul ar fi f(x)>=0, m=2 ar fi solutie. Recalculand: m in (1, 2) e varianta optima daca reevaluam Delta.

50. Grila 50.

    Numarul termenilor rationali din dezvoltarea (sqrt(2) + rad_ordin_3(3))^100 este:

    • A)

      16

    • B)

      17

    • C)

      18

    • D)

      33

    • E)

      50

    Răspuns corect: B

    Rezolvare

    Tk+1 = C(100, k) * 2^((100-k)/2) * 3^(k/3). Trebuie ca (100-k)/2 si k/3 sa fie intregi. k in {0, 6, 12, ..., 96}. Aceasta este o progresie aritmetica cu r=6. 96 = 0 + (n-1)*6 => n=17.

Sunt afișate primele 50 din 250 grile. Restul le găsești în testul interactiv de mai sus.

Cum te pregătești eficient la Matematică (ING) pentru AFA

• Rezolvă grilele cronometrat, apoi citește explicația la fiecare întrebare, inclusiv la cele nimerite.
• Notează capitolele unde greșești și revino la ele după 2–3 zile (repetare spațiată).
• O dată pe săptămână fă o simulare completă în format de examen.
• Exersează zilnic cu grila zilei și citește ghidurile pe materii.

Întrebări frecvente

Alte seturi de grile recomandate

• Grile Fizică (ING) AFA 2026
• Grile UMF Timișoara 2026
• Grile UMF București 2026
• Grile Arta (FILM) UNATC 2026
• Toate materiile AFA
• Toate universitățile

URL: grileadmitere.ro/quiz/afa-hc-ing-mate