Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2020 la Matematică M_tehnologic , sesiunea specială, varianta 1 . Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.
Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.
Subiectul I (30 de puncte)
1. Arătați că 5 ( 1 + 2 5 ) − 5 = 10 \sqrt5\left(1 + 2\sqrt5\right) - \sqrt5 = 10 5 ( 1 + 2 5 ) − 5 = 10
5 + 2 5 ⋅ 5 − 5 = 2 ⋅ 5 = 10 \sqrt5 + 2\sqrt5\cdot\sqrt5 - \sqrt5 = 2\cdot 5 = 10 5 + 2 5 ⋅ 5 − 5 = 2 ⋅ 5 = 10 ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
2. f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 f(x) = x^2 - 3x + 1 f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 f ( 1 ) = f ( 2 ) f(1) = f(2) f ( 1 ) = f ( 2 )
f ( 1 ) = 1 − 3 + 1 = − 1 f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 f ( 1 ) = 1 − 3 + 1 = − 1 f ( 2 ) = 4 − 6 + 1 = − 1 f(2) = 4 - 6 + 1 = -1 f ( 2 ) = 4 − 6 + 1 = − 1 ■ \blacksquare ■ Barem: 2p, 3p.
3. Ecuația log 5 ( x 2 − 21 ) = log 5 4 \log_5(x^2 - 21) = \log_5 4 log 5 ( x 2 − 21 ) = log 5 4
Injectivitatea logaritmului: x 2 − 21 = 4 ⟺ x 2 = 25 ⟺ x = ± 5 x^2 - 21 = 4 \iff x^2 = 25 \iff x = \pm 5 x 2 − 21 = 4 ⟺ x 2 = 25 ⟺ x = ± 5 x 2 − 21 = 4 > 0 x^2 - 21 = 4 > 0 x 2 − 21 = 4 > 0
Răspuns: x ∈ { − 5 , 5 } x \in \{-5, 5\} x ∈ { − 5 , 5 } Barem: 3p, 2p.
4. După o scumpire cu 10 % 10\% 10%
x + 0,1 x = 220 ⟺ 1,1 x = 220 ⟺ x = 200 x + 0{,}1x = 220 \iff 1{,}1x = 220 \iff x = 200 x + 0 , 1 x = 220 ⟺ 1 , 1 x = 220 ⟺ x = 200
Răspuns: 200 200 200 Barem: 3p, 2p.
5. Mijlocul M M M A B AB A B A ( 4 , 8 ) A(4,8) A ( 4 , 8 ) B ( 0 , 4 ) B(0,4) B ( 0 , 4 )
x M = 4 + 0 2 = 2 x_M = \frac{4 + 0}{2} = 2 x M = 2 4 + 0 = 2 y M = 8 + 4 2 = 6 y_M = \frac{8 + 4}{2} = 6 y M = 2 8 + 4 = 6
Răspuns: M ( 2 , 6 ) M(2, 6) M ( 2 , 6 ) Barem: 3p, 2p.
6. ∠ B = ∠ C = 60 ∘ \angle B = \angle C = 60^\circ ∠ B = ∠ C = 6 0 ∘ cos A \cos A cos A
∠ A = 180 ∘ − 60 ∘ − 60 ∘ = 60 ∘ \angle A = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ ∠ A = 18 0 ∘ − 6 0 ∘ − 6 0 ∘ = 6 0 ∘ cos A = 1 2 \cos A = \frac12 cos A = 2 1 Barem: 3p, 2p.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. A = ( 1 6 − 1 − 4 ) A = \begin{pmatrix}1 & 6\\ -1 & -4\end{pmatrix} A = ( 1 − 1 6 − 4 ) B = ( 1 2 2 4 ) B = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix} B = ( 1 2 2 4 )
a) det A = − 4 + 6 = 2 \det A = -4 + 6 = 2 det A = − 4 + 6 = 2 ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
b) B A = ( 1 − 2 6 − 8 2 − 4 12 − 16 ) = ( − 1 − 2 − 2 − 4 ) = − B , BA = \begin{pmatrix}1 - 2 & 6 - 8\\ 2 - 4 & 12 - 16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -2\\ -2 & -4\end{pmatrix} = -B, B A = ( 1 − 2 2 − 4 6 − 8 12 − 16 ) = ( − 1 − 2 − 2 − 4 ) = − B ,
deci B A + B = O 2 BA + B = O_2 B A + B = O 2 ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
c) B + n A = ( 1 + n 2 + 6 n 2 − n 4 − 4 n ) , B + nA = \begin{pmatrix}1 + n & 2 + 6n\\ 2 - n & 4 - 4n\end{pmatrix}, B + n A = ( 1 + n 2 − n 2 + 6 n 4 − 4 n ) , det ( B + n A ) = ( 1 + n ) ( 4 − 4 n ) − ( 2 + 6 n ) ( 2 − n ) = 4 − 4 n 2 − ( 4 + 10 n − 6 n 2 ) = 2 n 2 − 10 n . \det(B + nA) = (1 + n)(4 - 4n) - (2 + 6n)(2 - n) = 4 - 4n^2 - (4 + 10n - 6n^2) = 2n^2 - 10n. det ( B + n A ) = ( 1 + n ) ( 4 − 4 n ) − ( 2 + 6 n ) ( 2 − n ) = 4 − 4 n 2 − ( 4 + 10 n − 6 n 2 ) = 2 n 2 − 10 n .
det B = 4 − 4 = 0 \det B = 4 - 4 = 0 det B = 4 − 4 = 0 det A = 2 \det A = 2 det A = 2 2 n 2 − 10 n = 2 n ⟺ 2 n ( n − 6 ) = 0 2n^2 - 10n = 2n \iff 2n(n - 6) = 0 2 n 2 − 10 n = 2 n ⟺ 2 n ( n − 6 ) = 0
Răspuns: n ∈ { 0 , 6 } n \in \{0, 6\} n ∈ { 0 , 6 } Barem: 2p, 3p.
2. x ∘ y = x + 2 y + 1 x \circ y = x + 2y + 1 x ∘ y = x + 2 y + 1
a) 1 ∘ ( − 1 ) = 1 − 2 + 1 = 0 1 \circ (-1) = 1 - 2 + 1 = 0 1 ∘ ( − 1 ) = 1 − 2 + 1 = 0 ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
b) x ∘ ( − 1 2 ) = x − 1 + 1 = x x \circ \left(-\frac12\right) = x - 1 + 1 = x x ∘ ( − 2 1 ) = x − 1 + 1 = x ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
c) Presupunem că există e e e 0 ∘ e = 0 ⇒ 2 e + 1 = 0 ⇒ e = − 1 2 0 \circ e = 0 \Rightarrow 2e + 1 = 0 \Rightarrow e = -\frac12 0 ∘ e = 0 ⇒ 2 e + 1 = 0 ⇒ e = − 2 1 e ∘ 0 = 0 ⇒ e + 1 = 0 ⇒ e = − 1 e \circ 0 = 0 \Rightarrow e + 1 = 0 \Rightarrow e = -1 e ∘ 0 = 0 ⇒ e + 1 = 0 ⇒ e = − 1 ■ \blacksquare ■
Barem: 3p, 2p.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. f ( x ) = x 2 + 2 x 2 + 1 f(x) = \dfrac{x^2 + 2}{x^2 + 1} f ( x ) = x 2 + 1 x 2 + 2
a) f ′ ( x ) = 2 x ( x 2 + 1 ) − 2 x ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 1 ) 2 = 2 x ( − 1 ) ( x 2 + 1 ) 2 = − 2 x ( x 2 + 1 ) 2 . ■ f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 + 2)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x(-1)}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}.\ \blacksquare f ′ ( x ) = ( x 2 + 1 ) 2 2 x ( x 2 + 1 ) − 2 x ( x 2 + 2 ) = ( x 2 + 1 ) 2 2 x ( − 1 ) = ( x 2 + 1 ) 2 − 2 x . ■
Barem: 3p, 2p.
b) lim x → + ∞ f ( x ) = 1 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = 1 x → + ∞ lim f ( x ) = 1 + ∞ +\infty + ∞ y = 1 y = 1 y = 1 Barem: 3p, 2p.
c) Fie g ( x ) = f ( x ) + ln ( x 2 + 1 ) g(x) = f(x) + \ln(x^2 + 1) g ( x ) = f ( x ) + ln ( x 2 + 1 ) [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ]
g ′ ( x ) = − 2 x ( x 2 + 1 ) 2 + 2 x x 2 + 1 = 2 x ( x 2 + 1 ) − 2 x ( x 2 + 1 ) 2 = 2 x 3 ( x 2 + 1 ) 2 ≥ 0 , g'(x) = \frac{-2x}{(x^2+1)^2} + \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3}{(x^2+1)^2} \ge 0, g ′ ( x ) = ( x 2 + 1 ) 2 − 2 x + x 2 + 1 2 x = ( x 2 + 1 ) 2 2 x ( x 2 + 1 ) − 2 x = ( x 2 + 1 ) 2 2 x 3 ≥ 0 ,
deci g g g g ( x ) ≤ g ( 1 ) = 3 2 + ln 2 < 3 2 + 1 = 5 2 g(x) \le g(1) = \frac32 + \ln 2 < \frac32 + 1 = \frac52 g ( x ) ≤ g ( 1 ) = 2 3 + ln 2 < 2 3 + 1 = 2 5 ln 2 < ln e = 1 \ln 2 < \ln e = 1 ln 2 < ln e = 1 ■ \blacksquare ■
Barem: 3p monotonia, 2p concluzia.
2. f ( x ) = e x x + 1 f(x) = \dfrac{e^x}{x + 1} f ( x ) = x + 1 e x x > − 1 x > -1 x > − 1
a) ∫ 0 2 ( x + 1 ) f ( x ) d x = ∫ 0 2 e x d x = e 2 − 1. ■ \int_0^2 (x + 1)f(x)\,dx = \int_0^2 e^x\,dx = e^2 - 1.\ \blacksquare ∫ 0 2 ( x + 1 ) f ( x ) d x = ∫ 0 2 e x d x = e 2 − 1. ■
Barem: 3p, 2p.
b) f ′ f = ( ln f ) ′ \dfrac{f'}{f} = (\ln f)' f f ′ = ( ln f ) ′ f > 0 f > 0 f > 0
∫ 0 1 f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln e x x + 1 ∣ 0 1 = ln e 2 − ln 1 = 1 − ln 2. ■ \int_0^1\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln\frac{e^x}{x + 1}\Big|_0^1 = \ln\frac e2 - \ln 1 = 1 - \ln 2.\ \blacksquare ∫ 0 1 f ( x ) f ′ ( x ) d x = ln x + 1 e x 0 1 = ln 2 e − ln 1 = 1 − ln 2. ■
Barem: 3p, 2p.
c) În prima integrală, 1 x + 1 = ( ln ( x + 1 ) ) ′ \dfrac{1}{x + 1} = (\ln(x+1))' x + 1 1 = ( ln ( x + 1 ) ) ′
∫ 0 1 e x ( ln ( x + 1 ) ) ′ d x = e x ln ( x + 1 ) ∣ 0 1 − ∫ 0 1 e x ln ( x + 1 ) d x = e ln 2 − ∫ 0 1 e x ln ( x + 1 ) d x . \int_0^1 e^x(\ln(x+1))'dx = e^x\ln(x+1)\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx = e\ln 2 - \int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx. ∫ 0 1 e x ( ln ( x + 1 ) ) ′ d x = e x ln ( x + 1 ) 0 1 − ∫ 0 1 e x ln ( x + 1 ) d x = e ln 2 − ∫ 0 1 e x ln ( x + 1 ) d x .
Adunând a doua integrală, termenii se reduc: suma este e ln 2 e\ln 2 e ln 2 ■ \blacksquare ■
Barem: 3p, 2p.
Rezumatul răspunsurilor
Cerință Răspuns I.3 x ∈ { − 5 , 5 } x \in \{-5, 5\} x ∈ { − 5 , 5 } I.4 200 200 200 I.5 M ( 2 , 6 ) M(2, 6) M ( 2 , 6 ) I.6 cos A = 1 2 \cos A = \tfrac12 cos A = 2 1 II.1.c n ∈ { 0 , 6 } n \in \{0, 6\} n ∈ { 0 , 6 } III.1.b y = 1 y = 1 y = 1
Ce merită reținut din varianta 1
Pentru a arăta că nu există element neutru , găsește două valori diferite pentru e e e 0 ∘ e = 0 0 \circ e = 0 0 ∘ e = 0 e ∘ 0 = 0 e \circ 0 = 0 e ∘ 0 = 0 Inegalități pe un interval: studiază monotonia funcției diferență/sumă și compară cu valoarea la capăt.∫ f ′ f = ln f \int \frac{f'}{f} = \ln f ∫ f f ′ = ln f f > 0 f > 0 f > 0