Rezolvare BAC 2019 Matematică (tehnologic) — Model oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2019 la Matematică M_tehnologic, modelul oficial publicat de minister. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $N = (4 + 3i)^2 + (3 - 4i)^2$ este natural

$(4 + 3i)^2 = 16 + 24i - 9 = 7 + 24i$, $(3 - 4i)^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i$. Suma: $N = 0 \in \mathbb N$. $\blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

2. $A(a, a)$ aparține graficului lui $f(x) = 2 - x^2$

$2 - a^2 = a \iff a^2 + a - 2 = 0 \iff a \in \{-2, 1\}$. Barem: 3p, 2p.

3. Ecuația $5^x + 5^{x+1} = 30$

$5^x(1 + 5) = 30 \iff 5^x = 5 \iff x = 1$. Barem: 3p, 2p.

4. $M = \{\sqrt1, \sqrt2, \dots, \sqrt{49}\}$: probabilitatea ca elementul să fie natural

49 de cazuri; pătratele perfecte $1, 4, \dots, 49$ dau 7 cazuri favorabile. $p = \frac7{49} = \frac17$. Barem: 1p, 2p, 2p.

5. Mediana din $B$ în $\triangle ABC$, $A(2,5)$, $B(3,5)$, $C(2,1)$

Mijlocul lui $AC$: $M(2, 3)$. $BM = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt5$.

Răspuns: $\sqrt5$. Barem: 2p, 3p.

6. $(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2 = 2$

Termenii $\pm 2\sin x\cos x$ se reduc: $2(\sin^2 x + \cos^2x) = 2$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(x, y) = \begin{pmatrix}x & -y\\ y & x\end{pmatrix}$

a) $\det A(1, 1) = 1 + 1 = 2$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

b) $A(n - 1, 0) + A(n + 1, 0) = \begin{pmatrix}2n & 0\\ 0 & 2n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2018 & 0\\ 0 & 2018\end{pmatrix} \iff n = 1009$. Barem: 3p, 2p.

c) $A(x,1)^2 = \begin{pmatrix}x & -1\\ 1 & x\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}x^2 - 1 & -2x\\ 2x & x^2 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & 2\\ -2 & a\end{pmatrix}.$

$-2x = 2 \Rightarrow x = -1$, apoi $a = x^2 - 1 = 0$.

Răspuns: $a = 0$. Barem: 3p, 2p.

2. $f = X^3 - 7X^2 + mX - 8$

a) $f(-1) = -1 - 7 - m - 8 = -m - 16$, $f(1) = 1 - 7 + m - 8 = m - 14$; suma: $-30$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

b) $f(2) = 8 - 28 + 2m - 8 = 2m - 28 = 0 \Rightarrow m = 14$. Împărțim $X^3 - 7X^2 + 14X - 8$ la $X^2 - 3X + 1$:

$X^3 - 7X^2 + 14X - 8 = (X^2 - 3X + 1)(X - 4) + (X - 4).$

Răspuns: câtul $X - 4$, restul $X - 4$. Barem: 2p, 3p.

c) În progresie geometrică: $x_1x_3 = x_2^2$, deci $x_1x_2x_3 = x_2^3 = 8 \Rightarrow x_2 = 2$. Atunci $f(2) = 0 \Rightarrow m = 14$, iar $f = (X - 2)(X^2 - 5X + 4) = (X-1)(X-2)(X-4)$: rădăcinile $1, 2, 4$ — pozitive, în progresie geometrică ✔.

Răspuns: $m = 14$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x + 2}$, $x > -2$

a) $f'(x) = \frac{(2x + 2)(x + 2) - (x^2 + 2x + 1)}{(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x+2)^2} = \frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}.\ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

b) $m = \lim\frac{f(x)}{x} = 1$; $n = \lim(f(x) - x) = \lim\frac{x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x}{x + 2} = \lim\frac{1}{x+2} = 0$.

Răspuns: $y = x$. Barem: 2p, 3p.

c) Scriem $f(x) = x + \frac{1}{x + 2}$ (din b), deci $f'(x) = 1 - \frac{1}{(x+2)^2}$ și $f''(x) = \frac{2}{(x+2)^3} > 0$ pentru $x > -2$: $f$ convexă. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = x^2 + \dfrac1x$, $x > 0$

a) $F(x) = \frac{x^3}{3} + \ln x + c$; $F(1) = \frac13 + c = 0 \Rightarrow c = -\frac13$.

Răspuns: $F(x) = \dfrac{x^3}{3} + \ln x - \dfrac13$. Barem: 3p, 2p.

b) $g = f$ pe $[1, 2]$:

$V = \pi\int_1^2\left(x^4 + 2x + \frac1{x^2}\right)dx = \pi\left(\frac{x^5}{5} + x^2 - \frac1x\right)\Big|_1^2 = \pi\left(\frac{32}{5} + 4 - \frac12 - \frac15 - 1 + 1\right) = \frac{97\pi}{10}.\ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

c) $(f(x) - x^2)\ln x = \frac{\ln x}{x} = (\ln x)'\ln x$:

$\int_1^m\frac{\ln x}{x}dx = \frac{\ln^2x}{2}\Big|_1^m = \frac{\ln^2 m}{2} = \frac12 \iff \ln m = \pm1.$

$m = \frac1e$ nu convine ($m > 1$), deci $m = e$. Răspuns: $m = e$. Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a \in \{-2, 1\}$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = \tfrac17$
I.5	$\sqrt5$
II.1.b	$n = 1009$
II.1.c	$a = 0$
II.2.b	cât $X - 4$, rest $X - 4$
II.2.c	$m = 14$
III.1.b	$y = x$
III.2.c	$m = e$

Ce merită reținut din acest model

• Rădăcini în progresie geometrică: termenul din mijloc este $\sqrt[3]{x_1x_2x_3}$.
• Asimptota oblică iese direct dacă scrii $f(x) = x + \frac1{x+2}$.
• Volumul de rotație: $V = \pi\int g^2$ — atenție la dezvoltarea pătratului.