Rezolvare BAC 2018 Matematică (tehnologic) — Simulare națională

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2018 la Matematică M_tehnologic, simularea pentru clasa a XII-a. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Rația progresiei geometrice cu $b_1 = 3$, $b_4 = 24$

$b_4 = b_1q^3 \Rightarrow 3q^3 = 24 \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2.$

Răspuns: $q = 2$. Barem: 3p $q^3 = 8$, 2p $q = 2$.

2. $A(a, 2)$ aparține graficului lui $f(x) = x^2 - 2x + 3$

$f(a) = 2 \iff a^2 - 2a + 3 = 2 \iff a^2 - 2a + 1 = 0 \iff (a-1)^2 = 0 \iff a = 1.$

Răspuns: $a = 1$. Barem: 3p ecuația, 2p soluția.

3. Ecuația $\log_3(x+1) + \log_3(x-1) = \log_3 8$

Condiții: $x + 1 > 0$ și $x - 1 > 0$, deci $x > 1$.

$\log_3\big((x+1)(x-1)\big) = \log_3 8 \iff x^2 - 1 = 8 \iff x^2 = 9 \iff x = \pm 3.$

$x = -3$ nu respectă condiția; $x = 3$ convine.

Răspuns: $x = 3$. Barem: 3p $x^2 - 1 = 8$, 2p selectarea soluției.

4. Numere de trei cifre cu produsul cifrelor $7$

$7$ este prim, deci cifrele sunt $1, 1, 7$ (în orice ordine): $117$, $171$, $711$.

Răspuns: $117, 171, 711$. Barem: 2p cifrele, 3p numerele.

5. $A(1,2)$, $B(5,5)$, $C(7,10)$: $AC = 2AB$

$AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5, \qquad AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 = 2AB.$

Barem: 2p $AB$, 3p $AC$ și concluzia.

6. Aria triunghiului $MNP$ cu $MN = 4$, $\angle N = \angle P = 75^\circ$

Unghiurile din $N$ și $P$ sunt egale, deci triunghiul este isoscel cu $MP = MN = 4$, iar $\angle M = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

$\mathcal A_{MNP} = \frac{MN\cdot MP\cdot\sin M}{2} = \frac{4\cdot 4\cdot\frac12}{2} = 4.$

Răspuns: $4$. Barem: 2p $MP = 4$, 3p aria.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix}3&7\\2&5\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}5&-7\\-2&3\end{pmatrix}$

a) $5A - 3B = 8\begin{pmatrix}0&7\\2&2\end{pmatrix}$

$5A - 3B = \begin{pmatrix}15&35\\10&25\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}15&-21\\-6&9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&56\\16&16\end{pmatrix} = 8\begin{pmatrix}0&7\\2&2\end{pmatrix}.$

Barem: 3p calculul, 2p factorizarea.

b) $B$ este inversa lui $A$

$A B = \begin{pmatrix}15 - 14 & -21 + 21\\10 - 10 & -14 + 15\end{pmatrix} = I_2, \qquad BA = \begin{pmatrix}15 - 14 & 35 - 35\\-6 + 6 & -14 + 15\end{pmatrix} = I_2.$

Deci $B = A^{-1}$. Barem: 2p $AB$, 3p $BA$ și concluzia.

c) $x, y$ cu $xA\cdot A - 8A = yI_2$

Înmulțim la dreapta cu $B = A^{-1}$:

$xA - 8I_2 = yB \iff \begin{pmatrix}3x - 8 & 7x\\2x & 5x - 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5y & -7y\\-2y & 3y\end{pmatrix}.$

Din $7x = -7y$: $y = -x$. Din $3x - 8 = -5x$: $x = 1$, $y = -1$ (și $5 - 8 = -3 = 3y$ ✔).

Răspuns: $x = 1$, $y = -1$. Barem: 3p ecuația matriceală, 2p valorile.

2. Legea $x * y = xy - 2(x + y) + 6$ (asociativă)

a) $x * y = (x-2)(y-2) + 2$

$x * y = xy - 2x - 2y + 4 + 2 = x(y-2) - 2(y-2) + 2 = (x-2)(y-2) + 2.$

Barem: 2p rescrierea, 3p factorizarea.

b) $x * 3 = 2018$

$(x-2)(3-2) + 2 = 2018 \iff x - 2 = 2016 \iff x = 2018.$

Răspuns: $x = 2018$. Barem: 2p ecuația, 3p soluția.

c) $\log_2 2 * \log_2 3 * \log_2 4 * \dots * \log_2 2018$

Din a): $x * 2 = (x-2)\cdot 0 + 2 = 2$ și $2 * y = 2$ pentru orice $x, y$ ($2$ este element „absorbant”).

Printre factori apare $\log_2 4 = 2$. Folosind asociativitatea:

$\big((\log_2 2 * \log_2 3) * 2\big) * (\log_2 5 * \dots * \log_2 2018) = 2 * (\dots) = 2.$

Răspuns: $2$. Barem: 2p elementul absorbant, 3p calculul.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = x^6 - 6x + 10$

a) $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x) - 5}{x - 1} = 0$

$f(1) = 1 - 6 + 10 = 5$, deci limita este derivata în $1$: $f'(x) = 6x^5 - 6$, $f'(1) = 0$.

$\lim_{x\to1}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1) = 0.$

Barem: 2p derivata, 3p limita.

b) Intervalele de monotonie

$f'(x) = 6(x^5 - 1) = 0 \iff x = 1$. Pentru $x \le 1$, $x^5 \le 1$ și $f' \le 0$; pentru $x \ge 1$, $f' \ge 0$.

Răspuns: $f$ descrescătoare pe $(-\infty, 1]$, crescătoare pe $[1, +\infty)$. Barem: 2p $f' = 0$, 3p monotonia.

c) $f(0{,}9) + f(1{,}1) \ge 10$

Din b), $x = 1$ este punct de minim global: $f(x) \ge f(1) = 5$ pentru orice $x$. Deci $f(0{,}9) \ge 5$ și $f(1{,}1) \ge 5$, iar suma este $\ge 10$. $\blacksquare$ Barem: 2p $f(x) \ge 5$, 3p concluzia.

2. $f(x) = xe^x$

a) $\displaystyle\int_1^2 \frac{f(x)}{x}\,dx = e(e-1)$

$\int_1^2 e^x\,dx = e^x\Big|_1^2 = e^2 - e = e(e-1).$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) Primitiva $F$ cu $F(1) = 0$

Integrăm prin părți ($u = x$, $v' = e^x$):

$\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = (x-1)e^x + c.$

$F(1) = 0\cdot e + c = 0 \Rightarrow c = 0$.

Răspuns: $F(x) = (x-1)e^x$. Barem: 3p primitivele, 2p constanta.

c) $a$ cu $\displaystyle\int_0^1 f(x)f'(x)\,dx = \frac12 e^a$

$\int_0^1 f(x)f'(x)\,dx = \frac{f^2(x)}{2}\Big|_0^1 = \frac{e^2}{2} - 0 = \frac12 e^2.$

Răspuns: $a = 2$. Barem: 3p integrala, 2p valoarea lui $a$.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$q = 2$
I.2	$a = 1$
I.3	$x = 3$
I.4	$117, 171, 711$
I.6	aria $= 4$
II.1.c	$x = 1$, $y = -1$
II.2.b	$x = 2018$
II.2.c	$2$
III.1.b	descr. pe $(-\infty,1]$, cresc. pe $[1,+\infty)$
III.2.b	$F(x) = (x-1)e^x$
III.2.c	$a = 2$

Ce merită reținut din simulare

• Element absorbant: dacă $x * a = a$ pentru orice $x$, orice compunere care îl conține pe $a$ dă $a$.
• Limita $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ este definiția derivatei în $a$.
• Minim global din monotonie demonstrează rapid inegalități numerice.
• $\int f f' = \frac{f^2}{2}$ — formă $u'u$.