Rezolvare BAC 2017 Matematică (tehnologic) — Model oficial

Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2017 la Matematică M_tehnologic. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\left(\frac12 + \frac13\right) : \frac56 = 1$

$\frac12 + \frac13 = \frac{3 + 2}{6} = \frac56, \qquad \frac56 : \frac56 = 1.$

Barem: 3p suma, 2p împărțirea.

2. $f(x) = 2x + 3$; punctul de intersecție a graficului cu $Oy$

Pe axa $Oy$ avem $x = 0$: $f(0) = 3$.

Răspuns: punctul $(0, 3)$. Barem: 3p $f(0)$, 2p coordonatele.

3. Ecuația $\lg(x^2 + 5) = \lg 9$

$x^2 + 5 > 0$ pentru orice $x$. Logaritmul este injectiv:

$x^2 + 5 = 9 \iff x^2 - 4 = 0 \iff x \in \{-2, 2\}.$

Răspuns: $x \in \{-2, 2\}$. Barem: 2p, 3p.

4. După o ieftinire cu $10\%$, obiectul costă 270 lei. Prețul inițial

$p - \frac{10}{100}p = 270 \iff 0{,}9p = 270 \iff p = 300.$

Răspuns: $300$ de lei. Barem: 3p, 2p.

5. $A(3,1)$, $B(3,5)$; distanța de la $O(0,0)$ la mijlocul segmentului $AB$

Mijlocul: $M\left(\frac{3+3}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = M(3, 3)$.

$OM = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt2.$

Răspuns: $3\sqrt2$. Barem: 2p, 3p.

6. $x \in \left(0, \frac\pi2\right)$, $\cos x = \frac{\sqrt2}{2}$; arătați că $\operatorname{tg} x = 1$

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \frac24 = \frac12,$

iar pe $\left(0, \frac\pi2\right)$ sinusul este pozitiv: $\sin x = \dfrac{\sqrt2}{2}$. Atunci

$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = 1.$

Barem: 3p $\sin x$, 2p $\operatorname{tg} x$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 4 & 8\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 8 & 4\\ 2 & 1\end{pmatrix}$

a) $\det A$

$\det A = 1\cdot 8 - 2\cdot 4 = 0.$

Răspuns: $0$. Barem: 3p, 2p.

b) $9(A + B) - (A\cdot B + B\cdot A) = 45I_2$

$A\cdot B = \begin{pmatrix} 12 & 6\\ 48 & 24\end{pmatrix}, \quad B\cdot A = \begin{pmatrix} 24 & 48\\ 6 & 12\end{pmatrix}, \quad A\cdot B + B\cdot A = \begin{pmatrix} 36 & 54\\ 54 & 36\end{pmatrix}.$

$9(A + B) = 9\begin{pmatrix} 9 & 6\\ 6 & 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 81 & 54\\ 54 & 81\end{pmatrix} \Rightarrow 9(A+B) - (AB + BA) = \begin{pmatrix} 45 & 0\\ 0 & 45\end{pmatrix} = 45I_2.$

Barem: 3p, 2p.

c) $x$ cu $\det(A + xI_2) = 0$

$\det\begin{pmatrix} 1 + x & 2\\ 4 & 8 + x\end{pmatrix} = (1+x)(8+x) - 8 = x^2 + 9x.$

$x^2 + 9x = x(x + 9) = 0 \iff x \in \{-9, 0\}$.

Răspuns: $x \in \{-9, 0\}$. Barem: 3p, 2p.

2. $f = X^3 - 3X^2 - 6X + 8$

a) $f(2) = -8$

$f(2) = 8 - 12 - 12 + 8 = -8.$

Barem: 3p, 2p.

b) Câtul și restul împărțirii lui $f$ la $X - 1$

Restul este $f(1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0$ (teorema restului). Cu schema lui Horner (coeficienți $1, -3, -6, 8$, rădăcina $1$): $1,\ -2,\ -8\ \mid\ 0$.

Răspuns: câtul $X^2 - 2X - 8$, restul $0$. Barem: 3p câtul, 2p restul.

c) $(x_1 + 1)^2 + (x_2 + 1)^2 + (x_3 + 1)^2 = 30$

Viète: $x_1 + x_2 + x_3 = 3$, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -6$, deci

$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 3^2 - 2\cdot(-6) = 21.$

$\sum(x_i + 1)^2 = \sum x_i^2 + 2\sum x_i + 3 = 21 + 6 + 3 = 30.$

Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1$

a) $f'(x) = 6(x-1)(x-2)$

$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2).$

Barem: 3p, 2p.

b) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^3 - f(x)}{f'(x)}$

$2x^3 - f(x) = 9x^2 - 12x - 1$:

$\lim_{x\to+\infty}\frac{9x^2 - 12x - 1}{6x^2 - 18x + 12} = \lim_{x\to+\infty}\frac{9 - \frac{12}{x} - \frac{1}{x^2}}{6 - \frac{18}{x} + \frac{12}{x^2}} = \frac96 = \frac32.$

Răspuns: $\dfrac32$. Barem: 2p, 3p.

c) Tangenta în punctul de abscisă $x = 1$

$f(1) = 2 - 9 + 12 + 1 = 6$, $f'(1) = 0$:

$y - 6 = 0\cdot(x - 1) \iff y = 6.$

Răspuns: $y = 6$. Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = x^2 - 2x$

a) $\displaystyle\int_{-1}^1 (f(x) + 2x)\,dx = \frac23$

$f(x) + 2x = x^2$:

$\int_{-1}^1 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_{-1}^1 = \frac13 - \left(-\frac13\right) = \frac23.$

Barem: 2p, 3p.

b) $\displaystyle\int_0^1 e^x\left(x^2 - f(x)\right)dx$

$x^2 - f(x) = 2x$. Prin părți:

$\int_0^1 2xe^x\,dx = 2xe^x\Big|_0^1 - 2\int_0^1 e^x\,dx = 2e - 2(e - 1) = 2.$

Răspuns: $2$. Barem: 3p, 2p.

c) Aria suprafeței delimitate de $G_f$, $Ox$, $x = 0$, $x = 1$ este $\frac23$

Pe $[0, 1]$: $f(x) = x(x - 2) \le 0$, deci $|f(x)| = 2x - x^2$ și

$\mathcal A = \int_0^1 |f(x)|\,dx = \int_0^1 (2x - x^2)\,dx = \left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1 = 1 - \frac13 = \frac23.$

Atenție: fără modul integrala ar ieși $-\frac23$ — aria este întotdeauna pozitivă. Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$(0, 3)$
I.3	$x \in \{-2, 2\}$
I.4	$300$ de lei
I.5	$3\sqrt2$
II.1.a	$\det A = 0$
II.1.c	$x \in \{-9, 0\}$
II.2.b	câtul $X^2 - 2X - 8$, restul $0$
III.1.b	$\tfrac32$
III.1.c	$y = 6$
III.2.b	$2$
III.2.c	$\tfrac23$

Ce merită reținut din model

• Teorema restului: restul împărțirii la $X - a$ este $f(a)$; câtul se obține rapid cu schema lui Horner.
• $\sum (x_i + 1)^2$ se dezvoltă în funcție de $\sum x_i^2$ și $\sum x_i$, ambele date de Viète.
• Aria sub grafic: dacă funcția este negativă pe interval, integrezi $|f| = -f$.
• Limite de raport de polinoame de același grad = raportul coeficienților dominanți.