Rezolvarea completă a subiectului de la simularea Bacalaureatului 2019 (clasa a XII-a) la Matematică M_tehnologic . Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.
Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.
Subiectul I (30 de puncte)
1. Arătați că ( 1 + 5 ) 2 − 20 = 6 (1 + \sqrt5)^2 - \sqrt{20} = 6 ( 1 + 5 ) 2 − 20 = 6
( 1 + 5 ) 2 = 6 + 2 5 (1 + \sqrt5)^2 = 6 + 2\sqrt5 ( 1 + 5 ) 2 = 6 + 2 5 20 = 2 5 \sqrt{20} = 2\sqrt5 20 = 2 5 6 6 6 ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
2. Distanța dintre punctele de intersecție ale graficului lui f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 f(x) = x^2 + 2x - 3 f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 O x Ox O x
x 2 + 2 x − 3 = 0 ⟺ x ∈ { − 3 , 1 } x^2 + 2x - 3 = 0 \iff x \in \{-3, 1\} x 2 + 2 x − 3 = 0 ⟺ x ∈ { − 3 , 1 } ( − 3 , 0 ) (-3, 0) ( − 3 , 0 ) ( 1 , 0 ) (1, 0) ( 1 , 0 ) ∣ 1 − ( − 3 ) ∣ = 4 |1 - (-3)| = 4 ∣1 − ( − 3 ) ∣ = 4
Răspuns: 4 4 4 Barem: 3p, 2p.
3. Ecuația 4 x ⋅ 8 x + 1 = 16 2 x 4^x\cdot 8^{x+1} = 16^{2x} 4 x ⋅ 8 x + 1 = 1 6 2 x
Scriem totul în baza 2: 2 2 x ⋅ 2 3 x + 3 = 2 8 x ⟺ 5 x + 3 = 8 x ⟺ x = 1 2^{2x}\cdot 2^{3x+3} = 2^{8x} \iff 5x + 3 = 8x \iff x = 1 2 2 x ⋅ 2 3 x + 3 = 2 8 x ⟺ 5 x + 3 = 8 x ⟺ x = 1
Răspuns: x = 1 x = 1 x = 1 Barem: 3p, 2p.
4. Numerele de trei cifre cu produsul cifrelor egal cu 15
15 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 15 = 1\cdot 3\cdot 5 15 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 15 15 15 1 , 3 , 5 1, 3, 5 1 , 3 , 5
Răspuns: 135 , 153 , 315 , 351 , 513 , 531 135, 153, 315, 351, 513, 531 135 , 153 , 315 , 351 , 513 , 531 Barem: 3p, 2p.
5. A ( a , a + 1 ) A(a, a + 1) A ( a , a + 1 ) y = 2 x − 1 y = 2x - 1 y = 2 x − 1
a + 1 = 2 a − 1 ⟺ a = 2 a + 1 = 2a - 1 \iff a = 2 a + 1 = 2 a − 1 ⟺ a = 2 Barem: 3p, 2p.
6. ( 2 sin x + 3 cos x ) 2 + ( 3 sin x − 2 cos x ) 2 = 13 (2\sin x + 3\cos x)^2 + (3\sin x - 2\cos x)^2 = 13 ( 2 sin x + 3 cos x ) 2 + ( 3 sin x − 2 cos x ) 2 = 13
Dezvoltând, termenii ± 12 sin x cos x \pm12\sin x\cos x ± 12 sin x cos x ( 4 + 9 ) sin 2 x + ( 9 + 4 ) cos 2 x = 13 (4 + 9)\sin^2x + (9 + 4)\cos^2x = 13 ( 4 + 9 ) sin 2 x + ( 9 + 4 ) cos 2 x = 13 ■ \blacksquare ■ Barem: 2p, 3p.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. A ( x ) = ( x x − 1 x − 1 x ) A(x) = \begin{pmatrix}x & x - 1\\ x - 1 & x\end{pmatrix} A ( x ) = ( x x − 1 x − 1 x )
a) det A ( 2 ) = 4 − 1 = 3 \det A(2) = 4 - 1 = 3 det A ( 2 ) = 4 − 1 = 3 ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
b) A ( x ) A ( y ) = ( x y + ( x − 1 ) ( y − 1 ) x ( y − 1 ) + ( x − 1 ) y ( x − 1 ) y + x ( y − 1 ) ( x − 1 ) ( y − 1 ) + x y ) = ( 2 x y − x − y + 1 2 x y − x − y 2 x y − x − y 2 x y − x − y + 1 ) , A(x)A(y) = \begin{pmatrix}xy + (x-1)(y-1) & x(y-1) + (x-1)y\\ (x-1)y + x(y - 1) & (x-1)(y-1) + xy\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2xy - x - y + 1 & 2xy - x - y\\ 2xy - x - y & 2xy - x - y + 1\end{pmatrix}, A ( x ) A ( y ) = ( x y + ( x − 1 ) ( y − 1 ) ( x − 1 ) y + x ( y − 1 ) x ( y − 1 ) + ( x − 1 ) y ( x − 1 ) ( y − 1 ) + x y ) = ( 2 x y − x − y + 1 2 x y − x − y 2 x y − x − y 2 x y − x − y + 1 ) ,
adică A ( 2 x y − x − y + 1 ) A(2xy - x - y + 1) A ( 2 x y − x − y + 1 ) ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
c) Din b): A ( x ) A ( 1 2 ) = A ( x − x − 1 2 + 1 ) = A ( 1 2 ) A(x)A\left(\frac12\right) = A\left(x - x - \frac12 + 1\right) = A\left(\frac12\right) A ( x ) A ( 2 1 ) = A ( x − x − 2 1 + 1 ) = A ( 2 1 ) A ( 1 2 ) A ( y ) = A ( 1 2 ) A\left(\frac12\right)A(y) = A\left(\frac12\right) A ( 2 1 ) A ( y ) = A ( 2 1 )
A ( x ) A ( 1 2 ) A ( y ) = A ( 1 2 ) A ( y ) = A ( 1 2 ) ⇒ a = 1 2 . A(x)A\left(\tfrac12\right)A(y) = A\left(\tfrac12\right)A(y) = A\left(\tfrac12\right)\quad\Rightarrow\quad a = \tfrac12. A ( x ) A ( 2 1 ) A ( y ) = A ( 2 1 ) A ( y ) = A ( 2 1 ) ⇒ a = 2 1 .
Barem: 2p, 3p.
2. x ∗ y = x + y − x y 4 x * y = x + y - \frac{xy}{4} x ∗ y = x + y − 4 x y
a) 6 ∗ 2 = 8 − 3 = 5 6 * 2 = 8 - 3 = 5 6 ∗ 2 = 8 − 3 = 5 ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
b) x + 4 x − x 2 = 6 ⟺ x 2 − 5 x + 6 = 0 ⟺ x ∈ { 2 , 3 } x + 4x - x^2 = 6 \iff x^2 - 5x + 6 = 0 \iff x \in \{2, 3\} x + 4 x − x 2 = 6 ⟺ x 2 − 5 x + 6 = 0 ⟺ x ∈ { 2 , 3 } Barem: 3p, 2p.
c) x ∗ 4 = x + 4 − x = 4 x * 4 = x + 4 - x = 4 x ∗ 4 = x + 4 − x = 4 4 ∗ y = 4 4 * y = 4 4 ∗ y = 4 x , y x, y x , y
1 ∗ 2 ∗ ⋯ ∗ 2019 = ( ( 1 ∗ 2 ∗ 3 ) ∗ 4 ) ∗ ( 5 ∗ ⋯ ∗ 2019 ) = 4 ∗ ( 5 ∗ ⋯ ∗ 2019 ) = 4. 1 * 2 * \dots * 2019 = \big((1 * 2 * 3) * 4\big) * (5 * \dots * 2019) = 4 * (5 * \dots * 2019) = 4. 1 ∗ 2 ∗ ⋯ ∗ 2019 = ( ( 1 ∗ 2 ∗ 3 ) ∗ 4 ) ∗ ( 5 ∗ ⋯ ∗ 2019 ) = 4 ∗ ( 5 ∗ ⋯ ∗ 2019 ) = 4.
Răspuns: 4 4 4 Barem: 2p, 3p.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. f ( x ) = 3 + x − 3 e x f(x) = 3 + \dfrac{x - 3}{e^x} f ( x ) = 3 + e x x − 3
a) f ′ ( x ) = e x − ( x − 3 ) e x e 2 x = 4 − x e x . ■ f'(x) = \frac{e^x - (x - 3)e^x}{e^{2x}} = \frac{4 - x}{e^x}.\ \blacksquare f ′ ( x ) = e 2 x e x − ( x − 3 ) e x = e x 4 − x . ■
Barem: 3p, 2p.
b) f ′ ′ ( x ) = − e x − ( 4 − x ) e x e 2 x = x − 5 e x ≥ 0 f''(x) = \frac{-e^x - (4 - x)e^x}{e^{2x}} = \frac{x - 5}{e^x} \ge 0 f ′′ ( x ) = e 2 x − e x − ( 4 − x ) e x = e x x − 5 ≥ 0 [ 5 , + ∞ ) [5, +\infty) [ 5 , + ∞ ) f f f ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
c) f f f ( − ∞ , 4 ] (-\infty, 4] ( − ∞ , 4 ] [ 4 , + ∞ ) [4, +\infty) [ 4 , + ∞ ) f ( x ) ≤ f ( 4 ) = 3 + 1 e 4 f(x) \le f(4) = 3 + \frac1{e^4} f ( x ) ≤ f ( 4 ) = 3 + e 4 1
x − 3 e x ≤ 1 e 4 ⟺ x − 3 ≤ e x − 4 . ■ \frac{x - 3}{e^x} \le \frac{1}{e^4} \iff x - 3 \le e^{x-4}.\ \blacksquare e x x − 3 ≤ e 4 1 ⟺ x − 3 ≤ e x − 4 . ■
Barem: 2p, 3p.
2. f ( x ) = 6 x 2 + 4 x + 1 f(x) = 6x^2 + 4x + 1 f ( x ) = 6 x 2 + 4 x + 1
a) ∫ 0 1 f ( x ) d x = ( 2 x 3 + 2 x 2 + x ) ∣ 0 1 = 5 \int_0^1 f(x)\,dx = (2x^3 + 2x^2 + x)\Big|_0^1 = 5 ∫ 0 1 f ( x ) d x = ( 2 x 3 + 2 x 2 + x ) 0 1 = 5 ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
b) Δ = 16 − 24 < 0 \Delta = 16 - 24 < 0 Δ = 16 − 24 < 0 f ( x ) > 0 f(x) > 0 f ( x ) > 0 F F F F ′ = f > 0 F' = f > 0 F ′ = f > 0 ■ \blacksquare ■ Barem: 2p, 3p.
c) ∫ 1 a ( 6 x + 4 + 1 x ) d x = ( 3 x 2 + 4 x + ln x ) ∣ 1 a = 3 a 2 + 4 a + ln a − 7. \int_1^a\left(6x + 4 + \frac1x\right)dx = (3x^2 + 4x + \ln x)\Big|_1^a = 3a^2 + 4a + \ln a - 7. ∫ 1 a ( 6 x + 4 + x 1 ) d x = ( 3 x 2 + 4 x + ln x ) 1 a = 3 a 2 + 4 a + ln a − 7.
3 a 2 + 4 a − 7 = 13 ⟺ 3 a 2 + 4 a − 20 = 0 ⟺ a ∈ { − 10 3 , 2 } 3a^2 + 4a - 7 = 13 \iff 3a^2 + 4a - 20 = 0 \iff a \in \left\{-\frac{10}3, 2\right\} 3 a 2 + 4 a − 7 = 13 ⟺ 3 a 2 + 4 a − 20 = 0 ⟺ a ∈ { − 3 10 , 2 } a > 1 a > 1 a > 1 a = 2 a = 2 a = 2
Răspuns: a = 2 a = 2 a = 2 Barem: 2p, 3p.
Rezumatul răspunsurilor
Cerință Răspuns I.2 4 4 4 I.3 x = 1 x = 1 x = 1 I.4 135 , 153 , 315 , 351 , 513 , 531 135, 153, 315, 351, 513, 531 135 , 153 , 315 , 351 , 513 , 531 I.5 a = 2 a = 2 a = 2 II.1.c a = 1 2 a = \tfrac12 a = 2 1 II.2.b x ∈ { 2 , 3 } x \in \{2, 3\} x ∈ { 2 , 3 } II.2.c 4 4 4 III.2.c a = 2 a = 2 a = 2
Ce merită reținut din simulare
Ecuații exponențiale: adu toate puterile la aceeași bază.Element absorbant în legi de compoziție și în produse de matrice (A ( 1 2 ) A(\tfrac12) A ( 2 1 ) Inegalitate din maximul funcției: f ( x ) ≤ f ( 4 ) f(x) \le f(4) f ( x ) ≤ f ( 4 )