Rezolvare BAC 2022 Matematică (tehnologic) — Sesiune specială, varianta 3

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2022 la Matematică M_tehnologic, sesiunea specială, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $(1{,}5 - 0{,}5)\cdot3 - 2\cdot0{,}5 = 2$

$(1{,}5 - 0{,}5)\cdot3 - 2\cdot0{,}5 = 1\cdot3 - 1 = 2.$

Barem: 3p + 2p.

2. $f(x) = 2x - 3$; $a$ cu $f(a) = 9$

$2a - 3 = 9 \iff a = 6.$

Barem: 2p + 3p.

3. Ecuația $\log_4(3x - 1) = \log_4 5$

Logaritmul e injectiv: $3x - 1 = 5 \iff x = 2$; condiția $3x - 1 > 0$ e îndeplinită.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p + 2p.

4. $A = \{0, 1, \dots, 9\}$; probabilitatea ca $5n \le 22$

10 cazuri posibile; $5n \le 22 \iff n \le 4{,}4$, deci $n \in \{0,1,2,3,4\}$: 5 cazuri favorabile.

$p = \frac{5}{10} = \frac12.$

Barem: 2p + 3p.

5. Mijlocul segmentului $AB$, $A(-2,1)$, $B(6,3)$

$x_M = \frac{-2 + 6}{2} = 2,\quad y_M = \frac{1 + 3}{2} = 2.$

Răspuns: $M(2, 2)$. Barem: 3p + 2p.

6. $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$, $AC = 4$, $BC = 5$; aria $= 6$

Pitagora: $AB = \sqrt{25 - 16} = 3$.

$\mathcal A = \frac{AB\cdot AC}{2} = \frac{3\cdot4}{2} = 6.$

Barem: 2p + 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$, $B(x) = \begin{pmatrix}2 - x & x\\ x & 2\end{pmatrix}$

a) $\det A = 5$

$\det A = 2\cdot3 - 1\cdot1 = 5.$

Barem: 3p + 2p.

b) $2A - B(2) = 2B(0)$

$2A - B(2) = \begin{pmatrix}4&2\\2&6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&2\\2&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} = 2B(0).$

Barem: 3p + 2p.

c) $x$ cu $\det\big(B(x)B(1) - (x+1)A\big) = 1$

$B(1) = \begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$:

$B(x)B(1) = \begin{pmatrix}2 & x + 2\\ x + 2 & x + 4\end{pmatrix},\quad (x+1)A = \begin{pmatrix}2x + 2 & x + 1\\ x + 1 & 3x + 3\end{pmatrix},$

$B(x)B(1) - (x+1)A = \begin{pmatrix}-2x & 1\\ 1 & 1 - 2x\end{pmatrix},\quad \det = -2x(1 - 2x) - 1 = 4x^2 - 2x - 1.$

$4x^2 - 2x - 1 = 1 \iff 2x^2 - x - 1 = 0 \iff (x - 1)(2x + 1) = 0$.

Răspuns: $x \in \left\{-\frac12, 1\right\}$. Barem: 3p + 2p.

2. Legea $x\circ y = x + y - 6xy$

a) $1\circ1 = -4$

$1\circ1 = 1 + 1 - 6 = -4.$

Barem: 3p + 2p.

b) $e = 0$ este elementul neutru

$0\circ x = 0 + x - 0 = x$ și $x\circ0 = x$, pentru orice $x$ real. $\blacksquare$ Barem: 2p + 3p.

c) $m$ întreg cu $m\circ(3 - m) < 3$

$m\circ(3 - m) = m + 3 - m - 6m(3 - m) = 3 - 6m(3 - m).$

$3 - 6m(3 - m) < 3 \iff m(3 - m) > 0 \iff m(m - 3) < 0 \iff m \in (0, 3)$.

Răspuns: $m \in \{1, 2\}$. Barem: 2p + 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = 2x^3 - 3x^4 + 2$

a) $f'(x) = 6x^2(1 - 2x)$

$f'(x) = 6x^2 - 12x^3 = 6x^2(1 - 2x).$

Barem: 3p + 2p.

b) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x) + 3x^4}{x^3 + 4} = 2$

$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3 + 2}{x^3 + 4} = \lim_{x\to\infty}\frac{2 + \frac2{x^3}}{1 + \frac4{x^3}} = 2.$

Barem: 2p + 3p.

c) $-32 \le 2x^3 - 3x^4 \le \frac1{16}$ pentru $x \in [0, 2]$

$f'(x) = 0 \iff x \in \{0, \frac12\}$. Pe $\left[0, \frac12\right]$: $f' \ge 0$, $f$ crescătoare; pe $\left[\frac12, 2\right]$: $f' \le 0$, $f$ descrescătoare.

$f(0) = 2$, $f\left(\frac12\right) = \frac14 - \frac3{16} + 2 = \frac{33}{16}$, $f(2) = 16 - 48 + 2 = -30$.

Deci pe $[0,2]$: $-30 \le f(x) \le \frac{33}{16}$; scăzând 2: $-32 \le 2x^3 - 3x^4 \le \frac1{16}$. $\blacksquare$ Barem: 2p + 3p.

2. $f(x) = 2x + 3e^x$

a) $\displaystyle\int_2^3\left(f(x) - 3e^x\right)dx = 5$

$\int_2^3 2x\,dx = x^2\Big|_2^3 = 9 - 4 = 5.$

Barem: 3p + 2p.

b) $\displaystyle\int_0^1 x\left(f(x) - 2x\right)dx = 3$

Prin părți:

$\int_0^1 3xe^xdx = 3xe^x\Big|_0^1 - 3\int_0^1e^xdx = 3e - 3(e - 1) = 3.$

Barem: 3p + 2p.

c) $a$ cu $\displaystyle\int_0^1\frac{f'(x) - x}{2f(x) - x^2}dx = a\ln\left(e + \frac12\right)$

$(2f(x) - x^2)' = 2(f'(x) - x)$, iar $2f(x) - x^2 = 4x + 6e^x - x^2 > 0$ pe $[0,1]$. Deci

$\int_0^1\frac{f' - x}{2f - x^2}dx = \frac12\ln(2f(x) - x^2)\Big|_0^1 = \frac12\ln\frac{3 + 6e}{6} = \frac12\ln\left(e + \frac12\right).$

Răspuns: $a = \dfrac12$. Barem: 3p + 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 6$
I.3	$x = 2$
I.4	$p = \frac12$
I.5	$M(2,2)$
II.1.c	$x \in \{-\frac12, 1\}$
II.2.c	$m \in \{1, 2\}$
III.2.c	$a = \frac12$

Ce merită reținut din varianta 3

• Încadrarea unei funcții pe un interval închis: valori în capete + în punctele critice.
• $\int\frac{u'}{u}dx = \ln|u|$ — caută derivata numitorului (eventual cu un factor constant).