Rezolvare BAC 2023 Matematică (tehnologic) — Iunie–Iulie, varianta 1

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2023 la Matematică M_tehnologic, sesiunea iunie–iulie, varianta 1. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $3\cdot\left(1 + \dfrac12\right) - \dfrac12 = 4$

Întâi paranteza: $1 + \dfrac12 = \dfrac32$. Apoi înmulțirea și scăderea:

$3\cdot\frac32 - \frac12 = \frac92 - \frac12 = \frac82 = 4.$

Barem: 3p calculul parantezei și al produsului, 2p rezultatul.

2. $f(x) = x + 2$: determinați $a$ cu $f(a) = 6$

$f(a) = a + 2$, deci $a + 2 = 6 \iff a = 4$.

Răspuns: $a = 4$. Barem: 2p $f(a) = a + 2$, 3p soluția.

3. Ecuația $\log_7(2x + 1) = \log_7 9$

Condiție de existență: $2x + 1 > 0 \iff x > -\dfrac12$.

Logaritmul în aceeași bază este injectiv, deci argumentele sunt egale:

$2x + 1 = 9 \iff 2x = 8 \iff x = 4.$

Verificare: $4 > -\frac12$, deci soluția convine.

Răspuns: $x = 4$. Barem: 3p ecuația $2x + 1 = 9$, 2p soluția, cu precizarea că ea convine.

4. Probabilitatea ca un $n \in A = \{1, 2, 3, \ldots, 23\}$ să verifice $n \ge 10$

• cazuri posibile: $A$ are 23 de elemente;
• cazuri favorabile: $n \in \{10, 11, \ldots, 23\}$, adică $23 - 10 + 1 = 14$ numere.

$P = \frac{14}{23}.$

Răspuns: $P = \dfrac{14}{23}$. Barem: 2p cazurile posibile, 3p cazurile favorabile și probabilitatea. Atenție la numărare: de la 10 la 23 inclusiv sunt 14 numere, nu 13.

5. Mijlocul segmentului $AB$, cu $A(-1, 2)$ și $B(1, 6)$

Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor:

$x_M = \frac{-1 + 1}{2} = 0, \qquad y_M = \frac{2 + 6}{2} = 4.$

Răspuns: $M(0, 4)$. Barem: 3p $x_M$, 2p $y_M$.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AC = \sqrt2$, $BC = 2$: triunghiul este isoscel

$BC$ este ipotenuza (opusă unghiului drept). Cu teorema lui Pitagora:

$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 4 - 2 = 2 \Rightarrow AB = \sqrt2.$

Cum $AB = AC = \sqrt2$, triunghiul $ABC$ este isoscel (dreptunghic isoscel). Barem: 3p calculul lui $AB$, 2p concluzia.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Matricele $A = \begin{pmatrix}3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}0 & 4\\ 4 & 2\end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$

a) $\det A = -1$

$\det A = \begin{vmatrix}3 & 2\\ 2 & 1\end{vmatrix} = 3\cdot 1 - 2\cdot 2 = 3 - 4 = -1.$

Barem: 3p scrierea determinantului, 2p calculul.

b) $2B - A = 3C$

$2B - A = \begin{pmatrix}0 & 8\\ 8 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 6\\ 6 & 3\end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} = 3C.$

Barem: 3p calculul lui $2B - A$, 2p concluzia.

c) Matricea $X \in \mathcal M_2(\mathbb R)$ cu $2X\cdot A = B + 2C$

Membrul drept: $B + 2C = \begin{pmatrix}0 & 4\\ 4 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 & 4\\ 4 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 8\\ 8 & 4\end{pmatrix}$.

Cum $\det A = -1 \ne 0$, $A$ este inversabilă. Pentru o matrice $2\times2$, $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}$:

$A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix}1 & -2\\ -2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & -3\end{pmatrix}.$

Înmulțim egalitatea la dreapta cu $A^{-1}$ (ordinea contează, $X$ este în stânga lui $A$): $2X = (B + 2C)A^{-1}$, deci

$X = \frac12\begin{pmatrix}-2 & 8\\ 8 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & -3\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix}2 + 16 & -4 - 24\\ -8 + 8 & 16 - 12\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix}18 & -28\\ 0 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & -14\\ 0 & 2\end{pmatrix}.$

Verificare: $2XA = \begin{pmatrix}18 & -28\\ 0 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}54 - 56 & 36 - 28\\ 8 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 8\\ 8 & 4\end{pmatrix}$ ✔.

Răspuns: $X = \begin{pmatrix}9 & -14\\ 0 & 2\end{pmatrix}$. Barem: 3p $B + 2C$ și $A^{-1}$, 2p matricea $X$.

2. Legea de compoziție $x * y = (x - 4)(y - 4) + 4$

a) $5 * 4 = 4$

$5 * 4 = (5 - 4)(4 - 4) + 4 = 1\cdot 0 + 4 = 4.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

b) $x$ real pentru care $x * 6 = 6x$

$x * 6 = (x - 4)\cdot 2 + 4 = 2x - 4$. Ecuația: $2x - 4 = 6x \iff -4x = 4 \iff x = -1$.

Răspuns: $x = -1$. Barem: 3p expresia $x * 6 = 2x - 4$, 2p soluția.

c) Numerele naturale nenule $n$ cu $\dfrac4n * n > 4$

$\frac4n * n = \left(\frac4n - 4\right)(n - 4) + 4 > 4 \iff 4\left(\frac1n - 1\right)(n - 4) > 0 \iff \frac{1 - n}{n}(n - 4) > 0.$

Cum $n > 0$, semnul depinde de $(1 - n)(n - 4)$, deci condiția este $(n - 1)(n - 4) < 0 \iff 1 < n < 4$.

Numerele naturale din acest interval: $n \in \{2, 3\}$. Pentru $n = 1$ și $n = 4$ produsul este 0 (egalitate, nu inegalitate strictă), iar pentru $n \ge 5$ este negativ.

Verificare: $n = 2$: $2 * 2 = 4 + 4 = 8 > 4$ ✔; $n = 3$: $\frac43 * 3 = \left(-\frac83\right)(-1) + 4 = \frac{20}{3} > 4$ ✔.

Răspuns: $n \in \{2, 3\}$. Barem: 2p reducerea la $\left(\frac1n - 1\right)(n - 4) > 0$, 3p soluțiile.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:\mathbb R \to \mathbb R$, $f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 9$

a) $f'(x) = 3\left(x^2 + 4x - 5\right)$

Derivăm termen cu termen ($(x^n)' = nx^{n-1}$, derivata constantei este 0):

$f'(x) = 3x^2 + 12x - 15 = 3\left(x^2 + 4x - 5\right).$

Barem: 3p derivarea, 2p forma finală.

b) Intervalele de monotonie

$f'(x) = 0 \iff x^2 + 4x - 5 = 0 \iff (x + 5)(x - 1) = 0 \iff x \in \{-5, 1\}$.

Trinomul $x^2 + 4x - 5$ are coeficientul dominant pozitiv, deci este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele:

$x$	$-\infty$		$-5$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		↗	$109$	↘	$1$	↗

($f(-5) = -125 + 150 + 75 + 9 = 109$, $f(1) = 1 + 6 - 15 + 9 = 1$.)

Răspuns: $f$ este crescătoare pe $(-\infty, -5]$, descrescătoare pe $[-5, 1]$ și crescătoare pe $[1, +\infty)$. Barem: 2p rădăcinile lui $f'$, 3p intervalele de monotonie.

c) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{e^x f''(x)} = 0$

$f''(x) = 3(2x + 4)$. Atunci

$\frac{f'(x)}{e^x f''(x)} = \frac{3\left(x^2 + 4x - 5\right)}{3e^x(2x + 4)} = \frac{x^2 + 4x - 5}{e^x(2x + 4)}.$

Avem nedeterminare $\frac\infty\infty$. Scriem $\dfrac{x^2 + 4x - 5}{2x + 4}\cdot\dfrac{1}{e^x}$; o variantă clară este l'Hôpital de două ori:

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2 + 4x - 5}{e^x(2x + 4)} \overset{\text{l'H}}{=} \lim_{x\to+\infty}\frac{2x + 4}{e^x(2x + 6)} \overset{\text{l'H}}{=} \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x(2x + 8)} = 0,$

pentru că $(e^x(2x + 4))' = e^x(2x + 6)$ și $(e^x(2x + 6))' = e^x(2x + 8)$, iar numitorul final tinde la $+\infty$. Intuitiv: exponențiala crește mai repede decât orice polinom.

Barem: 3p calculul lui $f''$ și aplicarea l'Hôpital, 2p limita.

2. $f:(-9, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{8x}{x + 9}$

a) $\displaystyle\int_0^1 (x + 9)f(x)\,dx = 4$

$(x + 9)f(x) = 8x$, deci

$\int_0^1 8x\,dx = 4x^2\Big|_0^1 = 4 - 0 = 4.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) $\displaystyle\int_1^6\frac{1}{8x}f(x)\,dx = \ln\frac32$

$\dfrac{1}{8x}\cdot\dfrac{8x}{x + 9} = \dfrac{1}{x + 9}$, deci

$\int_1^6\frac{1}{x + 9}\,dx = \ln(x + 9)\Big|_1^6 = \ln 15 - \ln 10 = \ln\frac{15}{10} = \ln\frac32.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul final.

c) Numărul real $a$ cu $\displaystyle\int_0^3 f\left(x^2\right)dx = 6(4 + a\pi)$

$f(x^2) = \dfrac{8x^2}{x^2 + 9}$. Scoatem partea întreagă: $\dfrac{x^2}{x^2 + 9} = \dfrac{x^2 + 9 - 9}{x^2 + 9} = 1 - \dfrac{9}{x^2 + 9}$.

$\int_0^3\frac{8x^2}{x^2 + 9}\,dx = 8\int_0^3\left(1 - \frac{9}{x^2 + 3^2}\right)dx = 8x\Big|_0^3 - 8\cdot 9\cdot\frac13\operatorname{arctg}\frac x3\Big|_0^3.$

Am folosit $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac1a\operatorname{arctg}\frac xa + C$. Cu $\operatorname{arctg}1 = \dfrac\pi4$ și $\operatorname{arctg}0 = 0$:

$= 24 - 24\cdot\frac\pi4 = 24 - 6\pi = 6(4 - \pi).$

Comparând cu $6(4 + a\pi)$: $a\pi = -\pi \Rightarrow a = -1$.

Răspuns: $a = -1$. Barem: 3p calculul integralei ($24 - 6\pi$), 2p valoarea lui $a$.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 4$
I.3	$x = 4$
I.4	$P = \frac{14}{23}$
I.5	$M(0, 4)$
II.1.c	$X = \begin{pmatrix}9 & -14\\ 0 & 2\end{pmatrix}$
II.2.b	$x = -1$
II.2.c	$n \in \{2, 3\}$
III.1.b	↗ pe $(-\infty, -5]$, ↘ pe $[-5, 1]$, ↗ pe $[1, +\infty)$
III.2.c	$a = -1$

Ce merită reținut din varianta 1

• Ecuații matriceale $XA = M$: înmulțești la dreapta cu $A^{-1}$, deci $X = MA^{-1}$ — nu $A^{-1}M$.
• Legi de forma $(x - k)(y - k) + k$: inegalitatea $x * y > k$ devine o condiție de semn pentru un produs.
• Limite cu $e^x$ la numitor: l'Hôpital repetat sau argumentul „exponențiala domină polinoamele”.
• Integrale de forma $\dfrac{x^2}{x^2 + a^2}$: scoate partea întreagă, apoi folosește arctangenta.