Rezolvare BAC 2024 Matematică (tehnologic) — Sesiune specială, varianta 9

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2024 la Matematică M_tehnologic, sesiunea specială, varianta 9. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\sqrt2\cdot(3 + 2\sqrt2) - 3\sqrt2 + 3 = 7$

Desfacem paranteza înmulțind $\sqrt2$ cu fiecare termen:

$\sqrt2\cdot 3 + \sqrt2\cdot 2\sqrt2 = 3\sqrt2 + 2\cdot(\sqrt2)^2 = 3\sqrt2 + 4.$

Atunci expresia devine:

$3\sqrt2 + 4 - 3\sqrt2 + 3 = 4 + 3 = 7.$

Termenii cu radical se reduc ($3\sqrt2 - 3\sqrt2 = 0$). Barem: 2p desfacerea parantezei, 3p finalizarea.

2. $f(x) = 3x - 6$: determinați $m$ cu $f(m) = 3$

Înlocuim $x$ cu $m$: $f(m) = 3m - 6$. Ecuația devine:

$3m - 6 = 3 \iff 3m = 9 \iff m = 3.$

Răspuns: $m = 3$. Barem: 3p expresia lui $f(m)$, 2p rezolvarea ecuației.

3. Ecuația exponențială $5^{4x-2} = 5^2$

Funcția exponențială cu baza $5$ este injectivă (strict crescătoare), deci două puteri ale lui $5$ sunt egale doar dacă exponenții sunt egali:

$4x - 2 = 2 \iff 4x = 4 \iff x = 1.$

Verificare: $5^{4\cdot1-2} = 5^2$ ✔.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p egalarea exponenților și $4x = 4$, 2p soluția.

4. Prețul de 300 de lei după o ieftinire cu 30%

Ieftinirea înseamnă $30\%$ din prețul inițial:

$\frac{30}{100}\cdot 300 = 90 \text{ lei}.$

Prețul nou: $300 - 90 = 210$ lei. (Echivalent: rămân $70\%$ din preț, $0{,}7\cdot 300 = 210$.)

Răspuns: 210 lei. Barem: 3p valoarea ieftinirii, 2p prețul final.

5. $A(1,1)$, $B(5,m)$, $M(3,4)$ mijlocul lui $AB$

Coordonatele mijlocului sunt mediile coordonatelor capetelor:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2},\qquad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}.$

Pe abscisă: $\dfrac{1+5}{2} = 3$ ✔ (se potrivește cu $x_M = 3$). Pe ordonată: $\dfrac{1 + m}{2} = 4 \iff 1 + m = 8 \iff m = 7$.

Răspuns: $m = 7$. Barem: 3p scrierea relațiilor de mijloc, 2p $m = 7$.

6. Arătați că $2(\sin45^\circ + \sin30^\circ)(\sin45^\circ - \sin30^\circ) = \cos60^\circ$

Valorile necesare: $\sin30^\circ = \dfrac12$, $\sin45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$, $\cos60^\circ = \dfrac12$.

Produsul $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$2\left(\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 - \left(\frac12\right)^2\right) = 2\left(\frac24 - \frac14\right) = 2\cdot\frac14 = \frac12 = \cos60^\circ.$

Barem: 3p valorile trigonometrice, 2p calculul final.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Matricele $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix}1 & x\\ x+1 & 0\end{pmatrix}$

a) $\det(A(0)) = 0$

Pentru $x = 0$: $A(0) = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$.

$\det(A(0)) = \begin{vmatrix}1 & 0\\ 1 & 0\end{vmatrix} = 1\cdot 0 - 0\cdot 1 = 0.$

(Determinantul de ordin 2: produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare. O coloană nulă dă mereu determinant $0$.) Barem: 3p scrierea determinantului, 2p calculul.

b) $A(3) + A(5) = 2A(4)$

$A(3) + A(5) = \begin{pmatrix}1 & 3\\ 4 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 5\\ 6 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 8\\ 10 & 0\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}1 & 4\\ 5 & 0\end{pmatrix} = 2A(4).$

Adunarea se face element cu element, iar la final dăm factor comun pe $2$. Barem: 3p suma, 2p identificarea cu $2A(4)$.

c) Numerele naturale $n$ cu $\det(A(n) + I_2) \ge 0$

$A(n) + I_2 = \begin{pmatrix}1 & n\\ n+1 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & n\\ n+1 & 1\end{pmatrix},$

$\det(A(n) + I_2) = 2\cdot 1 - n(n+1) = 2 - n(n+1).$

Condiția: $2 - n(n+1) \ge 0 \iff n(n+1) \le 2$.

Cum $n$ este natural, testăm: $n = 0$: $0 \le 2$ ✔; $n = 1$: $2 \le 2$ ✔; $n = 2$: $6 > 2$ ✗, iar pentru $n \ge 2$ produsul $n(n+1)$ crește, deci nu mai convine nicio valoare. (Echivalent: $n^2 + n - 2 \le 0 \iff (n-1)(n+2) \le 0 \iff n \in [-2, 1]$.)

Răspuns: $n \in \{0, 1\}$. Barem: 2p matricea și determinantul, 3p valorile lui $n$.

2. Polinomul $f = X^3 - 3X^2 + mX - 1$

a) $f(0) = -1$ pentru orice $m$

$f(0) = 0^3 - 3\cdot0^2 + m\cdot 0 - 1 = 0 - 0 + 0 - 1 = -1,$

rezultat care nu depinde de $m$. Barem: 3p înlocuirea, 2p finalizarea.

b) $x_1 + x_2 + x_3 = 3x_1x_2x_3$ pentru orice $m$

Relațiile lui Viète pentru $aX^3 + bX^2 + cX + d$ (aici $a = 1$, $b = -3$, $c = m$, $d = -1$):

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = 3, \qquad x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} = 1.$

Atunci $3x_1x_2x_3 = 3\cdot 1 = 3 = x_1 + x_2 + x_3$, oricare ar fi $m$ (niciuna dintre cele două relații nu îl conține pe $m$).

Barem: 2p suma rădăcinilor, 3p produsul și concluzia. Atenție la semne: produsul este $-\dfrac{d}{a}$ pentru gradul 3.

c) $m$ pentru care $f$ este divizibil cu $X - 1$

După teorema lui Bézout, $X - 1$ divide $f$ dacă și numai dacă $f(1) = 0$.

$f(1) = 1 - 3 + m - 1 = m - 3.$

$f(1) = 0 \iff m = 3$.

Răspuns: $m = 3$. Barem: 2p calculul lui $f(1)$, 3p condiția și $m = 3$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:\mathbb R \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$

a) $f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$

Regula câtului $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, cu $u = x$, $v = x^2 + 1$:

$f'(x) = \frac{1\cdot(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2},\quad x \in \mathbb R.$

Barem: 3p aplicarea regulii câtului, 2p forma finală.

b) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x f(x) = 1$

$x f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{x^2}{x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}}.$

Cum $\dfrac{1}{x^2} \to 0$ când $x \to +\infty$:

$\lim_{x\to+\infty} x f(x) = \frac{1}{1 + 0} = 1.$

(Raport de polinoame de același grad: limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac11 = 1$.) Barem: 3p factorul comun forțat, 2p limita.

c) Intervalele de monotonie

Numitorul $(x^2+1)^2 > 0$, deci semnul lui $f'$ este semnul lui $1 - x^2 = (1-x)(1+x)$.

$f'(x) = 0 \iff x^2 = 1 \iff x \in \{-1, 1\}$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$		↘	$-\tfrac12$	↗	$\tfrac12$	↘

Răspuns: $f$ este descrescătoare pe $(-\infty, -1]$, crescătoare pe $[-1, 1]$ și descrescătoare pe $[1, +\infty)$. Barem: 3p rădăcinile derivatei și primele două intervale, 2p ultimul interval.

2. $f:\mathbb R \to \mathbb R$, $f(x) = (x^2 + 1)e^x$

a) $\displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}\,dx = \frac43$

Factorul $e^x$ se simplifică: $\dfrac{f(x)}{e^x} = x^2 + 1$.

$\int_0^1 (x^2 + 1)\,dx = \left(\frac{x^3}{3} + x\right)\Big|_0^1 = \frac13 + 1 - 0 - 0 = \frac43.$

Barem: 3p simplificarea și primitiva, 2p calculul.

b) $F(x) = (x^2 - 2x + 3)e^x$ este o primitivă a lui $f$

$F$ este derivabilă (produs de funcții derivabile). Cu regula produsului $(uv)' = u'v + uv'$:

$F'(x) = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 3)e^x = (x^2 - 2x + 3 + 2x - 2)e^x = (x^2 + 1)e^x = f(x),$

pentru orice $x \in \mathbb R$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$. Barem: 3p calculul derivatei, 2p concluzia $F' = f$.

c) Aria dintre graficul lui $f$, axa $Ox$, $x = 0$ și $x = 2$ este $3(e^2 - 1)$

Pe $[0, 2]$ avem $x^2 + 1 > 0$ și $e^x > 0$, deci $f(x) > 0$ și $|f(x)| = f(x)$. Folosim primitiva de la b) (formula Leibniz–Newton):

$\mathcal A = \int_0^2 f(x)\,dx = F(2) - F(0) = (4 - 4 + 3)e^2 - (0 - 0 + 3)e^0 = 3e^2 - 3 = 3(e^2 - 1).$

Barem: 3p scrierea ariei ca integrală și $F(2) - F(0)$, 2p rezultatul. Nu uita să justifici că $f \ge 0$ pe interval — altfel aria nu este direct integrala.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$7$
I.2	$m = 3$
I.3	$x = 1$
I.4	210 lei
I.5	$m = 7$
I.6	$\frac12 = \cos 60^\circ$
II.1.c	$n \in \{0, 1\}$
II.2.c	$m = 3$
III.1.c	↘ pe $(-\infty,-1]$, ↗ pe $[-1,1]$, ↘ pe $[1,+\infty)$
III.2.c	$3(e^2-1)$

Ce merită reținut din varianta 9

• Divizibilitatea cu $X - a$: teorema lui Bézout, $f(a) = 0$ — cea mai rapidă cale.
• Relațiile lui Viète la gradul 3: $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$, $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$.
• Inecuații în $\mathbb N$: după ce obții $n(n+1) \le 2$, testează valorile mici și argumentează că restul nu convin.
• Aria cu primitivă dată: dacă la b) ai demonstrat o primitivă, folosește-o direct la c) cu $F(b) - F(a)$.