Rezolvare BAC 2025 Matematică (tehnologic) — Model oficial

Rezolvarea completă a modelului oficial pentru Bacalaureat 2025 la Matematică M_tehnologic (filiera tehnologică: profilurile servicii, resurse și tehnic). Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $(3 + 3\sqrt2)\cdot\sqrt2 - 3\sqrt2 + 4 = 10$

Desfacem paranteza, folosind $\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$:

$(3 + 3\sqrt2)\sqrt2 = 3\sqrt2 + 3\cdot 2 = 3\sqrt2 + 6.$

Atunci expresia devine $3\sqrt2 + 6 - 3\sqrt2 + 4 = 6 + 4 = 10$ (termenii cu radical se reduc).

Barem: 2p desfacerea parantezei, 3p finalizarea.

2. $f(x) = 3x + 6$; arătați că $f(0) + f(2) = f(4)$

$f(0) = 6$, $f(2) = 6 + 6 = 12$, $f(4) = 12 + 6 = 18$. Deci $f(0) + f(2) = 6 + 12 = 18 = f(4)$.

Barem: 2p $f(0)$ și $f(2)$, 3p $f(4)$ și concluzia.

3. Ecuația $\sqrt{2x - 1} - 3 = 0$

Condiție de existență: $2x - 1 \ge 0$, adică $x \ge \dfrac12$.

Izolăm radicalul: $\sqrt{2x - 1} = 3$. Ridicăm la pătrat: $2x - 1 = 9 \iff x = 5$. Cum $5 \ge \dfrac12$, soluția convine.

Verificare: $\sqrt{9} - 3 = 0$ ✔.

Răspuns: $x = 5$. Barem: 3p ecuația $2x - 1 = 9$, 2p soluția care convine.

4. Prețul de 400 de lei după o ieftinire cu $25\%$

Valoarea ieftinirii: $\dfrac{25}{100}\cdot 400 = 100$ de lei. Noul preț: $400 - 100 = 300$ de lei.

(Echivalent: după ieftinire rămâne $75\%$ din preț, $0{,}75\cdot 400 = 300$.)

Răspuns: 300 de lei. Barem: 2p valoarea ieftinirii, 3p prețul final.

5. $A(2,3)$, $B(5,6)$, $C(6,2)$: triunghiul $ABC$ este isoscel

Calculăm lungimile laturilor cu formula distanței:

$AB = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt2, \qquad AC = \sqrt{(6-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}, \qquad BC = \sqrt{(6-5)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}.$

Cum $AC = BC$, triunghiul $ABC$ este isoscel (cu baza $AB$). $\blacksquare$

Barem: 2p $AC$, 3p $BC$ și concluzia. (Este suficient să găsești două laturi egale; $AB$ nu e obligatoriu.)

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AC = 4$, $C = 60^\circ$: arătați că $BC = 8$

În triunghiul dreptunghic, $AC$ este cateta alăturată unghiului $C$, iar $BC$ este ipotenuza:

$\cos C = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac12 = \frac{4}{BC} \Rightarrow BC = 8.$

(Variantă: unghiul $B$ are $30^\circ$, iar cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză.) Barem: 3p $\cos C = \frac{AC}{BC}$, 2p $BC = 8$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, $A(x) = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & x\end{pmatrix}$

a) $\det(A(3)) = 1$

$\det(A(3)) = \begin{vmatrix}1 & 1\\ 2 & 3\end{vmatrix} = 1\cdot 3 - 1\cdot 2 = 3 - 2 = 1.$

Barem: 3p scrierea determinantului, 2p calculul.

b) $A(2) + A(6) = 2A(4)$

$A(2) + A(6) = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 2\\ 4 & 8\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 4\end{pmatrix} = 2A(4).$

Barem: 3p suma, 2p identificarea cu $2A(4)$.

c) $x$ cu $A(x)\cdot A(x) = 3I_2$

$A(x)\cdot A(x) = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 + 2 & 1 + x\\ 2 + 2x & 2 + x^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 1 + x\\ 2 + 2x & 2 + x^2\end{pmatrix}.$

Egalăm cu $3I_2 = \begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}$, element cu element:

• $1 + x = 0 \Rightarrow x = -1$;
• $2 + 2x = 0 \Rightarrow x = -1$;
• $2 + x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

Toate condițiile trebuie îndeplinite simultan, deci $x = -1$.

Răspuns: $x = -1$. Barem: 3p calculul lui $A(x)\cdot A(x)$, 2p $x = -1$. Atenție: $x = 1$ verifică doar ultima ecuație, nu și pe celelalte.

2. Legea $x \circ y = x + y + 6$

a) $1 \circ (-3) = 4$

$1 \circ (-3) = 1 + (-3) + 6 = 4.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p rezultatul.

b) $x$ cu $x \circ 2 = 3x$

$x \circ 2 = x + 2 + 6 = x + 8$. Ecuația: $x + 8 = 3x \iff 2x = 8 \iff x = 4$.

Răspuns: $x = 4$. Barem: 3p $x \circ 2 = x + 8$, 2p $x = 4$.

c) $(x^2 + 2) \circ (1 - 6x) \ge 0$, pentru orice $x$ real

$(x^2 + 2) \circ (1 - 6x) = x^2 + 2 + 1 - 6x + 6 = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2.$

Un pătrat al unui număr real este întotdeauna nenegativ, deci $(x - 3)^2 \ge 0$ pentru orice $x$ real. $\blacksquare$

Barem: 2p calculul compunerii, 3p scrierea ca pătrat perfect și concluzia.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(1, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{5x - 2}{x - 1}$

a) $f'(x) = -\dfrac{3}{(x-1)^2}$

Regula câtului $\left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{5(x - 1) - (5x - 2)\cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{5x - 5 - 5x + 2}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}.$

Barem: 3p aplicarea regulii câtului, 2p forma finală.

b) Tangenta în punctul de abscisă $x = 2$

$f(2) = \dfrac{10 - 2}{1} = 8$ și $f'(2) = -\dfrac{3}{1} = -3$. Ecuația tangentei $y - f(2) = f'(2)(x - 2)$:

$y - 8 = -3(x - 2) \iff y = -3x + 14.$

Răspuns: $y = -3x + 14$. Barem: 2p $f(2)$ și $f'(2)$, 3p ecuația tangentei.

c) $f$ este convexă

Derivăm încă o dată $f'(x) = -3(x-1)^{-2}$:

$f''(x) = -3\cdot(-2)(x-1)^{-3} = \frac{6}{(x-1)^3}.$

Pentru $x > 1$ avem $x - 1 > 0$, deci $(x-1)^3 > 0$ și $f''(x) > 0$. O funcție cu derivata a doua pozitivă pe un interval este convexă pe acel interval, deci $f$ este convexă pe $(1, +\infty)$. $\blacksquare$

Barem: 3p calculul lui $f''$, 2p semnul și concluzia.

2. $f:\mathbb R \to \mathbb R$, $f(x) = 2x + 3$

a) $\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - 3\right)dx = 1$

$f(x) - 3 = 2x$, deci

$\int_0^1 2x\,dx = x^2\Big|_0^1 = 1 - 0 = 1.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) $\displaystyle\int_0^1 e^x f(x)\,dx = 3e - 1$

Integrăm prin părți, cu $u = 2x + 3$, $v' = e^x$ ($u' = 2$, $v = e^x$):

$\int_0^1 e^x(2x + 3)\,dx = e^x(2x + 3)\Big|_0^1 - \int_0^1 2e^x\,dx = (5e - 3) - 2e^x\Big|_0^1 = 5e - 3 - (2e - 2) = 3e - 1.$

Barem: 3p integrarea prin părți, 2p calculul.

c) $a > 0$ cu $\displaystyle\int_1^2 \frac{f(x)}{x(x+3)}\,dx = \ln\frac a2$

Numitorul este $x(x+3) = x^2 + 3x$, cu derivata $2x + 3 = f(x)$. Deci integrandul are forma $\dfrac{u'}{u}$, cu primitiva $\ln|u|$ (pe $[1,2]$, $x^2 + 3x > 0$):

$\int_1^2 \frac{(x^2 + 3x)'}{x^2 + 3x}\,dx = \ln(x^2 + 3x)\Big|_1^2 = \ln 10 - \ln 4 = \ln\frac{10}{4} = \ln\frac52.$

Din $\ln\dfrac52 = \ln\dfrac a2$ și injectivitatea logaritmului: $\dfrac a2 = \dfrac52 \Rightarrow a = 5$, care aparține lui $(0, +\infty)$.

Răspuns: $a = 5$. Barem: 3p calculul integralei, 2p $a = 5$.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$10$
I.2	$f(0) + f(2) = 18 = f(4)$
I.3	$x = 5$
I.4	300 de lei
I.5	$AC = BC = \sqrt{17}$
I.6	$BC = 8$
II.1.c	$x = -1$
II.2.b	$x = 4$
II.2.c	$(x-3)^2 \ge 0$
III.1.b	$y = -3x + 14$
III.2.c	$a = 5$

Ce merită reținut din modelul 2025

• Ieftiniri și scumpiri: calculează întâi valoarea procentului din prețul inițial, apoi scazi sau aduni.
• Triunghi isoscel în reper cartezian: calculează lungimile laturilor și găsește două egale.
• Egalități de matrice: egalezi element cu element și păstrezi doar valorile care verifică toate ecuațiile.
• Convexitate: semnul lui $f''$ pe domeniu decide — $f'' > 0$ înseamnă convexă.
• Integrale de forma $\int\frac{u'}{u}$: recunoaște derivata numitorului la numărător; primitiva este $\ln|u|$.