Rezolvare BAC 2024 Matematică (tehnologic) — Rezervă, varianta 1

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2024 la Matematică M_tehnologic, subiectul de rezervă (sesiunea august–septembrie), varianta 1. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\left(\dfrac12 + \dfrac14\right)\cdot\dfrac43 = 1$

Numitor comun 4: $\dfrac12 + \dfrac14 = \dfrac24 + \dfrac14 = \dfrac34$.

$\frac34\cdot\frac43 = \frac{12}{12} = 1.$

(Două fracții inverse una alteia au produsul 1.) Barem: 2p suma din paranteză, 3p produsul.

2. $f(x) = 2x - 8$: determinați $a$ cu $f(a) = 0$

$f(a) = 2a - 8 = 0 \iff 2a = 8 \iff a = 4$.

Răspuns: $a = 4$. Barem: 2p $f(a)$, 3p rezolvarea.

3. Ecuația $\sqrt{3x - 2} = 1$

Condiția de existență: $3x - 2 \ge 0 \iff x \ge \dfrac23$.

Ridicăm la pătrat (ambii membri nenegativi): $3x - 2 = 1 \iff 3x = 3 \iff x = 1$.

Verificare: $\sqrt{3 - 2} = \sqrt1 = 1$ ✔, iar $1 \ge \dfrac23$, deci soluția convine.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p ecuația $3x - 2 = 1$, 2p soluția care convine.

4. Probabilitatea ca $n \in A = \{11, 12, \dots, 20\}$ să aibă suma cifrelor egală cu 2

$A$ are 10 elemente $\Rightarrow$ 10 cazuri posibile.

Sumele cifrelor: $11 \to 2$, $12 \to 3$, …, $19 \to 10$, $20 \to 2$. Suma 2 o au doar $11$ și $20$ $\Rightarrow$ 2 cazuri favorabile.

$p = \frac{2}{10} = \frac15.$

Răspuns: $p = \dfrac15$. Capcană: nu uita de 20! Barem: 2p cazurile posibile, 3p cazurile favorabile și probabilitatea.

5. $A(3,4)$, $B(6,8)$: arătați că $OA = AB$

$OA = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5,$ $AB = \sqrt{(6 - 3)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.$

Deci $OA = AB = 5$. (De fapt $A$ este mijlocul lui $OB$.) Barem: 2p $OA$, 3p $AB$ și concluzia.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AB = 12$, $AC = 8$, $M$ mijlocul lui $AB$: $CM = 10$

$M$ mijlocul lui $AB$ $\Rightarrow$ $AM = \dfrac{AB}{2} = 6$.

Triunghiul $CAM$ este dreptunghic în $A$ (unghiul din $A$ este cel al triunghiului $ABC$), cu catetele $AC = 8$ și $AM = 6$. Din teorema lui Pitagora:

$CM = \sqrt{AC^2 + AM^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10.$

Barem: 2p $AM = 6$, 3p $CM = 10$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(x) = \begin{pmatrix}x - 1 & 2\\ 1 & x\end{pmatrix}$

a) $\det(A(2)) = 0$

$A(2) = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \qquad \det(A(2)) = 1\cdot 2 - 2\cdot 1 = 0.$

(Cele două linii sunt egale, deci determinantul este nul.) Barem: 3p dezvoltarea, 2p rezultatul.

b) $A(3) + 2I_2 = A(5)$

$A(3) + 2I_2 = \begin{pmatrix}2 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 2\\ 1 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 - 1 & 2\\ 1 & 5\end{pmatrix} = A(5).$

Barem: 3p suma, 2p identificarea cu $A(5)$.

c) $x$ cu $\det(A(x) + xI_2) = 0$

$A(x) + xI_2 = \begin{pmatrix}2x - 1 & 2\\ 1 & 2x\end{pmatrix}, \qquad \det = (2x - 1)\cdot 2x - 2\cdot 1 = 4x^2 - 2x - 2.$

$4x^2 - 2x - 2 = 0 \iff 2x^2 - x - 1 = 0$, $\Delta = 1 + 8 = 9$, $x = \dfrac{1 \pm 3}{4}$.

Răspuns: $x = 1$ sau $x = -\dfrac12$. Barem: 3p determinantul, 2p soluțiile.

2. Legea $x \circ y = 2x + 2y - 1$

a) $2 \circ 1 = 5$

$2 \circ 1 = 2\cdot 2 + 2\cdot 1 - 1 = 4 + 2 - 1 = 5.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

b) $x$ cu $x \circ (x + 1) = 5$

$x \circ (x + 1) = 2x + 2(x + 1) - 1 = 4x + 1.$

$4x + 1 = 5 \iff x = 1$. Verificare: $1 \circ 2 = 2 + 4 - 1 = 5$ ✔.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p expresia $4x + 1$, 2p soluția.

c) Arătați că $x \circ x \le 4x^2$ pentru orice $x$ real

$x \circ x = 2x + 2x - 1 = 4x - 1$. Inegalitatea devine

$4x - 1 \le 4x^2 \iff 4x^2 - 4x + 1 \ge 0 \iff (2x - 1)^2 \ge 0,$

adevărat pentru orice $x$ real, deoarece un pătrat este nenegativ. (Egalitate pentru $x = \dfrac12$.)

Barem: 2p $x \circ x = 4x - 1$, 3p reducerea la pătrat perfect și concluzia.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = x - 2\ln x$

a) $f'(x) = \dfrac{x - 2}{x}$

$f'(x) = (x)' - 2(\ln x)' = 1 - \frac2x = \frac{x - 2}{x}.$

Barem: 2p derivatele termenilor, 3p forma finală.

b) Tangenta în punctul de abscisă $x = 1$

$f(1) = 1 - 2\ln 1 = 1$, $f'(1) = \dfrac{1 - 2}{1} = -1$.

$y - f(1) = f'(1)(x - 1) \Rightarrow y - 1 = -(x - 1) \Rightarrow y = -x + 2.$

Răspuns: $y = -x + 2$. Barem: 2p $f(1)$ și $f'(1)$, 3p ecuația tangentei.

c) $\ln\left(\dfrac x2\right) \le \dfrac{x - 2}{2}$ pentru orice $x > 0$

Pe $(0, +\infty)$, $x > 0$, deci semnul lui $f'$ este semnul lui $x - 2$; $f'(x) = 0 \iff x = 2$.

$x$	$0$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		↘	$2 - 2\ln 2$	↗

$f$ este descrescătoare pe $(0, 2]$ și crescătoare pe $[2, +\infty)$, deci $x = 2$ este punct de minim global: $f(x) \ge f(2) = 2 - 2\ln 2$ pentru orice $x > 0$.

Scriem: $x - 2\ln x \ge 2 - 2\ln 2 \iff x - 2 \ge 2(\ln x - \ln 2) = 2\ln\dfrac x2$. Împărțind la 2:

$\ln\left(\frac x2\right) \le \frac{x - 2}{2}.$

Barem: 3p monotonia, 2p minimul $f(2)$ și transformarea inegalității.

2. $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$

a) $\displaystyle\int_0^3\frac{1}{f(x)}\,dx = 12$

$\dfrac{1}{f(x)} = x^2 + 1$:

$\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx = \left(\frac{x^3}{3} + x\right)\Big|_0^3 = 9 + 3 = 12.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) $\displaystyle\int_2^3 2xf(x)\,dx = \ln 2$

$2xf(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1} = \dfrac{(x^2 + 1)'}{x^2 + 1}$, deci o primitivă este $\ln(x^2 + 1)$:

$\int_2^3\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1)\Big|_2^3 = \ln 10 - \ln 5 = \ln\frac{10}{5} = \ln 2.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

c) $a$ real cu $\displaystyle\int_1^2\frac{e^x}{f(x)}\,dx = e(ae - a + 1)$

$\dfrac{e^x}{f(x)} = e^x(x^2 + 1)$. Integrăm prin părți cu $u = x^2 + 1$, $v' = e^x$:

$\int_1^2 e^x(x^2 + 1)\,dx = e^x(x^2 + 1)\Big|_1^2 - \int_1^2 2xe^x\,dx = (5e^2 - 2e) - \int_1^2 2xe^x\,dx.$

Încă o dată prin părți: $\int 2xe^x\,dx = 2xe^x - 2e^x$, deci

$\int_1^2 2xe^x\,dx = (2xe^x - 2e^x)\Big|_1^2 = (4e^2 - 2e^2) - (2e - 2e) = 2e^2.$

Așadar integrala este $5e^2 - 2e - 2e^2 = 3e^2 - 2e = e(3e - 2)$.

Ecuația: $e(3e - 2) = e(ae - a + 1) \iff 3e - 2 = a(e - 1) + 1 \iff 3e - 3 = a(e - 1) \iff a = 3$ (am împărțit la $e - 1 \ne 0$).

Răspuns: $a = 3$. Barem: 3p calculul integralei ($3e^2 - 2e$), 2p $a = 3$.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 4$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = \tfrac15$
II.1.c	$x \in \left\{-\tfrac12, 1\right\}$
II.2.b	$x = 1$
III.1.b	$y = -x + 2$
III.2.c	$a = 3$

Ce merită reținut din varianta 1

• Inegalități cu logaritmi: găsește minimul funcției din enunț și rescrie inegalitatea $f(x) \ge f(x_{\min})$.
• Integrale $\int P(x)e^x\,dx$: integrare prin părți repetată, de câte ori este gradul polinomului.
• Inegalități cu legi de compoziție: adu totul într-un membru și caută un pătrat perfect.