Rezolvare BAC 2024 Matematică (tehnologic) — Iunie–Iulie, varianta 10

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2024 la Matematică M_tehnologic, sesiunea iunie–iulie, varianta 10. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\dfrac{12}{5}\cdot\left(\dfrac12 + \dfrac13\right) = 2$

Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun 6:

$\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56.$

$\frac{12}{5}\cdot\frac56 = \frac{12\cdot 5}{5\cdot 6} = \frac{12}{6} = 2.$

Barem: 2p suma din paranteză, 3p produsul.

2. $f(x) = 5x + 1$: determinați $a$ cu $f(a) = 6$

$f(a) = 5a + 1$, deci $5a + 1 = 6 \iff 5a = 5 \iff a = 1$.

Răspuns: $a = 1$. Barem: 2p $f(a)$, 3p rezolvarea ecuației.

3. Ecuația $\sqrt{4x + 1} = 3$

Condiția de existență: $4x + 1 \ge 0 \iff x \ge -\dfrac14$. Membrul drept este pozitiv, deci putem ridica la pătrat:

$4x + 1 = 9 \iff 4x = 8 \iff x = 2.$

Verificare: $\sqrt{9} = 3$ ✔, deci soluția convine.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p ecuația $4x + 1 = 9$, 2p soluția care convine.

4. Probabilitatea ca un număr din $A = \{10, 20, \dots, 90\}$ să fie divizibil cu 20

Mulțimea are 9 elemente $\Rightarrow$ 9 cazuri posibile.

Divizibile cu 20 sunt multiplii lui 20 din listă: $20, 40, 60, 80$ $\Rightarrow$ 4 cazuri favorabile. (Atenție: 100 nu este în mulțime.)

$p = \frac49.$

Răspuns: $p = \dfrac49$. Barem: 2p cazurile posibile, 3p cazurile favorabile și probabilitatea.

5. $A(2,0)$, $B(8,8)$, $C(11,4)$: arătați că $AB = 2BC$

Formula distanței: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

$BC = \sqrt{(11 - 8)^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5,$ $AB = \sqrt{(8 - 2)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10.$

Deci $AB = 10 = 2\cdot 5 = 2BC$. Barem: 2p $BC$, 3p $AB$ și concluzia.

6. Arătați că $1 + \sin 30^\circ = 2\sin 60^\circ\cdot\cos 30^\circ$

Valorile: $\sin 30^\circ = \dfrac12$, $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

• Membrul stâng: $1 + \dfrac12 = \dfrac32$.
• Membrul drept: $2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 2\cdot\dfrac34 = \dfrac32$.

Membrii sunt egali, deci egalitatea este adevărată. Barem: 3p valorile trigonometrice, 2p calculul celor doi membri.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(x) = \begin{pmatrix}x & x - 1\\ -2x & 2\end{pmatrix}$

a) $\det(A(1)) = 2$

$A(1) = \begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 2\end{pmatrix}, \qquad \det(A(1)) = 1\cdot 2 - 0\cdot(-2) = 2.$

Barem: 3p scrierea și dezvoltarea, 2p rezultatul.

b) $A(2) + A(0) = 2A(1)$

$A(2) + A(0) = \begin{pmatrix}2 & 1\\ -4 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & -1\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0\\ -4 & 4\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 2\end{pmatrix} = 2A(1).$

Barem: 3p suma, 2p identificarea cu $2A(1)$.

c) $x$ cu $\det(A(x) + xI_2) = 2$

$A(x) + xI_2 = \begin{pmatrix}x & x - 1\\ -2x & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x & 0\\ 0 & x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x & x - 1\\ -2x & 2 + x\end{pmatrix}.$

$\det = 2x(2 + x) - (x - 1)(-2x) = 4x + 2x^2 + 2x^2 - 2x = 4x^2 + 2x.$

$4x^2 + 2x = 2 \iff 2x^2 + x - 1 = 0$, cu $\Delta = 1 + 8 = 9$, deci $x = \dfrac{-1 \pm 3}{4}$.

Răspuns: $x = -1$ sau $x = \dfrac12$. Barem: 3p determinantul $4x^2 + 2x$, 2p soluțiile.

2. Legea $x \circ y = 2(x + y) - xy - 4$

a) $1 \circ 3 = 1$

$1 \circ 3 = 2(1 + 3) - 1\cdot 3 - 4 = 8 - 3 - 4 = 1.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

b) Legea este comutativă

Pentru orice $x, y$ reali:

$y \circ x = 2(y + x) - yx - 4 = 2(x + y) - xy - 4 = x \circ y,$

folosind comutativitatea adunării și a înmulțirii numerelor reale. Barem: 2p scrierea lui $y \circ x$, 3p egalitatea și concluzia.

c) $n \in \mathbb N$ cu $n \circ n \ge n - 2$

$n \circ n = 2\cdot 2n - n^2 - 4 = 4n - n^2 - 4.$

$4n - n^2 - 4 \ge n - 2 \iff -n^2 + 3n - 2 \ge 0 \iff n^2 - 3n + 2 \le 0 \iff (n - 1)(n - 2) \le 0.$

Produsul este $\le 0$ între rădăcini: $n \in [1, 2]$. Numerele naturale din acest interval sunt $1$ și $2$.

Verificare: $1 \circ 1 = -1 \ge -1$ ✔; $2 \circ 2 = 0 \ge 0$ ✔; $0 \circ 0 = -4 < -2$ ✗.

Răspuns: $n \in \{1, 2\}$. Barem: 2p expresia lui $n \circ n$, 3p rezolvarea inecuației.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2}$

a) $f'(x) = \dfrac{2(1 - x)}{x^3}$

$f'(x) = \frac{(2x - 1)'\cdot x^2 - (2x - 1)(x^2)'}{x^4} = \frac{2x^2 - 2x(2x - 1)}{x^4} = \frac{-2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{2x(1 - x)}{x^4} = \frac{2(1 - x)}{x^3}.$

(Simplificarea cu $x$ e permisă, $x > 0$.) Barem: 3p derivarea, 2p forma finală.

b) Tangenta în punctul de abscisă $x = 1$

$f(1) = \dfrac{2 - 1}{1} = 1$, $f'(1) = \dfrac{2\cdot 0}{1} = 0$.

$y - f(1) = f'(1)(x - 1) \Rightarrow y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1.$

Răspuns: $y = 1$ (tangentă orizontală). Barem: 2p $f(1)$ și $f'(1)$, 3p ecuația.

c) Intervalele de monotonie

Pe $(0, +\infty)$, $x^3 > 0$, deci semnul lui $f'$ este semnul lui $1 - x$; $f'(x) = 0 \iff x = 1$.

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$		↗	$1$	↘

Răspuns: $f$ este crescătoare pe $(0, 1]$ și descrescătoare pe $[1, +\infty)$. Barem: 3p pe $(0, 1]$, 2p pe $[1, +\infty)$.

2. $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$

(Numitorul nu se anulează: $\Delta = 1 - 4 < 0$, deci $x^2 + x + 1 > 0$ pentru orice $x$.)

a) $\displaystyle\int_0^1 (x^2 + x + 1)f(x)\,dx = 2$

Produsul se simplifică la $2x + 1$:

$\int_0^1 (2x + 1)\,dx = (x^2 + x)\Big|_0^1 = 2 - 0 = 2.$

Barem: 3p simplificarea și primitiva, 2p calculul.

b) $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \ln 3$

Numărătorul este exact derivata numitorului: $(x^2 + x + 1)' = 2x + 1$. Deci $\int \dfrac{u'}{u} = \ln|u|$:

$\int_0^1\frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\,dx = \ln(x^2 + x + 1)\Big|_0^1 = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

c) Aria suprafeței delimitate de graficul lui $g(x) = e^x(x^2 + x + 1)f(x)$, $Ox$, $x = 0$, $x = 1$ este $e + 1$

Simplificăm: $g(x) = e^x(2x + 1)$. Pe $[0, 1]$, $e^x > 0$ și $2x + 1 > 0$, deci $g(x) > 0$ și aria este

$\mathcal A = \int_0^1 g(x)\,dx = \int_0^1 e^x(2x + 1)\,dx.$

Integrăm prin părți cu $u = 2x + 1$ ($u' = 2$), $v' = e^x$ ($v = e^x$):

$\int_0^1 e^x(2x + 1)\,dx = e^x(2x + 1)\Big|_0^1 - \int_0^1 2e^x\,dx = (3e - 1) - 2(e - 1) = e + 1.$

Barem: 3p scrierea ariei și integrarea prin părți, 2p rezultatul.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 1$
I.3	$x = 2$
I.4	$p = \tfrac49$
II.1.c	$x \in \left\{-1, \tfrac12\right\}$
II.2.c	$n \in \{1, 2\}$
III.1.b	$y = 1$
III.1.c	↗ pe $(0, 1]$, ↘ pe $[1, +\infty)$
III.2.c	$\mathcal A = e + 1$

Ce merită reținut din varianta 10

• Integrale $\int\frac{u'}{u}$: dacă numărătorul e derivata numitorului, primitiva este $\ln|u|$.
• Aria sub grafic: verifică semnul funcției pe interval înainte să scrii $\mathcal A = \int g$.
• Inecuații în $\mathbb N$: după rezolvarea în $\mathbb R$, păstrează doar numerele naturale din interval.