Rezolvare BAC 2026 Matematică (tehnologic) — Iunie–Iulie, varianta 3

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2026 la Matematică M_tehnologic, sesiunea iunie–iulie, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresie aritmetică: $a_3$, știind $a_1 = 10$ și $a_2 = 18$

Rația este diferența dintre doi termeni consecutivi: $r = a_2 - a_1 = 18 - 10 = 8$.

$a_3 = a_2 + r = 18 + 8 = 26.$

Răspuns: $a_3 = 26$. Barem: 3p rația, 2p termenul $a_3$.

2. $f(x) = 2x - 2$: arătați că $f(4) - f(3) - f(2) = 0$

$f(4) = 8 - 2 = 6$, $f(3) = 6 - 2 = 4$, $f(2) = 4 - 2 = 2$.

$f(4) - f(3) - f(2) = 6 - 4 - 2 = 0.$

Barem: 3p cele trei valori, 2p calculul final.

3. Ecuație exponențială: $7^{3 - x} = 7^{4x - 2}$

Funcția exponențială $t \mapsto 7^t$ este injectivă (baza $7 > 0$, $7 \ne 1$), deci două puteri ale lui 7 sunt egale doar dacă exponenții sunt egali:

$3 - x = 4x - 2 \iff 5 = 5x \iff x = 1.$

Verificare: $7^{2} = 7^{2}$ ✔.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p egalarea exponenților, 2p soluția.

4. Probabilitatea ca un număr natural de o cifră să verifice $20 - 2n < 15$

Cazuri posibile: numerele naturale de o cifră sunt $0, 1, \dots, 9$ — adică $10$ numere (nu uita de $0$).

Cazuri favorabile: $20 - 2n < 15 \iff 5 < 2n \iff n > \dfrac52 = 2{,}5$, deci $n \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ — $7$ numere.

$p = \frac{7}{10}.$

Răspuns: $p = \dfrac{7}{10}$. Barem: 2p cazurile posibile, 3p cazurile favorabile și probabilitatea.

5. $A(1,1)$, $M(2,4)$, $B(a,b)$; $M$ mijlocul lui $AB$

Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \Rightarrow \frac{1 + a}{2} = 2 \Rightarrow a = 3, \qquad y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \Rightarrow \frac{1 + b}{2} = 4 \Rightarrow b = 7.$

Răspuns: $a = 3$, $b = 7$. Barem: 3p relațiile pentru mijloc, 2p valorile lui $a$ și $b$.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AB = 15$, $\angle B = 30^\circ$: arătați că $BC = 10\sqrt3$

În triunghiul dreptunghic, $BC$ este ipotenuza, iar $AB$ este cateta alăturată unghiului $B$:

$\cos B = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{\sqrt3}{2} = \frac{15}{BC} \Rightarrow BC = \frac{2\cdot 15}{\sqrt3} = \frac{30}{\sqrt3} = \frac{30\sqrt3}{3} = 10\sqrt3.$

(Am raționalizat numitorul înmulțind cu $\sqrt3$.) Barem: 3p scrierea lui $\cos B$, 2p calculul lui $BC$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Matricea $A(x) = \begin{pmatrix}x & 1\\ x - 1 & 2\end{pmatrix}$

a) $\det(A(4)) = 5$

$A(4) = \begin{pmatrix}4 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad \det(A(4)) = 4\cdot2 - 1\cdot3 = 8 - 3 = 5.$

Barem: 3p scrierea determinantului, 2p calculul.

b) $2A(1) + A(4) = 3A(2)$

$A(1) = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$, $A(2) = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}$.

$2A(1) + A(4) = \begin{pmatrix}2 & 2\\ 0 & 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 3\\ 3 & 6\end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix} = 3A(2).$

Barem: 3p calculul sumei, 2p identificarea cu $3A(2)$.

c) $x$, $y$ reali cu $A(-x)\cdot A(x) = A(y)$

$A(-x) = \begin{pmatrix}-x & 1\\ -x - 1 & 2\end{pmatrix}$. Înmulțim linie cu coloană:

$A(-x)\cdot A(x) = \begin{pmatrix}-x\cdot x + 1\cdot(x-1) & -x\cdot 1 + 1\cdot 2\\ (-x-1)x + 2(x-1) & (-x-1) + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x^2 + x - 1 & 2 - x\\ -x^2 + x - 2 & 3 - x\end{pmatrix}.$

Egalăm cu $A(y) = \begin{pmatrix}y & 1\\ y - 1 & 2\end{pmatrix}$, element cu element:

• poziția $(1,2)$: $2 - x = 1 \Rightarrow x = 1$;
• poziția $(2,2)$: $3 - x = 2 \Rightarrow x = 1$ ✔ (compatibil);
• poziția $(1,1)$: $y = -1 + 1 - 1 = -1$;
• poziția $(2,1)$: $y - 1 = -1 + 1 - 2 = -2 \Rightarrow y = -1$ ✔.

Răspuns: $x = 1$, $y = -1$. Barem: 3p produsul $A(-x)\cdot A(x)$, 2p valorile lui $x$ și $y$. Toate cele patru egalități trebuie să fie satisfăcute simultan — verifică-le pe toate.

2. Legea $x * y = (4 - x)(4 - y) + 2$

a) $0 * 3 = 6$

$0 * 3 = (4 - 0)(4 - 3) + 2 = 4\cdot 1 + 2 = 6.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

b) $x$ real cu $2 * x = 2$

$2 * x = (4 - 2)(4 - x) + 2 = 2(4 - x) + 2 = -2x + 10.$

$-2x + 10 = 2 \iff -2x = -8 \iff x = 4$. (Observă: $(4-2)(4-x) = 0$ cere $x = 4$.)

Răspuns: $x = 4$. Barem: 3p expresia $2 * x$, 2p soluția.

c) Perechile $(m, n)$ de numere întregi cu $(2m) * (2n + 1) = 10$

$(2m) * (2n+1) = (4 - 2m)(4 - 2n - 1) + 2 = (4 - 2m)(3 - 2n) + 2 = 10 \iff (4 - 2m)(3 - 2n) = 8.$

Pentru $m, n$ întregi ambii factori sunt întregi, iar $3 - 2n$ este impar. Singurii divizori impari ai lui 8 sunt $1$ și $-1$:

• $3 - 2n = 1 \Rightarrow n = 1$ și $4 - 2m = 8 \Rightarrow m = -2$;
• $3 - 2n = -1 \Rightarrow n = 2$ și $4 - 2m = -8 \Rightarrow m = 6$.

Verificare: $(-4) * 3 = 8 \cdot 1 + 2 = 10$ ✔; $12 * 5 = (-8)(-1) + 2 = 10$ ✔.

Răspuns: $(m, n) \in \{(-2, 1),\ (6, 2)\}$. Barem: 2p expresia compunerii, 3p perechile.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 - 1$

a) $f'(x) = 12x(x + 1)(x - 2)$

Derivăm termen cu termen, cu $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2).$

Trinomul $x^2 - x - 2$ are rădăcinile $-1$ și $2$ ($\Delta = 9$), deci $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ și $f'(x) = 12x(x+1)(x-2)$.

Barem: 3p derivarea, 2p descompunerea.

b) Tangenta în punctul de abscisă $x = 0$

$f(0) = -1$, $f'(0) = 0$. Ecuația tangentei: $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, adică

$y + 1 = 0 \cdot x \iff y = -1.$

Răspuns: $y = -1$ (tangentă orizontală, $x = 0$ este punct critic). Barem: 2p $f(0)$ și $f'(0)$, 3p ecuația.

c) $3x^4 + 5 \ge 4x^3 + 12x^2$, pentru orice $x \in (-\infty, 0]$

Inegalitatea se rescrie: $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 \ge 0 \iff f(x) + 6 \ge 0 \iff f(x) \ge -6$.

Studiem monotonia lui $f$ pe $(-\infty, 0]$ folosind a). Pe acest interval $f'(x) = 0 \iff x = -1$ sau $x = 0$. Semnul lui $f'(x) = 12x(x+1)(x-2)$:

$x$	$-\infty$		$-1$		$0$
$12x$		$-$	$-$	$-$	$0$
$x+1$		$-$	$0$	$+$	$+$
$x-2$		$-$	$-$	$-$	$-$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$
$f(x)$		↘	$-6$	↗	$-1$

Deci $f$ este descrescătoare pe $(-\infty, -1]$ și crescătoare pe $[-1, 0]$, iar $x = -1$ este punct de minim pe $(-\infty, 0]$, cu

$f(-1) = 3 + 4 - 12 - 1 = -6.$

Prin urmare $f(x) \ge f(-1) = -6$ pentru orice $x \le 0$, adică $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 - 1 \ge -6$, echivalent cu $3x^4 + 5 \ge 4x^3 + 12x^2$. $\blacksquare$

(Verificare algebrică: $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = (x+1)^2(3x^2 - 10x + 5)$, iar pentru $x \le 0$ al doilea factor este $\ge 5 > 0$.) Barem: 3p monotonia pe $(-\infty, 0]$, 2p concluzia cu $f(-1) = -6$.

2. $f(x) = x + 1 + xe^x$

a) $\displaystyle\int_0^4 \left(f(x) - xe^x\right)dx = 12$

$f(x) - xe^x = x + 1$, deci

$\int_0^4 (x + 1)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + x\right)\Big|_0^4 = (8 + 4) - 0 = 12.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) $\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - x - 1\right)dx = 1$

$f(x) - x - 1 = xe^x$. Integrăm prin părți, cu $u = x$, $v' = e^x$ ($u' = 1$, $v = e^x$):

$\int_0^1 xe^x\,dx = xe^x\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = (e - 0) - e^x\Big|_0^1 = e - (e - 1) = 1.$

Barem: 3p integrarea prin părți, 2p calculul final.

c) $g(x) = \dfrac{\sqrt{f'(x)}}{f(x)}$ pe $[0,1]$: volumul corpului de rotație este $\dfrac{\pi(e+1)}{e+2}$

Întâi verificăm că $g$ are sens: $f'(x) = 1 + e^x + xe^x = 1 + (x+1)e^x > 0$ și $f(x) = x + 1 + xe^x > 0$ pe $[0, 1]$.

Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g$ în jurul axei $Ox$:

$V = \pi\int_0^1 g^2(x)\,dx = \pi\int_0^1 \frac{f'(x)}{f^2(x)}\,dx.$

Recunoaștem derivata: $\left(-\dfrac{1}{f(x)}\right)' = \dfrac{f'(x)}{f^2(x)}$. Deci

$V = \pi\left(-\frac{1}{f(x)}\right)\Big|_0^1 = \pi\left(-\frac{1}{f(1)} + \frac{1}{f(0)}\right).$

Cu $f(0) = 1$ și $f(1) = 1 + 1 + e = e + 2$:

$V = \pi\left(1 - \frac{1}{e+2}\right) = \pi\cdot\frac{e + 2 - 1}{e + 2} = \frac{\pi(e+1)}{e+2}.$

Barem: 3p formula volumului și primitiva $-\frac{1}{f}$, 2p calculul final.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$a_3 = 26$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = \tfrac{7}{10}$
I.5	$a = 3$, $b = 7$
I.6	$BC = 10\sqrt3$
II.1.c	$x = 1$, $y = -1$
II.2.b	$x = 4$
II.2.c	$(-2, 1)$ și $(6, 2)$
III.1.b	$y = -1$
III.2.c	$V = \dfrac{\pi(e+1)}{e+2}$

Ce merită reținut din varianta 3

• Ecuații exponențiale cu aceeași bază: egalezi exponenții.
• Ecuații în numere întregi de forma produs $=$ constantă: folosește paritatea factorilor ca să reduci rapid cazurile.
• Inegalități pe un interval: scrie-le ca $f(x) \ge f(x_0)$ și arată că $x_0$ este punct de minim pe acel interval.
• Volume de rotație cu $\dfrac{f'}{f^2}$: primitiva este $-\dfrac{1}{f}$.