Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2023 la Informatică, limbajul C/C++, profil mate-info, sesiunea specială, varianta 6. Pentru fiecare item ai răspunsul, raționamentul pas cu pas, codul C++ complet și punctajul din baremul oficial.
Sfat: încearcă întâi singur fiecare cerință, apoi verifică aici. La programe, baremul punctează orice soluție corectă — nu trebuie să scrii exact codul de mai jos.
Subiectul I (20 de puncte)
Răspunsuri: 1 – c, 2 – a, 3 – d, 4 – b, 5 – c (câte 4 puncte).
1. m și n sunt ambele pare → c. m%2+n%2==0
m%2 și n%2 sunt 0 sau 1 (numere naturale). Suma lor este 0 doar dacă ambele resturi sunt 0.
- a.
(m+n)%2==0și b.(m-n)%2==0sunt adevărate și pentru două numere impare. - d.
m%2-n%2==0înseamnă doar „aceeași paritate”.
2. Valoarea f(35,3) → a. 1022
Funcția construiește scrierea lui n în baza k, cu cifrele puse într-un număr zecimal: ultima cifră este n%k, iar restul vine din f(n/k,k) înmulțit cu 10.
→ în baza 3: 1022. Pas cu pas: 35 % 3 = 2, 11 % 3 = 2, 3 % 3 = 0, 1 % 3 = 1 → 1022.
3. Volumul paralelipipedului → d. v=p.lg*p.lt*p.h;
Câmpurile se accesează prin numele variabilei, urmat de punct: p.lg, p.lt, p.h. Variantele a (fără variabilă), b (ordine inversată) și c (sintaxă inexistentă) sunt greșite.
4. Soluția de după GURMA → b. GRAMU
Ordinea literelor: A, M, U, R, G. După GURMA nu mai există continuare cu prefixul „GU” (R trebuie să fie înaintea lui A și M, iar M, A sunt deja ultimele). Trecem la a doua literă următoare după U, adică R: „GR”, apoi cel mai mic rest posibil: A, M, U → GRAMU ✔ (R precede A și M).
- c. GRAUM și d. GRUAM vin după GRAMU. a. GARUM nu respectă regula (A înaintea lui R).
Am verificat ordinea generând toate soluțiile cu un program.
5. Numărul maxim de vârfuri ale unui drum elementar din 1 → c. 16
Din fiecare vârf pleacă un singur arc (spre 2i, dacă , altfel spre i−1), deci drumul din 1 este unic. Îl urmăm până la prima repetare:
1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 15 → 14 → 13 → 12 → 11 → 22 → 21 → 20 → 19 → 18 → 17 → (16, deja vizitat).
Drumul elementar are 16 vârfuri.
Subiectul al II-lea (40 de puncte)
1. Algoritmul în pseudocod
Se parcurge o matrice n × n: pe poziția (i, j) se scrie 2 dacă (pe diagonala principală sau sub ea) și 3 altfel.
a) Pentru n = 3 → 233223222
Linia 1: 2 3 3; linia 2: 2 2 3; linia 3: 2 2 2 → 233223222. (6p)
b) Numărul de cifre 2 în [20, 50]
Se afișează câte un 2 pentru fiecare pereche cu : . Pentru n = 6, 7, 8, 9 obținem 21, 28, 36, 45 (în interval); pentru 5 doar 15, iar pentru 10 deja 55. Exemple: 6 și 9. (6p)
c) Programul C/C++ (10p)
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n, i, j;
cin >> n;
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)
if (j <= i) cout << 2;
else cout << 3;
return 0;
}d) Algoritm echivalent cu o structură „cât timp” (6p)
Înlocuim structura interioară:
citește n (număr natural nenul)
┌pentru i ← 1, n execută
│ j ← 1
│ ┌cât timp j ≤ n execută
│ │ ┌dacă j ≤ i atunci scrie 2
│ │ │altfel scrie 3
│ │ └■
│ │ j ← j + 1
│ └■
└■2. Descendenții nodului 2 (6p)
Vectorul de tați (0,1,1,2,2,4,5,1): fiii lui 2 sunt 4 și 5; fiul lui 4 este 6, iar fiul lui 5 este 7. Descendenții lui 2 (toate nodurile din subarborele lui): 4, 5, 6, 7.
3. Prefixele care se încheie cu prima literă (6p)
k parcurge pozițiile de la ultima la prima. Prefixul care se termină pe poziția k are lungimea k+1; îl afișăm doar dacă s[k] este egal cu prima literă, s[0].
int i;
for(k=strlen(s)-1;k>=0;k--)
{
if (s[k] == s[0])
{
for (i = 0; i <= k; i++) cout << s[i];
cout << ' ';
}
}Exemplu: „elemente” are litera e pe pozițiile 7, 4, 2, 0 → elemente eleme ele e ✔.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. Subprogramul Putere (10p)
Încercăm bazele x = 2, 3, … cât timp (o putere cu exponent ≥ 2 are baza cel mult ). Pentru fiecare x împărțim n la x cât se poate; dacă ajungem la 1, n este o putere a lui x, iar prima astfel de bază este cea mai mică. Dacă nu găsim nicio bază, .
void Putere(int n, int &x, int &p)
{
for (long long b = 2; b * b <= n; b++)
{
int m = n, e = 0;
while (m % b == 0)
{
m = m / b;
e++;
}
if (m == 1)
{
x = b; p = e;
return;
}
}
x = n; p = 1;
}Verificare: 16 → baza 2: 16 → 8 → 4 → 2 → 1, e = 4 → x = 2, p = 4 ✔; 216 → baza 2 lasă 27, baza 3 lasă 8, baza 6: 216 → 36 → 6 → 1 → x = 6, p = 3 ✔; 12 → nicio bază → x = 12, p = 1 ✔.
2. Tabloul expoziției (10p)
Cu indici de la 0, diagonala secundară conține pozițiile cu . Pentru liniile : dacă , elementul este (ultimele două cifre; un 0 în față dispare automat ca număr), altfel −1 (gazon). Elementul există mereu, deoarece .
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n, a[21][21], i, j;
cin >> n;
for (j = 0; j < n; j++) cin >> a[0][j];
for (i = 1; i < n; i++)
for (j = 0; j < n; j++)
if (i + j <= n - 1)
a[i][j] = (a[i - 1][j] + a[i - 1][j + 1]) % 100;
else
a[i][j] = -1;
for (i = 0; i < n; i++)
{
for (j = 0; j < n; j++)
cout << a[i][j] << ' ';
cout << '\n';
}
return 0;
}Verificare pe exemplu: linia 2: 90 + 10 = 100 → 0, 10 + 4 = 14, 4 + 27 = 31, 27 + 30 = 57, apoi −1 ✔; ultima linie: 59 + 33 = 92 ✔.
3. p-intervale identice
a) Descrierea algoritmului (2p)
p-intervalul este al primilor p termeni. El coincide cu (p−1)-intervalul exact când al p-lea termen se află deja în intervalul primilor p−1 termeni (nu modifică nici minimul, nici maximul).
Citim termenii pe rând, cu poziția p. Pentru , dacă , poziția p este bună: o reținem ca pmin la prima apariție și o actualizăm mereu ca pmax. Apoi actualizăm minc și maxc cu x. La final, dacă nu am găsit nicio poziție, afișăm „nu exista”.
Eficiență: o singură parcurgere → timp liniar; doar câteva variabile → memorie O(1).
b) Programul C/C++ (8p)
#include <fstream>
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
ifstream f("bac.in");
int x, p = 0, pmin = 0, pmax = 0;
int minc = 1000000001, maxc = -1000000001;
while (f >> x)
{
p++;
if (p >= 2 && x >= minc && x <= maxc)
{
if (pmin == 0) pmin = p;
pmax = p;
}
if (x < minc) minc = x;
if (x > maxc) maxc = x;
}
if (pmin == 0) cout << "nu exista";
else cout << pmin << ' ' << pmax;
f.close();
return 0;
}Verificare pe exemple: pentru 2 7 1 8 3 10 6 −3 −2 13, termenii 3 (p = 5), 6 (p = 7) și −2 (p = 9) sunt în interiorul intervalului anterior → 5 9 ✔. Pentru 2 7 1 0 8 10 −3 13 fiecare termen extinde intervalul → nu exista ✔.
Ce merită reținut din varianta 6
- „Ambele pare”: suma resturilor la 2 este 0.
- Recursivitate și baze de numerație:
n%k + 10*f(n/k,k)scrie n în baza k. - Graf orientat cu un singur arc de ieșire din fiecare vârf: drumul este unic — urmează-l până la repetare.
- Descendenți vs. fii: descendenții includ și nepoții, strănepoții etc.
- Intervalul minim care conține niște valori: este .