Rezolvare BAC 2024 Matematică M2 (științe ale naturii) — Model oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2024 la Matematică M_șt-nat, modelul oficial publicat de minister. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $0{,}5 + 10\cdot(1 - 0{,}75) = 3$

Respectăm ordinea operațiilor: întâi paranteza, apoi înmulțirea, la final adunarea.

$0{,}5 + 10\cdot 0{,}25 = 0{,}5 + 2{,}5 = 3.$

Barem: 2p calculul parantezei și al produsului, 3p finalizarea.

2. $f(x) = 2x - 1$, $g(x) = x + 1$: arătați că $f(m) + g(-m) = m$ pentru orice $m$ real

$f(m) = 2m - 1$ și $g(-m) = -m + 1$. Adunăm:

$f(m) + g(-m) = 2m - 1 - m + 1 = m, \text{ pentru orice } m \in \mathbb R. \ \blacksquare$

Barem: 2p $f(m)$, 3p $g(-m)$ și finalizarea.

3. Ecuația $\sqrt{x^2 + 6} = \sqrt{5x}$

Condiții de existență: $5x \ge 0$, adică $x \ge 0$ ($x^2 + 6 > 0$ mereu).

Ridicăm la pătrat (ambii membri sunt nenegativi): $x^2 + 6 = 5x \iff x^2 - 5x + 6 = 0 \iff (x - 2)(x - 3) = 0$, deci $x = 2$ sau $x = 3$.

Verificare: $x = 2$: $\sqrt{10} = \sqrt{10}$ ✔; $x = 3$: $\sqrt{15} = \sqrt{15}$ ✔. Ambele sunt pozitive, deci convin.

Răspuns: $x \in \{2, 3\}$. Barem: 2p ecuația de gradul II, 3p soluțiile care convin.

4. $A = \{1, 2, \dots, 9\}$: probabilitatea ca numărul ales să fie divizor al lui 30

Cazuri posibile: 9.

Cazuri favorabile: divizorii lui $30 = 2\cdot3\cdot5$ din $A$ sunt $1, 2, 3, 5, 6$ (următorul divizor, $10$, nu e în $A$) — 5 numere.

$p = \frac59.$

Răspuns: $p = \dfrac59$. Barem: 2p cazurile posibile, 3p cazurile favorabile și probabilitatea.

5. $A(1,1)$, $B(2,2)$, $C(4,0)$: triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$

$m_{AB} = \frac{2 - 1}{2 - 1} = 1, \qquad m_{BC} = \frac{0 - 2}{4 - 2} = -1.$

$m_{AB}\cdot m_{BC} = -1$, deci $AB \perp BC$ și triunghiul este dreptunghic în $B$. $\blacksquare$

Barem: 2p $m_{AB}$, 3p $m_{BC}$ și concluzia.

6. $E(x) = 3\cos^2 x - \cos\dfrac x2\cdot\sin x$: arătați că $E\left(\dfrac\pi3\right) = 0$

Pentru $x = \dfrac\pi3$: $\cos\dfrac\pi3 = \dfrac12$, $\cos\dfrac\pi6 = \dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin\dfrac\pi3 = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

$E\left(\frac\pi3\right) = 3\cdot\frac14 - \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac34 - \frac34 = 0.$

Barem: 3p valorile trigonometrice, 2p calculul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Matricea $A(x) = \begin{pmatrix}x & -2x\\ 1 & x - 6\end{pmatrix}$

a) $\det(A(6)) = 12$

$A(6) = \begin{pmatrix}6 & -12\\ 1 & 0\end{pmatrix}$:

$\det(A(6)) = 6\cdot 0 - (-12)\cdot 1 = 0 + 12 = 12.$

Barem: 3p scrierea determinantului, 2p calculul.

b) $a$ pentru care $A(4)\cdot A(4) = aA(4)$

$A(4) = \begin{pmatrix}4 & -8\\ 1 & -2\end{pmatrix}$.

$A(4)\cdot A(4) = \begin{pmatrix}16 - 8 & -32 + 16\\ 4 - 2 & -8 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & -16\\ 2 & -4\end{pmatrix} = 2A(4).$

Din $aA(4) = 2A(4)$ și $A(4) \ne O_2$ rezultă $a = 2$.

Răspuns: $a = 2$. Barem: 3p produsul, 2p valoarea lui $a$.

c) Perechile $(m, n)$ de naturale nenule, $m < n$, cu $\det(A(m) + A(n)) = 0$

$A(m) + A(n) = \begin{pmatrix}m + n & -2m - 2n\\ 2 & m + n - 12\end{pmatrix}.$

Notăm $s = m + n$. Atunci

$\det(A(m) + A(n)) = s(s - 12) - 2\cdot(-2s) = s^2 - 12s + 4s = s(s - 8).$

Condiția $s(s - 8) = 0$, cu $s = m + n \ge 3 > 0$, dă $m + n = 8$. Cu $1 \le m < n$: $(1, 7)$, $(2, 6)$, $(3, 5)$ (perechea $(4,4)$ nu respectă $m < n$).

Răspuns: $(m, n) \in \{(1,7), (2,6), (3,5)\}$. Barem: 2p determinantul, 3p perechile.

2. Legea $x * y = xy(x + y - xy)$

a) $1 * 3 = 3$

$1 * 3 = 1\cdot3\cdot(1 + 3 - 1\cdot3) = 3\cdot 1 = 3.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

b) $x * 2 = -x^2$

$x * 2 = 2x(x + 2 - 2x) = 2x(2 - x)$. Ecuația:

$2x(2 - x) = -x^2 \iff 4x - 2x^2 + x^2 = 0 \iff x(4 - x) = 0 \iff x \in \{0, 4\}.$

Răspuns: $x \in \{0, 4\}$. Barem: 2p expresia lui $x * 2$, 3p soluțiile.

c) $m$ întreg nenul cu $\dfrac{1}{2m} * m = m$

Produsul celor două elemente este $\dfrac{1}{2m}\cdot m = \dfrac12$. Deci

$\frac{1}{2m} * m = \frac12\left(\frac{1}{2m} + m - \frac12\right) = \frac12\cdot\frac{1 + 2m^2 - m}{2m} = \frac{2m^2 - m + 1}{4m}.$

Ecuația $\dfrac{2m^2 - m + 1}{4m} = m \iff 2m^2 - m + 1 = 4m^2 \iff 2m^2 + m - 1 = 0$.

$\Delta = 1 + 8 = 9$, deci $m = \dfrac{-1 \pm 3}{4}$, adică $m = \dfrac12$ sau $m = -1$. Doar $m = -1$ este întreg.

Răspuns: $m = -1$. Barem: 2p expresia, 3p rezolvarea și alegerea soluției întregi.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x^2 - 2}{x} - 3\ln x$

a) $f'(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x^2}$

$f'(x) = \frac{2x\cdot x - (x^2 - 2)}{x^2} - \frac3x = \frac{x^2 + 2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}.$

(Sau, mai simplu: $f(x) = x - \dfrac2x - 3\ln x$, deci $f'(x) = 1 + \dfrac{2}{x^2} - \dfrac3x$.) Barem: 3p derivarea, 2p forma finală.

b) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x) + 3\ln x}{x+1} = 1$

Termenii cu logaritm se reduc: $f(x) + 3\ln x = \dfrac{x^2 - 2}{x}$. Atunci

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2 - 2}{x(x + 1)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1 - \frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac1x\right)} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.$

Barem: 3p simplificarea, 2p calculul limitei.

c) $\dfrac{x^2 + x - 2}{x} \le 3\ln x$ pentru orice $x \in (0, 2]$

Observăm că $\dfrac{x^2 + x - 2}{x} - 3\ln x = \dfrac{x^2 - 2}{x} + 1 - 3\ln x = f(x) + 1$. Deci inegalitatea cerută este echivalentă cu $f(x) \le -1$.

Din a): $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$, iar $x^2 > 0$, deci semnul lui $f'$ este semnul lui $(x-1)(x-2)$:

$x$	$0$		$1$		$2$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$
$f(x)$		↗	$-1$	↘

$f$ crește pe $(0, 1]$ și descrește pe $[1, 2]$, deci $x = 1$ este punct de maxim pe $(0, 2]$: $f(x) \le f(1) = \dfrac{1 - 2}{1} - 3\ln 1 = -1$.

Așadar $f(x) + 1 \le 0$, adică $\dfrac{x^2 + x - 2}{x} \le 3\ln x$ pentru orice $x \in (0, 2]$. $\blacksquare$

Barem: 3p monotonia și maximul, 2p concluzia.

2. $f:\mathbb R \to \mathbb R$, $f(x) = x^3 + x + 1$

a) $\displaystyle\int_0^2 (f(x) - x^3)\,dx = 4$

$\int_0^2 (x + 1)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + x\right)\Big|_0^2 = 2 + 2 = 4.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) $\displaystyle\int_0^1\frac{x^2}{f(x) - x}\,dx = \frac{\ln 2}{3}$

$f(x) - x = x^3 + 1 > 0$ pe $[0,1]$, iar $(x^3 + 1)' = 3x^2$, deci integrandul este de forma $\dfrac13\cdot\dfrac{u'}{u}$:

$\int_0^1 \frac{x^2}{x^3 + 1}\,dx = \frac13\ln(x^3 + 1)\Big|_0^1 = \frac{\ln2}{3} - \frac{\ln 1}{3} = \frac{\ln2}{3}.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

c) $a \in (-\infty, 0)$ cu $\displaystyle\int_a^0 e^{-x}\left(f'(x) - f(x)\right)dx = 1 - a^3e^{-a}$

Cheia: $\left(e^{-x}f(x)\right)' = -e^{-x}f(x) + e^{-x}f'(x) = e^{-x}\left(f'(x) - f(x)\right)$. Deci

$\int_a^0 e^{-x}\left(f'(x) - f(x)\right)dx = e^{-x}f(x)\Big|_a^0 = f(0) - e^{-a}f(a) = 1 - e^{-a}(a^3 + a + 1).$

Egalăm cu $1 - a^3e^{-a}$:

$e^{-a}(a^3 + a + 1) = a^3e^{-a} \iff a^3 + a + 1 = a^3 \iff a = -1.$

(Am împărțit prin $e^{-a} > 0$.) Valoarea $a = -1$ aparține intervalului $(-\infty, 0)$, deci convine.

Răspuns: $a = -1$. Barem: 3p calculul integralei, 2p valoarea lui $a$.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.3	$x \in \{2, 3\}$
I.4	$p = \tfrac59$
II.1.b	$a = 2$
II.1.c	$(1,7)$, $(2,6)$, $(3,5)$
II.2.b	$x \in \{0, 4\}$
II.2.c	$m = -1$
III.2.c	$a = -1$

Ce merită reținut din model

• Determinanți cu sume de parametri: notează $s = m + n$ — ecuația devine una de gradul II în $s$.
• Inegalități cu logaritmi: rescrie expresia cerută în funcție de $f$ (aici $f(x) + 1 \le 0$) și folosește extremul lui $f$.
• Integrala $\int e^{-x}(f' - f)$: recunoaște derivata produsului $e^{-x}f(x)$; nu e nevoie de integrare prin părți.