Rezolvare BAC 2024 Matematică M2 (științe ale naturii) — Rezervă, varianta 8

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2024 la Matematică M_șt-nat, subiectul de rezervă al sesiunii iunie–iulie, varianta 8. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $2\cdot(1{,}2 + 0{,}1) + 0{,}4 = 3$

$2\cdot 1{,}3 + 0{,}4 = 2{,}6 + 0{,}4 = 3.$

Barem: 2p calculul parantezei, 3p finalizarea.

2. $f(x) = 2x + 1$: determinați $a$ cu $f(a) - f(2) = a$

$f(a) = 2a + 1$, $f(2) = 5$. Ecuația: $2a + 1 - 5 = a \iff 2a - 4 = a \iff a = 4$.

Răspuns: $a = 4$. Barem: 2p valorile funcției, 3p rezolvarea ecuației.

3. Ecuația $\log_8(x^2 - 5x + 5) = \log_8 x$

Condiții de existență: $x > 0$ și $x^2 - 5x + 5 > 0$.

Logaritmul în baza 8 este injectiv: $x^2 - 5x + 5 = x \iff x^2 - 6x + 5 = 0 \iff (x - 1)(x - 5) = 0$, deci $x = 1$ sau $x = 5$.

Verificare: dacă argumentele sunt egale și $x > 0$, atunci automat și $x^2 - 5x + 5 = x > 0$. Pentru $x = 1$: $1 - 5 + 5 = 1 > 0$ ✔; pentru $x = 5$: $25 - 25 + 5 = 5 > 0$ ✔.

Răspuns: $x \in \{1, 5\}$. Barem: 2p ecuația de gradul II, 3p soluțiile care convin.

4. Numere naturale impare, de două cifre distincte, cu cifre din $A = \{1, 3, 4, 6, 8\}$

Un număr este impar dacă ultima lui cifră este impară.

• Cifra unităților: impară, din $A$: $1$ sau $3$ — 2 moduri.
• Cifra zecilor: orice cifră din $A$ diferită de cea a unităților (cifrele trebuie să fie distincte; $0 \notin A$, deci nu există problema primei cifre nule) — 4 moduri.

Regula produsului: $2\cdot 4 = 8$ numere (de exemplu $31, 41, 61, 81, 13, 43, 63, 83$).

Răspuns: 8 numere. Barem: 2p alegerea cifrei unităților, 3p numărarea.

5. $A(0,8)$, $B(4,2)$, $C$ mijlocul lui $OA$: mijlocul segmentului $BC$

$C$ este mijlocul lui $OA$: $C\left(\dfrac{0+0}{2}, \dfrac{0+8}{2}\right) = C(0, 4)$.

Mijlocul $M$ al lui $BC$: $x_M = \dfrac{4 + 0}{2} = 2$, $y_M = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$.

Răspuns: $M(2, 3)$. Barem: 2p coordonatele lui $C$, 3p mijlocul lui $BC$.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AB = 8$, $C = \dfrac\pi4$: aria este 32

Suma unghiurilor: $B = \pi - \dfrac\pi2 - \dfrac\pi4 = \dfrac\pi4 = C$, deci triunghiul este dreptunghic isoscel și $AC = AB = 8$. (Echivalent: $\operatorname{tg} C = \dfrac{AB}{AC} = 1 \Rightarrow AC = 8$.)

Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor:

$\mathcal A_{ABC} = \frac{AB\cdot AC}{2} = \frac{8\cdot 8}{2} = 32.$

Barem: 3p $AC = 8$, 2p aria.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Matricele $I_2$, $A = \begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 3\end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix}x - 2 & x - 2\\ x - 4 & x\end{pmatrix}$

a) $\det(B(5)) = 12$

$B(5) = \begin{pmatrix}3 & 3\\ 1 & 5\end{pmatrix}$, deci $\det(B(5)) = 3\cdot5 - 3\cdot1 = 15 - 3 = 12$.

Barem: 3p scrierea determinantului, 2p calculul.

b) $a$ pentru care $(B(4) - B(2))\cdot A = aA$

$B(4) = \begin{pmatrix}2 & 2\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, $B(2) = \begin{pmatrix}0 & 0\\ -2 & 2\end{pmatrix}$, deci $B(4) - B(2) = \begin{pmatrix}2 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}$.

$(B(4) - B(2))\cdot A = \begin{pmatrix}2 + 2 & 6 + 6\\ 2 + 2 & 6 + 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 12\\ 4 & 12\end{pmatrix} = 4A.$

Din $4A = aA$ și $A \ne O_2$ obținem $a = 4$.

Răspuns: $a = 4$. Barem: 3p calculul produsului, 2p valoarea lui $a$.

c) $x$ pentru care $\det(A\cdot B(x) - 4xI_2) = 0$

$A\cdot B(x) = \begin{pmatrix}(x-2) + 3(x-4) & (x-2) + 3x\\ (x-2) + 3(x-4) & (x-2) + 3x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4x - 14 & 4x - 2\\ 4x - 14 & 4x - 2\end{pmatrix}.$

Scădem $4xI_2$ (doar de pe diagonală):

$A\cdot B(x) - 4xI_2 = \begin{pmatrix}-14 & 4x - 2\\ 4x - 14 & -2\end{pmatrix}.$

$\det = (-14)(-2) - (4x-2)(4x-14) = 28 - (16x^2 - 64x + 28) = -16x^2 + 64x = -16x(x - 4).$

$-16x(x-4) = 0 \iff x \in \{0, 4\}$.

Răspuns: $x \in \{0, 4\}$. Barem: 3p matricea și determinantul, 2p soluțiile.

2. Legea $x \circ y = x(x - 2) + y(y - 2)$

a) $3 \circ 3 = 6$

$3 \circ 3 = 3(3 - 2) + 3(3 - 2) = 3 + 3 = 6.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

b) $2 \circ x = x^2 + 2$

$2 \circ x = 2\cdot 0 + x(x - 2) = x^2 - 2x$. Ecuația: $x^2 - 2x = x^2 + 2 \iff -2x = 2 \iff x = -1$.

Răspuns: $x = -1$. Barem: 3p expresia și ecuația, 2p soluția.

c) $x \circ y \ge -2$ pentru orice $x, y$ reali

Completăm pătratele: $x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ și $y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1$. Deci

$x \circ y = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 \ge 0 + 0 - 2 = -2,$

deoarece pătratele numerelor reale sunt nenegative. Egalitatea are loc pentru $x = y = 1$. $\blacksquare$

Barem: 2p scrierea expresiei, 3p restrângerea în pătrate și concluzia.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = 2\sqrt x - \dfrac1x - 3$

a) $f'(x) = \dfrac{x\sqrt x + 1}{x^2}$

$(2\sqrt x)' = \dfrac{2}{2\sqrt x} = \dfrac{1}{\sqrt x}$ și $\left(-\dfrac1x\right)' = \dfrac{1}{x^2}$:

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt x} + \frac{1}{x^2} = \frac{\sqrt x}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x\sqrt x + 1}{x^2}.$

(Am folosit $\dfrac{1}{\sqrt x} = \dfrac{\sqrt x}{x}$ și am amplificat cu $x$.) Barem: 3p derivarea, 2p forma finală.

b) Tangenta în punctul de abscisă $x = 1$

$f(1) = 2 - 1 - 3 = -2$, $f'(1) = \dfrac{1 + 1}{1} = 2$.

$y - f(1) = f'(1)(x - 1) \iff y + 2 = 2(x - 1) \iff y = 2x - 4$.

Răspuns: $y = 2x - 4$. Barem: 2p $f(1)$ și $f'(1)$, 3p ecuația.

c) $f$ este bijectivă

Injectivitate: pentru $x > 0$, $x\sqrt x + 1 > 0$ și $x^2 > 0$, deci $f'(x) > 0$; $f$ este strict crescătoare pe $(0, +\infty)$, deci injectivă.

Surjectivitate: calculăm limitele la capete:

$\lim_{x\to0^+} f(x) = 0 - \infty - 3 = -\infty \quad\left(\text{pentru că } \tfrac1x \to +\infty\right), \qquad \lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$

(în al doilea caz $2\sqrt x \to +\infty$, iar $\tfrac1x \to 0$). $f$ este continuă și strict crescătoare, deci ia toate valorile dintre limitele de la capete: $\operatorname{Im} f = (-\infty, +\infty) = \mathbb R$, adică $f$ este surjectivă.

Injectivă și surjectivă $\Rightarrow$ $f$ este bijectivă. $\blacksquare$

Barem: 2p injectivitatea, 3p surjectivitatea și concluzia.

2. $f:\mathbb R \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1}$

a) $\displaystyle\int_1^2 (x^2 + 1)f(x)\,dx = 6$

$(x^2 + 1)f(x) = 4x$:

$\int_1^2 4x\,dx = 2x^2\Big|_1^2 = 8 - 2 = 6.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) $\displaystyle\int_2^3 f(x)\,dx = 2\ln 2$

Cum $(x^2 + 1)' = 2x$, avem $f(x) = 2\cdot\dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1}$:

$\int_2^3 \frac{4x}{x^2+1}\,dx = 2\ln(x^2 + 1)\Big|_2^3 = 2\ln 10 - 2\ln 5 = 2\ln\frac{10}{5} = 2\ln 2.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

c) $m \in (1, +\infty)$ pentru care $\displaystyle\int_1^m\left(\frac{f(\sqrt x)}{\sqrt x}\right)^3 dx = 6$

Pentru $x > 0$: $f(\sqrt x) = \dfrac{4\sqrt x}{x + 1}$, deci $\dfrac{f(\sqrt x)}{\sqrt x} = \dfrac{4}{x+1}$ și

$\left(\frac{f(\sqrt x)}{\sqrt x}\right)^3 = \frac{64}{(x+1)^3}.$

Primitiva lui $(x+1)^{-3}$ este $\dfrac{(x+1)^{-2}}{-2}$:

$\int_1^m \frac{64}{(x+1)^3}\,dx = -\frac{32}{(x+1)^2}\Big|_1^m = -\frac{32}{(m+1)^2} + \frac{32}{4} = 8 - \frac{32}{(m+1)^2}.$

Ecuația: $8 - \dfrac{32}{(m+1)^2} = 6 \iff \dfrac{32}{(m+1)^2} = 2 \iff (m+1)^2 = 16 \iff m + 1 = \pm 4$.

Cum $m > 1$, $m + 1 > 0$, deci $m + 1 = 4$, adică $m = 3$ (valoarea $m = -5$ se respinge).

Răspuns: $m = 3$. Barem: 3p calculul integralei, 2p valoarea lui $m$.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 4$
I.3	$x \in \{1, 5\}$
I.4	8 numere
I.5	$(2, 3)$
II.1.b	$a = 4$
II.1.c	$x \in \{0, 4\}$
II.2.b	$x = -1$
III.1.b	$y = 2x - 4$
III.2.c	$m = 3$

Ce merită reținut din varianta 8

• Numărare cu restricții: începe cu poziția cea mai restrictivă (aici cifra unităților), apoi aplică regula produsului.
• Minorări de tipul $x \circ y \ge k$: restrânge în pătrate perfecte.
• Bijectivitate: derivata strict pozitivă (injectivitate) + limitele la capete $\pm\infty$ și continuitatea (surjectivitate).
• Integrale cu $f(\sqrt x)$: înlocuiește întâi și simplifică — integrala devine una elementară.