Rezolvare BAC 2013 Matematică M1 (mate-info) — August–Septembrie, varianta 9

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2013 la Matematică M_mate-info, sesiunea august–septembrie, varianta 9. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Rația progresiei geometrice cu $b_1 = 1$, $b_4 = 27$

$b_4 = b_1q^3 \Rightarrow q^3 = 27 \Rightarrow q = 3$ (singura rădăcină reală).

Barem: 3p + 2p.

2. Vârful parabolei $f(x) = x^2 - 6x + 8$

$x_V = 3$, $y_V = f(3) = 9 - 18 + 8 = -1$.

Răspuns: $V(3, -1)$. Barem: 2p + 3p.

3. Ecuația $3^{x+2} = 9^{1-x}$

$9^{1-x} = 3^{2(1-x)}$, deci $x + 2 = 2 - 2x \iff 3x = 0 \iff x = 0$.

Barem: 3p + 2p.

4. Probabilitatea ca un număr de două cifre să fie pătrat perfect

Pătratele perfecte de două cifre: $16, 25, 36, 49, 64, 81$ — 6 cazuri favorabile din 90.

$p = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}.$

Barem: 2p + 1p + 2p.

5. $\overrightarrow{AB} = 4\vec i - 3\vec j$, $\overrightarrow{BC} = 2\vec i - 5\vec j$; lungimea lui $\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 6\vec i - 8\vec j, \qquad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{36 + 64} = 10.$

Barem: 3p + 2p.

6. $\sin A$ în triunghiul cu $AB = 4$, $BC = 5$, $\sin C = \frac45$

Teorema sinusurilor: $\dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{BC}{\sin A}$:

$\sin A = \frac{BC\cdot\sin C}{AB} = \frac{5\cdot\frac45}{4} = 1.$

(Triunghiul este dreptunghic în $A$.) Barem: 2p + 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ m & 0 & 0\\ m & 0 & m\end{pmatrix}$

a) $\det(A(1))$

$\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.$

Dezvoltând după linia a doua: $-1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{vmatrix} = -1$.

Răspuns: $-1$. Barem: 2p + 3p.

b) $A(m)\cdot A(-m) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

$A(m)\cdot A(-m) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ m & 0 & 0\\ m & 0 & m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ -m & 0 & 0\\ -m & 0 & -m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2m & 1 & 1 - m\\ m & m & m\\ m - m^2 & m & m - m^2\end{pmatrix}.$

Identificând: $1 - 2m = -1$, $m = 1$, $1 - m = 0$, $m - m^2 = 0$ — toate sunt satisfăcute doar de $m = 1$.

Răspuns: $m = 1$. Barem: 3p + 2p.

c) $\det\big(A(1) + \dots + A(101)\big) = -51^2\cdot101^3$

Fie $S = 1 + 2 + \dots + 101 = \dfrac{101\cdot102}{2} = 101\cdot51$.

$A(1) + \dots + A(101) = \begin{pmatrix} 101 & 101 & 101\\ S & 0 & 0\\ S & 0 & S\end{pmatrix}.$

Dezvoltând după linia a doua:

$\det = -S\cdot\begin{vmatrix} 101 & 101\\ 0 & S\end{vmatrix} = -S\cdot101S = -101S^2 = -101\cdot101^2\cdot51^2 = -51^2\cdot101^3. \ \blacksquare$

Barem: 3p + 2p.

2. Legea asociativă $x\circ y = xy - 4x - 4y + 20$

a) $3\circ4$

$3\circ4 = 12 - 12 - 16 + 20 = 4.$

Barem: 3p + 2p.

b) $x\circ y = (x-4)(y-4) + 4$

$xy - 4x - 4y + 16 + 4 = x(y-4) - 4(y-4) + 4 = (x-4)(y-4) + 4.$

Barem: 3p + 2p.

c) $\underbrace{x\circ x\circ\dots\circ x}_{2013} = 5$

Prin inducție, $\underbrace{x\circ\dots\circ x}_{n} = (x-4)^n + 4$ (la fiecare compunere se înmulțește cu încă un factor $x - 4$). Ecuația devine

$(x-4)^{2013} + 4 = 5 \iff (x-4)^{2013} = 1 \iff x - 4 = 1 \iff x = 5$

(exponent impar, deci singura rădăcină reală a lui $t^{2013} = 1$ este $t = 1$).

Răspuns: $x = 5$. Barem: 1p + 2p + 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = \dfrac{e^x}{x + e^x}$

a) $f'(x) = \dfrac{(x-1)e^x}{(x + e^x)^2}$

$f'(x) = \frac{e^x(x + e^x) - e^x(1 + e^x)}{(x + e^x)^2} = \frac{e^x(x - 1)}{(x + e^x)^2}.$

Barem: 3p + 2p.

b) Asimptota spre $+\infty$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x + e^x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\frac{x}{e^x} + 1} = 1$

(căci $\frac{x}{e^x} \to 0$). Răspuns: asimptota orizontală $y = 1$. Barem: 3p + 2p.

c) $f(x) \ge \dfrac{e}{e+1}$

$f'(x) \le 0$ pe $(0, 1]$ și $f'(x) \ge 0$ pe $[1, +\infty)$, deci $x = 1$ este punct de minim global:

$f(x) \ge f(1) = \frac{e}{1 + e}. \ \blacksquare$

Barem: 3p + 2p.

2. $I_n = \displaystyle\int_0^1 xe^{-nx^2}\,dx$

a) $I_0$

$I_0 = \int_0^1 x\,dx = \frac12.$

Barem: 3p + 2p.

b) $I_{n+1} \le I_n$

$I_{n+1} - I_n = \int_0^1 xe^{-nx^2}\left(e^{-x^2} - 1\right)dx.$

Pe $[0,1]$: $x \ge 0$, $e^{-nx^2} > 0$, iar $e^{-x^2} \le 1$. Integrandul este $\le 0$, deci $I_{n+1} \le I_n$. $\blacksquare$ Barem: 2p + 3p.

c) $I_n = \dfrac{1}{2n}\left(1 - \dfrac{1}{e^n}\right)$ pentru $n \ge 1$

$\left(e^{-nx^2}\right)' = -2nxe^{-nx^2}$, deci $xe^{-nx^2} = -\dfrac{1}{2n}\left(e^{-nx^2}\right)'$:

$I_n = -\frac{1}{2n}e^{-nx^2}\Big|_0^1 = -\frac{1}{2n}\left(e^{-n} - 1\right) = \frac{1}{2n}\left(1 - \frac{1}{e^n}\right). \ \blacksquare$

Barem: 3p + 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$q = 3$
I.2	$V(3, -1)$
I.3	$x = 0$
I.4	$p = \frac{1}{15}$
I.5	$10$
I.6	$\sin A = 1$
II.1.a	$-1$
II.1.b	$m = 1$
II.2.a	$4$
II.2.c	$x = 5$
III.1.b	$y = 1$
III.2.a	$I_0 = \frac12$

Ce merită reținut din varianta 9

• Legea $(x-a)(y-a) + a$ compusă de $n$ ori cu același $x$: $(x-a)^n + a$.
• Suma de matrice $A(k)$ cu elemente liniare în $k$: înlocuiește $k$ cu $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$.
• Monotonia unui șir de integrale: semnul integrandului în $I_{n+1} - I_n$.
• $\int xe^{-nx^2}dx$: integrandul este, până la o constantă, derivata lui $e^{-nx^2}$.