Rezolvare BAC 2014 Matematică M1 (mate-info) — Sesiune specială, varianta 9

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2014 la Matematică M_mate-info, sesiunea specială, varianta 9. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $3(2 + 4i) + 2(1 - 6i) = 8$

$6 + 12i + 2 - 12i = 8.$

Barem: 3p dezvoltarea, 2p calculul.

2. Parabola funcției $f(x) = x^2 + 2x + 1$ este tangentă la axa $Ox$

$\Delta = 4 - 4 = 0$, deci parabola are un singur punct comun cu $Ox$ (vârful $(-1, 0)$): este tangentă la axă. Barem: 3p $\Delta$, 2p concluzia.

3. Ecuația $5^{x^2+4} = 5^{4x}$

$x^2 + 4 = 4x \iff (x - 2)^2 = 0 \iff x = 2.$

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p ecuația, 2p soluția.

4. Numere de două cifre distincte formate cu cifrele $1, 3, 5, 7$

Cifra unităților: 4 moduri; cifra zecilor (diferită): 3 moduri. $4\cdot3 = 12$.

Răspuns: $12$. Barem: 3p, 2p.

5. Dreapta prin $A(-2,2)$, perpendiculară pe $BC$, $B(-4,-2)$, $C(4,2)$

$m_{BC} = \dfrac{2 + 2}{4 + 4} = \dfrac12$, deci $m_d = -2$:

$d: y - 2 = -2(x + 2) \iff y = -2x - 2.$

Răspuns: $y = -2x - 2$. Barem: 2p panta, 3p ecuația.

6. Arătați că $\sin\dfrac\pi4 + \cos\dfrac{3\pi}{4} = 0$

$\sin\frac\pi4 = \frac{\sqrt2}{2}, \quad \cos\frac{3\pi}4 = -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow \text{suma} = 0.$

Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(n) = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^n&0\\0&2^n - 1&1\end{pmatrix}$, $n \in \mathbb N$

a) $\det(A(0)) = 1$

$A(0) = I_3$ ($2^0 = 1$, $2^0 - 1 = 0$), deci $\det = 1$. Barem: 2p, 3p.

b) $n$ cu $A(n)\cdot A(1) = A(3)$

$A(1) = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}$:

$A(n)A(1) = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^{n+1}&0\\0&2(2^n - 1) + 1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2^{n+1}&0\\0&2^{n+1} - 1&1\end{pmatrix} = A(n+1).$

$A(n+1) = A(3) \iff 2^{n+1} = 2^3 \iff n = 2$.

Răspuns: $n = 2$. Barem: 3p produsul, 2p valoarea.

c) $p, q \in \mathbb N$ cu $A(p)\cdot A(q) = A(pq)$

Analog cu b), $A(p)A(q) = A(p + q)$ (elementul $(3,2)$: $(2^p - 1)2^q + 2^q - 1 = 2^{p+q} - 1$). Funcția $n \mapsto 2^n$ este injectivă, deci

$p + q = pq \iff pq - p - q + 1 = 1 \iff (p-1)(q-1) = 1.$

În numere întregi: $p - 1 = q - 1 = 1$ sau $p - 1 = q - 1 = -1$.

Răspuns: $(p,q) \in \{(0,0), (2,2)\}$. Barem: 2p $A(p)A(q) = A(p+q)$, 3p soluțiile.

2. $f = X^3 + X^2 - 3X + 2$

a) $f(0) = 2$. Barem: 3p, 2p.

b) Câtul și restul împărțirii la $X^2 - 4$

$X^3 + X^2 - 3X + 2 = (X^2 - 4)(X + 1) + (X + 6),$

pentru că $(X^2 - 4)(X + 1) = X^3 + X^2 - 4X - 4$, iar diferența este $X + 6$.

Răspuns: câtul $X + 1$, restul $X + 6$. Barem: 3p câtul, 2p restul.

c) $(x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_3 - x_1)^2 = 20$

Viète: $S_1 = -1$, $S_2 = -3$. Dezvoltând:

$\sum(x_i - x_j)^2 = 2(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) - 2S_2 = 2(S_1^2 - 2S_2) - 2S_2 = 2S_1^2 - 6S_2 = 2 + 18 = 20.$

Barem: 2p Viète, 3p calculul.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = 3x + e^x$

a) $f'(x) = 3 + e^x$. Barem: 2p, 3p.

b) Asimptota oblică spre $-\infty$

$m = \lim_{x\to-\infty}\frac{3x + e^x}{x} = 3, \qquad n = \lim_{x\to-\infty}\big(f(x) - 3x\big) = \lim_{x\to-\infty}e^x = 0.$

Răspuns: $y = 3x$. Barem: 2p $m$, 3p $n$ și ecuația.

c) $f(x) \ge 4x + 1$ pentru orice $x$

Fie $g(x) = f(x) - 4x - 1 = e^x - x - 1$. $g'(x) = e^x - 1$: negativă pe $(-\infty, 0)$, pozitivă pe $(0, +\infty)$, deci $g$ are minimul $g(0) = 0$. Așadar $g(x) \ge 0$, adică $f(x) \ge 4x + 1$. $\blacksquare$ Barem: 3p monotonia lui $g$, 2p concluzia.

2. $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + x + 1}$

a) $\displaystyle\int_0^1(x^2 + x + 1)f(x)\,dx = \frac14$

$\int_0^1x^3\,dx = \frac{x^4}{4}\Big|_0^1 = \frac14.$

Barem: 2p simplificarea, 3p calculul.

b) $\displaystyle\int_0^1\big(f(x) - x + 1\big)dx = \frac{\pi}{3\sqrt3}$

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1$, deci

$f(x) - x + 1 = \frac{x^3 - (x^3 - 1)}{x^2 + x + 1} = \frac{1}{x^2 + x + 1} = \frac{1}{\left(x + \frac12\right)^2 + \frac34}.$

$\int_0^1\frac{dx}{\left(x + \frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2} = \frac{2}{\sqrt3}\operatorname{arctg}\frac{2x + 1}{\sqrt3}\Big|_0^1 = \frac{2}{\sqrt3}\left(\frac\pi3 - \frac\pi6\right) = \frac{\pi}{3\sqrt3}.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

c) $\displaystyle\lim_{t\to0}\left(\frac{1}{t^4}\int_0^t f(x)\,dx\right) = \frac14$

Nedeterminare $\frac00$; regula lui l'Hôpital (derivata integralei cu limita superioară variabilă este $f(t)$):

$\lim_{t\to0}\frac{f(t)}{4t^3} = \lim_{t\to0}\frac{t^3}{4t^3(t^2 + t + 1)} = \lim_{t\to0}\frac{1}{4(t^2 + t + 1)} = \frac14.$

Barem: 3p l'Hôpital, 2p rezultatul.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.3	$x = 2$
I.4	$12$
I.5	$y = -2x - 2$
II.1.b	$n = 2$
II.1.c	$(0,0)$, $(2,2)$
II.2.a	$2$
II.2.b	cât $X + 1$, rest $X + 6$
II.2.c	$20$
III.1.a	$3 + e^x$
III.1.b	$y = 3x$
III.2.b	$\frac{\pi}{3\sqrt3}$
III.2.c	$\frac14$

Ce merită reținut din varianta 9

• Familii $A(n)$ cu $A(p)A(q) = A(p+q)$: compară exponenții.
• $\sum(x_i - x_j)^2 = 2S_1^2 - 6S_2$ — formulă utilă cu Viète.
• $\int\frac{dx}{x^2 + x + 1}$: formează pătrat perfect și folosește $\operatorname{arctg}$.
• Limite cu integrale de la $0$ la $t$: l'Hôpital, cu $\left(\int_0^t f\right)' = f(t)$.