Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2015 la Matematică M_mate-info , sesiunea iunie–iulie, varianta 8 . Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.
Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.
Subiectul I (30 de puncte)
1. ( 5 + 1 ) 2 + ( 5 − 1 ) 2 = 12 (\sqrt5 + 1)^2 + (\sqrt5 - 1)^2 = 12 ( 5 + 1 ) 2 + ( 5 − 1 ) 2 = 12
( 5 + 1 ) 2 = 6 + 2 5 (\sqrt5 + 1)^2 = 6 + 2\sqrt5 ( 5 + 1 ) 2 = 6 + 2 5 ( 5 − 1 ) 2 = 6 − 2 5 (\sqrt5 - 1)^2 = 6 - 2\sqrt5 ( 5 − 1 ) 2 = 6 − 2 5 12 12 12 Barem: 2p, 3p.
2. f ( x ) = x − 3 f(x) = x - 3 f ( x ) = x − 3 f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) f ( 4 ) f(1)f(2)f(3)f(4) f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) f ( 4 )
f ( 3 ) = 0 f(3) = 0 f ( 3 ) = 0 0 0 0 Răspuns: 0 0 0 Barem: 3p, 2p.
3. log 2 ( x 2 − 4 x + 4 ) = 0 \log_2(x^2 - 4x + 4) = 0 log 2 ( x 2 − 4 x + 4 ) = 0
x 2 − 4 x + 4 = 1 ⟺ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⟺ x ∈ { 1 , 3 } x^2 - 4x + 4 = 1 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \iff x \in \{1, 3\} x 2 − 4 x + 4 = 1 ⟺ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⟺ x ∈ { 1 , 3 } 1 > 0 1 > 0 1 > 0
Răspuns: x ∈ { 1 , 3 } x \in \{1, 3\} x ∈ { 1 , 3 } Barem: 2p, 3p.
4. Numere impare de trei cifre distincte formate cu 2 , 3 , 4 2, 3, 4 2 , 3 , 4
Cifra unităților trebuie să fie impară: 3 3 3 2 2 2 4 4 4 243 243 243 423 423 423
Răspuns: 2 numere. Barem: 2p, 3p.
5. Dreapta d d d A ( 1 , 2 ) A(1,2) A ( 1 , 2 ) A B AB A B B ( 2 , 3 ) B(2,3) B ( 2 , 3 )
m A B = 1 m_{AB} = 1 m A B = 1 m d = − 1 m_d = -1 m d = − 1 y − 2 = − ( x − 1 ) ⟺ y = − x + 3 y - 2 = -(x - 1) \iff y = -x + 3 y − 2 = − ( x − 1 ) ⟺ y = − x + 3
Răspuns: y = − x + 3 y = -x + 3 y = − x + 3 Barem: 3p, 2p.
6. sin ( π − x ) + sin ( π + x ) = 0 \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) = 0 sin ( π − x ) + sin ( π + x ) = 0
sin ( π − x ) = sin x \sin(\pi - x) = \sin x sin ( π − x ) = sin x sin ( π + x ) = − sin x \sin(\pi + x) = -\sin x sin ( π + x ) = − sin x 0 0 0 Barem: 2p, 3p.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. B ( x ) = ( 1 0 x 0 1 0 3 x 0 1 ) B(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x\\ 0 & 1 & 0\\ 3x & 0 & 1\end{pmatrix} B ( x ) = 1 0 3 x 0 1 0 x 0 1
a) det ( B ( 0 ) ) = 1 \det(B(0)) = 1 det ( B ( 0 )) = 1
B ( 0 ) = I 3 B(0) = I_3 B ( 0 ) = I 3 det = 1 \det = 1 det = 1 Barem: 2p, 3p.
b) B ( x ) + B ( y ) = 2 B ( x + y 2 ) B(x) + B(y) = 2B\left(\dfrac{x+y}{2}\right) B ( x ) + B ( y ) = 2 B ( 2 x + y )
B ( x ) + B ( y ) = ( 2 0 x + y 0 2 0 3 x + 3 y 0 2 ) = 2 ( 1 0 x + y 2 0 1 0 3 ⋅ x + y 2 0 1 ) = 2 B ( x + y 2 ) . B(x) + B(y) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & x + y\\ 0 & 2 & 0\\ 3x + 3y & 0 & 2\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{x+y}{2}\\ 0 & 1 & 0\\ 3\cdot\frac{x+y}{2} & 0 & 1\end{pmatrix} = 2B\left(\frac{x+y}{2}\right). B ( x ) + B ( y ) = 2 0 3 x + 3 y 0 2 0 x + y 0 2 = 2 1 0 3 ⋅ 2 x + y 0 1 0 2 x + y 0 1 = 2 B ( 2 x + y ) .
Barem: 3p, 2p.
c) B ( x 2 + 1 ) B ( x ) = B ( x 2 + x + 1 ) B(x^2 + 1)B(x) = B(x^2 + x + 1) B ( x 2 + 1 ) B ( x ) = B ( x 2 + x + 1 )
În general B ( a ) B ( b ) = ( 1 + 3 a b 0 a + b 0 1 0 3 ( a + b ) 0 1 + 3 a b ) B(a)B(b) = \begin{pmatrix} 1 + 3ab & 0 & a + b\\ 0 & 1 & 0\\ 3(a + b) & 0 & 1 + 3ab\end{pmatrix} B ( a ) B ( b ) = 1 + 3 ab 0 3 ( a + b ) 0 1 0 a + b 0 1 + 3 ab a = x 2 + 1 a = x^2 + 1 a = x 2 + 1 b = x b = x b = x a + b = x 2 + x + 1 a + b = x^2 + x + 1 a + b = x 2 + x + 1 1 + 3 x ( x 2 + 1 ) = 3 x 3 + 3 x + 1 1 + 3x(x^2 + 1) = 3x^3 + 3x + 1 1 + 3 x ( x 2 + 1 ) = 3 x 3 + 3 x + 1
Egalitatea cu B ( x 2 + x + 1 ) B(x^2 + x + 1) B ( x 2 + x + 1 ) 1 1 1 3 x ( x 2 + 1 ) = 0 ⟺ x = 0 3x(x^2 + 1) = 0 \iff x = 0 3 x ( x 2 + 1 ) = 0 ⟺ x = 0
Răspuns: x = 0 x = 0 x = 0 Barem: 3p, 2p.
2. Legea x ∘ y = 1 2 ( x − 3 ) ( y − 3 ) + 3 x\circ y = \dfrac12(x - 3)(y - 3) + 3 x ∘ y = 2 1 ( x − 3 ) ( y − 3 ) + 3
a) ( − 3 ) ∘ 3 = 3 (-3)\circ 3 = 3 ( − 3 ) ∘ 3 = 3
1 2 ( − 6 ) ⋅ 0 + 3 = 3 \frac12(-6)\cdot 0 + 3 = 3 2 1 ( − 6 ) ⋅ 0 + 3 = 3 Barem: 3p, 2p.
b) n n n n ∘ n = 11 n\circ n = 11 n ∘ n = 11
1 2 ( n − 3 ) 2 + 3 = 11 ⟺ ( n − 3 ) 2 = 16 ⟺ n ∈ { − 1 , 7 } . \frac12(n - 3)^2 + 3 = 11 \iff (n - 3)^2 = 16 \iff n \in \{-1, 7\}. 2 1 ( n − 3 ) 2 + 3 = 11 ⟺ ( n − 3 ) 2 = 16 ⟺ n ∈ { − 1 , 7 } .
Răspuns: n = 7 n = 7 n = 7 Barem: 2p, 3p.
c) 1 ∘ 2 ∘ 3 ∘ … ∘ 2015 1\circ 2\circ 3\circ\ldots\circ 2015 1 ∘ 2 ∘ 3 ∘ … ∘ 2015
x ∘ 3 = 3 ∘ x = 3 x\circ 3 = 3\circ x = 3 x ∘ 3 = 3 ∘ x = 3 x x x ( 1 ∘ 2 ) ∘ 3 ∘ ( 4 ∘ … ∘ 2015 ) = 3 (1\circ 2)\circ 3\circ(4\circ\ldots\circ 2015) = 3 ( 1 ∘ 2 ) ∘ 3 ∘ ( 4 ∘ … ∘ 2015 ) = 3
Răspuns: 3 3 3 Barem: 2p, 3p.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. f : ( 1 , + ∞ ) → R f:(1, +\infty) \to \mathbb R f : ( 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = x + 2 x − 1 f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 1} f ( x ) = x − 1 x + 2
a) f ′ ( x ) = − 3 ( x − 1 ) 2 f'(x) = -\dfrac{3}{(x-1)^2} f ′ ( x ) = − ( x − 1 ) 2 3
f ′ ( x ) = ( x − 1 ) − ( x + 2 ) ( x − 1 ) 2 = − 3 ( x − 1 ) 2 . f'(x) = \frac{(x - 1) - (x + 2)}{(x - 1)^2} = -\frac{3}{(x - 1)^2}. f ′ ( x ) = ( x − 1 ) 2 ( x − 1 ) − ( x + 2 ) = − ( x − 1 ) 2 3 .
Barem: 3p, 2p.
b) f f f ( 1 , + ∞ ) (1, +\infty) ( 1 , + ∞ )
f ′ ′ ( x ) = 6 ( x − 1 ) 3 > 0 f''(x) = \dfrac{6}{(x - 1)^3} > 0 f ′′ ( x ) = ( x − 1 ) 3 6 > 0 x > 1 x > 1 x > 1 Barem: 3p, 2p.
c) Punctul în care tangenta este paralelă cu y = − 3 x y = -3x y = − 3 x
f ′ ( x ) = − 3 ⟺ ( x − 1 ) 2 = 1 ⟺ x − 1 = ± 1 f'(x) = -3 \iff (x - 1)^2 = 1 \iff x - 1 = \pm1 f ′ ( x ) = − 3 ⟺ ( x − 1 ) 2 = 1 ⟺ x − 1 = ± 1 x > 1 x > 1 x > 1 x = 2 x = 2 x = 2 f ( 2 ) = 4 f(2) = 4 f ( 2 ) = 4
Răspuns: ( 2 , 4 ) (2, 4) ( 2 , 4 ) Barem: 3p, 2p.
2. f ( x ) = x e x f(x) = xe^x f ( x ) = x e x
a) ∫ 1 2 1 x f ( x ) d x = e ( e − 1 ) \displaystyle\int_1^2\frac1x f(x)\,dx = e(e - 1) ∫ 1 2 x 1 f ( x ) d x = e ( e − 1 )
∫ 1 2 e x d x = e 2 − e = e ( e − 1 ) . \int_1^2 e^x\,dx = e^2 - e = e(e - 1). ∫ 1 2 e x d x = e 2 − e = e ( e − 1 ) .
Barem: 3p, 2p.
b) Primitiva F F F F ( 1 ) = 0 F(1) = 0 F ( 1 ) = 0
∫ x e x d x = ( x − 1 ) e x + c \displaystyle\int xe^x\,dx = (x - 1)e^x + c ∫ x e x d x = ( x − 1 ) e x + c F ( 1 ) = 0 + c = 0 ⇒ c = 0 F(1) = 0 + c = 0 \Rightarrow c = 0 F ( 1 ) = 0 + c = 0 ⇒ c = 0
Răspuns: F ( x ) = ( x − 1 ) e x F(x) = (x - 1)e^x F ( x ) = ( x − 1 ) e x Barem: 3p, 2p.
c) I n = ∫ 0 1 x n f ( x ) d x I_n = \displaystyle\int_0^1 x^nf(x)\,dx I n = ∫ 0 1 x n f ( x ) d x I n + ( n + 1 ) I n − 1 = e I_n + (n + 1)I_{n-1} = e I n + ( n + 1 ) I n − 1 = e
I n = ∫ 0 1 x n + 1 e x d x I_n = \displaystyle\int_0^1 x^{n+1}e^x\,dx I n = ∫ 0 1 x n + 1 e x d x u = x n + 1 u = x^{n+1} u = x n + 1 v ′ = e x v' = e^x v ′ = e x
I n = x n + 1 e x ∣ 0 1 − ( n + 1 ) ∫ 0 1 x n e x d x = e − ( n + 1 ) I n − 1 . I_n = x^{n+1}e^x\Big|_0^1 - (n + 1)\int_0^1 x^ne^x\,dx = e - (n + 1)I_{n-1}. I n = x n + 1 e x 0 1 − ( n + 1 ) ∫ 0 1 x n e x d x = e − ( n + 1 ) I n − 1 .
Deci I n + ( n + 1 ) I n − 1 = e I_n + (n + 1)I_{n-1} = e I n + ( n + 1 ) I n − 1 = e n ≥ 2 n \ge 2 n ≥ 2 ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
Rezumatul răspunsurilor
Cerință Răspuns I.2 0 0 0 I.3 x ∈ { 1 , 3 } x \in \{1, 3\} x ∈ { 1 , 3 } I.4 2 numere I.5 y = − x + 3 y = -x + 3 y = − x + 3 II.1.c x = 0 x = 0 x = 0 II.2.b n = 7 n = 7 n = 7 II.2.c 3 3 3 III.1.c ( 2 , 4 ) (2, 4) ( 2 , 4 ) III.2.b F ( x ) = ( x − 1 ) e x F(x) = (x - 1)e^x F ( x ) = ( x − 1 ) e x
Ce merită reținut din varianta 8
Drepte paralele cu tangenta : rezolvă f ′ ( x ) = f'(x) = f ′ ( x ) = Legea 1 2 ( x − 3 ) ( y − 3 ) + 3 \frac12(x-3)(y-3) + 3 2 1 ( x − 3 ) ( y − 3 ) + 3 : 3 3 3 Integrale ∫ x n e x \int x^ne^x ∫ x n e x : prin părți obții o recurență în care exponentul scade cu 1.