Rezolvare BAC 2026 Matematică M2 (științe ale naturii) — Rezervă, varianta 5

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2026 la Matematică M_șt-nat, sesiunea de rezervă (august–septembrie), varianta 5. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $i(6 - i) + 3(3 - 2i) = 10$

Desfacem parantezele:

$i(6 - i) + 3(3 - 2i) = 6i - i^2 + 9 - 6i.$

Termenii $6i$ și $-6i$ se reduc, iar $-i^2 = -(-1) = 1$:

$= 1 + 9 = 10.$

Barem: 3p desfacerea parantezelor, 2p finalizarea.

2. $f(x) = x^2 - 4x$: abscisele punctelor de intersecție a graficului cu axa $Ox$

Un punct al graficului se află pe $Ox$ când ordonata lui este 0, adică $f(x) = 0$:

$x^2 - 4x = 0 \iff x(x - 4) = 0 \iff x = 0 \text{ sau } x = 4.$

Răspuns: abscisele sunt $0$ și $4$. Barem: 3p ecuația $f(x) = 0$, 2p soluțiile.

3. Ecuație exponențială: $7^{3x - 2} = 7^{-x}\cdot 49$

Scriem $49 = 7^2$, deci membrul drept devine $7^{-x}\cdot 7^2 = 7^{-x + 2}$. Funcția exponențială fiind injectivă, egalăm exponenții:

$3x - 2 = -x + 2 \iff 4x = 4 \iff x = 1.$

Verificare: $7^{1} = 7$ și $7^{-1}\cdot 49 = 7$ ✔.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p egalarea exponenților, 2p soluția.

4. Numere naturale impare, de două cifre distincte, cu cifre din $A = \{2, 3, 4, 5, 8, 9\}$

Un număr este impar dacă cifra unităților este impară. Cifrele impare din $A$ sunt $3, 5, 9$, deci cifra unităților se alege în 3 moduri.

Cifra zecilor trebuie să fie diferită de cifra unităților (cifre distincte); din cele 6 cifre ale lui $A$ rămân 5 (niciuna nu e 0, deci nu avem problema primei cifre nule).

Regula produsului: $3 \cdot 5 = 15$ numere.

Răspuns: 15 numere. Barem: 2p alegerea cifrei unităților, 3p numărarea.

5. $A(5, 2)$ mijlocul lui $BC$, $B(7, 4)$: lungimea lui $OC$

Fie $C(x_C, y_C)$. Din formula mijlocului:

$\frac{7 + x_C}{2} = 5 \Rightarrow x_C = 3, \qquad \frac{4 + y_C}{2} = 2 \Rightarrow y_C = 0.$

Deci $C(3, 0)$ și $OC = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.

Răspuns: $OC = 3$. Barem: 2p formula mijlocului, 3p coordonatele lui $C$ și lungimea.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AB = 2$, $BC = 4$: arătați că $AD = \sqrt3$, $AD$ înălțime

Teorema lui Pitagora: $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt3$.

Scriem aria în două moduri — cu catetele și cu ipotenuza și înălțimea corespunzătoare:

$\mathcal A = \frac{AB\cdot AC}{2} = \frac{BC\cdot AD}{2} \Rightarrow AD = \frac{AB\cdot AC}{BC} = \frac{2\cdot 2\sqrt3}{4} = \sqrt3.$

Barem: 3p $AC$ și scrierea ariei, 2p calculul lui $AD$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Matricele $I_2$ și $A(x) = \begin{pmatrix}x - 2 & -1 - x\\ 3x & x + 4\end{pmatrix}$

a) Arătați că $\det(A(2)) = 18$.

$A(2) = \begin{pmatrix}0 & -3\\ 6 & 6\end{pmatrix}$, deci

$\det(A(2)) = 0\cdot 6 - (-3)\cdot 6 = 0 + 18 = 18.$

Barem: 3p scrierea determinantului, 2p calculul.

b) Arătați că $B = 4I_2 - A(1)$ este inversa matricei $A(1)$.

$A(1) = \begin{pmatrix}-1 & -2\\ 3 & 5\end{pmatrix}$, deci $B = \begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 & -2\\ 3 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 2\\ -3 & -1\end{pmatrix}$.

Verificăm ambele produse:

$A(1)\cdot B = \begin{pmatrix}-5 + 6 & -2 + 2\\ 15 - 15 & 6 - 5\end{pmatrix} = I_2, \qquad B\cdot A(1) = \begin{pmatrix}-5 + 6 & -10 + 10\\ 3 - 3 & 6 - 5\end{pmatrix} = I_2.$

Cum $A(1)\cdot B = B\cdot A(1) = I_2$, $B = A(1)^{-1}$. $\blacksquare$

Barem: 2p matricele $A(1)$ și $B$, 3p verificarea produselor.

c) Determinați $X \in \mathcal M_2(\mathbb R)$ pentru care $12X - 3A(1)\cdot X = A(5)$.

Dăm factor comun $X$ la dreapta (atenție: $12X = 12I_2\cdot X$, nu putem scrie „$12 - 3A(1)$”):

$3\big(4I_2 - A(1)\big)X = A(5) \iff 3B\cdot X = A(5).$

Din b), $B^{-1} = A(1)$. Înmulțim la stânga cu $\tfrac13 A(1)$:

$X = \frac13 A(1)\cdot A(5), \qquad A(5) = \begin{pmatrix}3 & -6\\ 15 & 9\end{pmatrix}.$

$A(1)\cdot A(5) = \begin{pmatrix}-1 & -2\\ 3 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -6\\ 15 & 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 - 30 & 6 - 18\\ 9 + 75 & -18 + 45\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-33 & -12\\ 84 & 27\end{pmatrix}.$

Răspuns: $X = \begin{pmatrix}-11 & -4\\ 28 & 9\end{pmatrix}$. Barem: 2p rescrierea ecuației și $A(5)$, 3p determinarea lui $X$.

2. Polinomul $f = X^3 + 2X^2 + mX + 4$

a) Pentru $m = 2$, arătați că $f(-2) = 0$.

$f(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + 2(-2) + 4 = -8 + 8 - 4 + 4 = 0.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.

b) Pentru $m = 1$, restul împărțirii lui $f$ la $g = X + 1$.

Teorema restului: restul împărțirii la $X - a$ este $f(a)$; aici $a = -1$.

$f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 + 2 - 1 + 4 = 4.$

Răspuns: restul este $4$. Barem: 3p calculul lui $f(-1)$, 2p concluzia.

c) Rădăcinile lui $f$, știind că produsul a două dintre ele este 1.

Fie $x_1x_2 = 1$. Relațiile lui Viète: $x_1 + x_2 + x_3 = -2$, $x_1x_2x_3 = -4$.

Din $x_1x_2x_3 = -4$ și $x_1x_2 = 1$ rezultă $x_3 = -4$. Atunci $x_1 + x_2 = -2 - (-4) = 2$.

$x_1$, $x_2$ au suma 2 și produsul 1, deci sunt rădăcinile ecuației $t^2 - 2t + 1 = 0$, adică $(t - 1)^2 = 0$: $x_1 = x_2 = 1$.

Verificare: din a treia relație Viète, $m = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 1 - 4 - 4 = -7$, iar $X^3 + 2X^2 - 7X + 4 = (X - 1)^2(X + 4)$ ✔.

Răspuns: rădăcinile sunt $1, 1, -4$. Barem: 2p $x_3 = -4$, 3p $x_1 = x_2 = 1$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(-1, +\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x + 1}$

a) Arătați că $f'(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{(x + 1)^2}$.

Regula câtului:

$f'(x) = \frac{(2x + 3)(x + 1) - (x^2 + 3x + 1)\cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 5x + 3 - x^2 - 3x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 2}{(x + 1)^2}.$

Barem: 3p derivarea, 2p forma finală.

b) Ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă $x = 0$.

$f(0) = \dfrac{1}{1} = 1$ și $f'(0) = \dfrac{2}{1} = 2$. Ecuația tangentei: $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, adică

$y = 2x + 1.$

Răspuns: $y = 2x + 1$. Barem: 2p valorile $f(0)$, $f'(0)$, 3p ecuația tangentei.

c) Demonstrați că $f$ este concavă.

Un mod comod de a deriva: $x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1$, deci $f'(x) = 1 + \dfrac{1}{(x + 1)^2} = 1 + (x+1)^{-2}$. Atunci

$f''(x) = -2(x + 1)^{-3} = -\frac{2}{(x + 1)^3}.$

Pe $(-1, +\infty)$ avem $x + 1 > 0$, deci $(x + 1)^3 > 0$ și $f''(x) < 0$. O funcție cu derivata a doua negativă pe un interval este concavă pe acel interval. $\blacksquare$

Barem: 3p calculul lui $f''$, 2p semnul și concluzia.

2. $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x) = 3x^2 + 4 + e^x$

a) Arătați că $\displaystyle\int_0^1\left(f(x) - 3x^2\right)dx = e + 3$.

$f(x) - 3x^2 = 4 + e^x$:

$\int_0^1 (4 + e^x)\,dx = \left(4x + e^x\right)\Big|_0^1 = (4 + e) - (0 + 1) = e + 3.$

Greșeală frecventă: uitarea termenului $e^0 = 1$ la limita inferioară. Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) Arătați că $\displaystyle\int_0^2\frac{x}{f(x) - e^x}dx = \frac{\ln 2}{3}$.

$f(x) - e^x = 3x^2 + 4$, iar $(3x^2 + 4)' = 6x$, deci $x = \tfrac16(3x^2 + 4)'$:

$\int_0^2\frac{x}{3x^2 + 4}dx = \frac16\ln(3x^2 + 4)\Big|_0^2 = \frac{\ln 16 - \ln 4}{6} = \frac{\ln 4}{6} = \frac{2\ln 2}{6} = \frac{\ln 2}{3}.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

c) $G$ primitivă a lui $g(x) = f(x^2) - 3x^4$; știind $\displaystyle\int_0^1 G(x)\,dx = \frac{1 - e}{2}$, arătați că $G(1) = 2$.

Mai întâi simplificăm $g$: $f(x^2) = 3x^4 + 4 + e^{x^2}$, deci $g(x) = 4 + e^{x^2}$.

Nu cunoaștem explicit $G$ (nu există primitivă elementară a lui $e^{x^2}$), așa că integrăm prin părți, scriind $G(x) = x'\cdot G(x)$ și folosind $G' = g$:

$\int_0^1 G(x)\,dx = xG(x)\Big|_0^1 - \int_0^1 x\,g(x)\,dx = G(1) - \int_0^1\left(4x + xe^{x^2}\right)dx.$

Acum $x e^{x^2} = \tfrac12\left(e^{x^2}\right)'$, deci:

$\int_0^1\left(4x + xe^{x^2}\right)dx = \left(2x^2 + \frac12 e^{x^2}\right)\Big|_0^1 = 2 + \frac e2 - \frac12 = \frac{e + 3}{2}.$

Deci $\displaystyle\int_0^1 G(x)\,dx = G(1) - \frac{e + 3}{2}$. Din ipoteză:

$G(1) - \frac{e + 3}{2} = \frac{1 - e}{2} \Rightarrow G(1) = \frac{1 - e + e + 3}{2} = 2. \ \blacksquare$

Barem: 3p integrarea prin părți, 2p calculul și concluzia.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$10$
I.2	abscisele $0$ și $4$
I.3	$x = 1$
I.4	15 numere
I.5	$OC = 3$
I.6	$AD = \sqrt3$
II.1.c	$X = \begin{pmatrix}-11 & -4\\ 28 & 9\end{pmatrix}$
II.2.b	restul $4$
II.2.c	rădăcinile $1, 1, -4$
III.1.b	$y = 2x + 1$
III.2.b	$\tfrac{\ln 2}{3}$
III.2.c	$G(1) = 2$

Ce merită reținut din varianta 5

• Ecuații matriceale: dă factor comun corect, $aX - BX = (aI_2 - B)X$, și folosește inversa calculată anterior.
• Rădăcini cu o condiție suplimentară: combină condiția cu relațiile lui Viète pentru a afla întâi o rădăcină.
• Concavitate: semnul lui $f''$ pe domeniu; rescrierea lui $f'$ ca $1 + (x+1)^{-2}$ scurtează calculul.
• Primitivă necunoscută explicit: integrarea prin părți cu $x'$ transformă $\int G$ în $\int xg$, care se calculează.