Rezolvare Evaluarea Națională 2022 Matematică — Examen iunie, varianta 2

Rezolvarea completă a subiectului de Matematică de la Evaluarea Națională 2022 (examenul din 16 iunie 2022, varianta 2, clasa a VIII-a). Pentru fiecare exercițiu găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul și punctajul din baremul oficial. Timp de lucru: două ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. La Subiectul I și al II-lea se punctează doar litera încercuită (5p sau 0p). La Subiectul al III-lea orice soluție corectă primește punctajul întreg.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Rezultatul calculului $10 + 10 : 10$

Întâi împărțirea: $10 : 10 = 1$, apoi $10 + 1 = 11$.

Răspuns: d) 11. Varianta a) 2 apare dacă aduni întâi: $(10 + 10) : 10$.

2. Dacă $b \ne 0$ și $\dfrac{a}{2} = \dfrac{10}{b}$, cât este $a\cdot b$?

Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $a\cdot b = 2\cdot 10 = 20$.

Răspuns: d) 20.

3. Opusul numărului 5

Opusul unui număr are același modul și semn schimbat: opusul lui 5 este $-5$.

Răspuns: a) $-5$. Varianta c) $\dfrac15$ este inversul lui 5.

4. Numărul $1{,}3$ scris ca fracție ordinară

O zecimală după virgulă înseamnă numitorul 10: $1{,}3 = \dfrac{13}{10}$.

Răspuns: b) $\dfrac{13}{10}$. Varianta c) $\dfrac43$ ar fi $1{,}(3)$, cu perioadă — aici numărul nu are perioadă.

5. Produsul numerelor $x = 2\sqrt2$ și $y = \dfrac{1}{2\sqrt2}$

$x\cdot y = 2\sqrt2\cdot\frac{1}{2\sqrt2} = 1.$

Numerele sunt inverse unul altuia, deci produsul lor este 1, rezultatul lui Radu.

Răspuns: c) Radu.

6. Andrei are 28 de ani, Cătălina are 13 ani. „Peste doi ani voi avea dublul vârstei Cătălinei”

Peste doi ani: Andrei are 30 de ani, Cătălina 15 ani, iar $30 = 2\cdot 15$.

Răspuns: a) adevărată.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $AB = 10$ cm, $A$ mijlocul lui $CB$, $B$ mijlocul lui $CD$. Lungimea lui $CD$

$A$ mijlocul lui $CB$: $CB = 2\cdot AB = 20$ cm. $B$ mijlocul lui $CD$: $CD = 2\cdot CB = 40$ cm.

Răspuns: d) 40 cm.

2. Unghiurile opuse la vârf $AOC$ și $BOD$, $\sphericalangle AOC = 60^\circ$

Unghiurile opuse la vârf sunt congruente: $\sphericalangle BOD = 60^\circ$.

Răspuns: b) $60^\circ$.

3. Rombul $ABCD$ cu $AB = BD = 12$ cm; $M$ mijlocul lui $CD$, $BM \cap AC = \{G\}$. Lungimea lui $AG$

• $AB = AD = BD$, deci triunghiurile $ABD$ și $BCD$ sunt echilaterale cu latura 12 cm. Fie $O$ centrul rombului: $AO = CO = \dfrac{12\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ cm (înălțimi în triunghiuri echilaterale).
• În triunghiul $BCD$, $BM$ și $CO$ sunt mediane, deci $G$ este centrul de greutate: $CG = \dfrac23 CO = 4\sqrt3$ cm.

$AG = AC - CG = 12\sqrt3 - 4\sqrt3 = 8\sqrt3\ \text{cm}.$

Răspuns: d) $8\sqrt3$ cm.

4. Trapezul $ABCD$ cu $\sphericalangle BAD = 90^\circ$, $AD = DC = 5$ cm, $AB = 10$ cm. Măsura unghiului $ABC$

Ducem $CE \perp AB$, $E \in AB$. $AECD$ este pătrat, deci $CE = 5$ cm și $EB = 10 - 5 = 5$ cm. Triunghiul $CEB$ este dreptunghic isoscel, deci $\sphericalangle ABC = 45^\circ$.

Răspuns: b) $45^\circ$.

5. Cerc cu diametrul $BC = 10$ cm, arcul mic $AC$ de $120^\circ$. Lungimea lui $AB$

• Unghiul înscris $ABC$ cuprinde arcul $AC$: $\sphericalangle ABC = 60^\circ$.
• $BC$ este diametru, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ și $\sphericalangle ACB = 30^\circ$.
• Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză: $AB = \dfrac{BC}{2} = 5$ cm.

Răspuns: a) 5 cm.

6. Paralelipipedul dreptunghic cu $AB = 4$ cm, $BC = 3$ cm, $AE = 12$ cm. Diagonala $AG$

$AG = \sqrt{AB^2 + BC^2 + AE^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm}.$

Răspuns: b) 13 cm.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Ana, Maria și Vlad au împreună 396 de timbre

Ana are cu 25 de timbre mai multe decât Maria și cu 16 mai puține decât Vlad.

a) Poate avea Ana 132 de timbre? Atunci Maria ar avea $132 - 25 = 107$, iar Vlad $132 + 16 = 148$. Suma: $132 + 107 + 148 = 387 \ne 396$. Nu este posibil. Barem: 1p + 1p.

b) Numărul de timbre ale lui Vlad. Notăm cu $x$ timbrele lui Vlad. Ana are $x - 16$, iar Maria $x - 16 - 25 = x - 41$:

$x + (x - 16) + (x - 41) = 396 \iff 3x = 453 \iff x = 151.$

Răspuns: Vlad are 151 de timbre (Ana 135, Maria 110; verificare: $151 + 135 + 110 = 396$). Barem: 1p notațiile, 1p ecuația, 1p rezultatul.

2. $E(x) = (x+1)^2 + 2(x-1)^2 - 3\left(x^2 - 1\right)$

a) Folosim formulele $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$E(x) = x^2 + 2x + 1 + 2\left(x^2 - 2x + 1\right) - 3x^2 + 3 = x^2 + 2x + 1 + 2x^2 - 4x + 2 - 3x^2 + 3 = 6 - 2x.$

Barem: 1p dezvoltarea pătratelor, 1p reducerea termenilor.

b) $E(x) < x \iff 6 - 2x < x \iff 6 < 3x \iff x > 2$.

Răspuns: $x \in (2, +\infty)$. Barem: 1p inecuația, 1p $3x > 6$, 1p intervalul.

3. Funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x) = x - 1$

a) $f(0) = -1$ și $f(1) = 0$, deci $f(0) + f(1) = -1$. Barem: 1p + 1p.

b) $A(1, 0)$ și $B(0, -1)$. Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu $OA = OB = 1$:

$\mathcal A_{AOB} = \frac{OA\cdot OB}{2} = \frac12.$

$C$ este mijlocul lui $AB$, deci $OC$ este mediană și împarte triunghiul $AOB$ în două triunghiuri cu arii egale:

$\mathcal A_{OBC} = \frac{\mathcal A_{AOB}}{2} = \frac14.$

Barem: 1p punctele, 1p aria lui $AOB$, 1p aria lui $OBC$.

4. $AB = 4$ cm, $AC = 8$ cm, $AD = 10$ cm, $AE = 20$ cm; $\sphericalangle BAC = \sphericalangle DAE$, $\sphericalangle CAD = 30^\circ$

a) Aria triunghiului $CAD$. Înălțimea din $C$ pe $AD$ se opune unghiului de $30^\circ$ într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $AC$: $d(C, AD) = \dfrac{AC}{2} = 4$ cm.

$\mathcal A_{CAD} = \frac{AD\cdot d(C, AD)}{2} = \frac{10\cdot 4}{2} = 20\ \text{cm}^2.$

Barem: 1p înălțimea, 1p aria.

b) $CE = 2\cdot BD$. $\sphericalangle BAD = \sphericalangle BAC + \sphericalangle CAD$ și $\sphericalangle CAE = \sphericalangle CAD + \sphericalangle DAE$; cum $\sphericalangle BAC = \sphericalangle DAE$, rezultă $\sphericalangle BAD = \sphericalangle CAE$.

În plus, $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac48 = \dfrac12$ și $\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{10}{20} = \dfrac12$. Deci $\triangle BAD \sim \triangle CAE$ (L.U.L.), cu raportul $\dfrac12$:

$\frac{BD}{CE} = \frac12 \ \Rightarrow\ CE = 2\cdot BD.$

Barem: 1p unghiurile egale, 1p asemănarea, 1p concluzia.

5. Trapezul dreptunghic $ABCD$, $AB \parallel CD$, $\sphericalangle ABC = 45^\circ$, $AD = CD = 10$ cm; $DR \parallel BC$, $R \in AB$; $AD \cap BC = \{T\}$, $TR \cap AC = \{O\}$

a) $R$ este mijlocul lui $AB$. $CD \parallel BR$ și $DR \parallel CB$, deci $BCDR$ este paralelogram: $BR = CD = 10$ cm. Unghiurile $ARD$ și $ABC$ sunt corespondente, deci $\sphericalangle ARD = 45^\circ$; triunghiul $ADR$ este dreptunghic isoscel și $AR = AD = 10$ cm. Cum $AR = RB$, punctul $R$ este mijlocul lui $AB$. Barem: 1p paralelogramul, 1p concluzia.

b) Lungimea lui $TO$. $AB = 20$ cm, iar $CD \parallel AB$ și $CD = \dfrac{AB}{2}$, deci $CD$ este linie mijlocie în triunghiul $TAB$: $D$ este mijlocul lui $TA$ și $C$ este mijlocul lui $TB$. Atunci $TA = 20$ cm.

În triunghiul $TAR$, dreptunghic în $A$:

$TR = \sqrt{TA^2 + AR^2} = \sqrt{400 + 100} = 10\sqrt5\ \text{cm}.$

$TR$ și $AC$ sunt mediane în triunghiul $TAB$, deci $O$ este centrul de greutate:

$TO = \frac23\cdot TR = \frac{20\sqrt5}{3}\ \text{cm}.$

Barem: 1p linia mijlocie, 1p $TR$, 1p $TO$.

6. Prisma dreaptă $ABCDEF$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB = AD = 10$ cm; $M$ mijlocul lui $AB$

a) Volumul. $\mathcal A_{ABC} = \dfrac{10^2\sqrt3}{4} = 25\sqrt3$ cm², iar înălțimea prismei este $AD = 10$ cm:

$V = 25\sqrt3\cdot 10 = 250\sqrt3\ \text{cm}^3.$

Barem: 1p aria bazei, 1p volumul.

b) Distanța de la $B$ la planul $(EMC)$ este $2\sqrt5$ cm.

Pasul 1. $CM \perp AB$ (mediană în triunghiul echilateral) și $CM \perp AD$ (muchia laterală este perpendiculară pe bază), deci $CM \perp (ABD)$, planul feței $ABED$.

Pasul 2. Ducem $BP \perp EM$, $P \in EM$. $BP$ este în planul $(ABD)$, deci $BP \perp CM$. Fiind perpendiculară pe dreptele concurente $EM$ și $CM$, avem $BP \perp (EMC)$: distanța căutată este $BP$.

Pasul 3. Triunghiul $MBE$ este dreptunghic în $B$: $MB = 5$ cm, $BE = 10$ cm, $EM = \sqrt{25 + 100} = 5\sqrt5$ cm. $BP$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei:

$BP = \frac{MB\cdot BE}{EM} = \frac{5\cdot 10}{5\sqrt5} = \frac{10}{\sqrt5} = 2\sqrt5\ \text{cm}.$

Barem: 1p construcția, 1p $BP \perp (EMC)$, 1p calculul.

Cum a fost subiectul din 2022

Itemul cel mai greu de la grile a fost II.3 (centrul de greutate în romb), iar la Subiectul al III-lea problemele 5 b) și 6 b). Continuă cu subiectul din 2023.