Rezolvare Evaluarea Națională 2027 Matematică — Model oficial

Rezolvarea completă a modelului oficial de Matematică pentru Evaluarea Națională 2027 (clasa a VIII-a, anul școlar 2026–2027). Pentru fiecare exercițiu găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul și punctajul din baremul oficial. Timp de lucru la examen: două ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. La Subiectul I și al II-lea se punctează doar litera încercuită (5p sau 0p). La Subiectul al III-lea orice soluție corectă primește punctajul întreg.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Rezultatul calculului $16 + 6 \cdot 2$

Înmulțirea se face înaintea adunării: $6 \cdot 2 = 12$, apoi $16 + 12 = 28$.

Răspuns: B (28). Capcana este varianta A: $(16 + 6)\cdot 2 = 44$, adică ordinea greșită a operațiilor.

2. 6 kg de mere costă 18 lei. Cât costă 2 kg?

Un kilogram costă $18 : 6 = 3$ lei, deci 2 kg costă $2 \cdot 3 = 6$ lei.

Răspuns: C (6 lei). Mai rapid: 2 kg este o treime din 6 kg, deci prețul este o treime din 18 lei.

3. Soluția ecuației $2 - x = 8$

$2 - x = 8 \iff -x = 8 - 2 \iff -x = 6 \iff x = -6.$

Verificare: $2 - (-6) = 2 + 6 = 8$.

Răspuns: B ($-6$).

4. Cel mai mare element al mulțimii $A = \{3{,}51;\ 3{,}5(1);\ 3{,}(51);\ 3{,}511\}$

Scriem primele zecimale ale fiecărui număr:

Număr	Scriere zecimală
$3{,}51$	$3{,}5100\ldots$
$3{,}5(1)$	$3{,}5111\ldots$
$3{,}(51)$	$3{,}5151\ldots$
$3{,}511$	$3{,}5110\ldots$

Primele două zecimale coincid (5 și 1). La a treia zecimală, $3{,}(51)$ are 5, iar celelalte au 0 sau 1.

Răspuns: C ($3{,}(51)$).

5. Media geometrică a numerelor $a = 10\sqrt5$ și $b = \dfrac{10}{\sqrt5}$

Raționalizăm: $b = \dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$. Atunci

$m_g = \sqrt{a\cdot b} = \sqrt{10\sqrt5 \cdot 2\sqrt5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10.$

Rezultatul 10 este cel obținut de Andrei.

Răspuns: C (Andrei).

6. Diagrama cu numărul de cărți vândute

Din diagramă: în februarie s-au vândut 2000 de cărți, iar în martie 500. Un sfert din 2000 este $2000 : 4 = 500$, exact numărul din martie.

Răspuns: A (adevărată).

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Simetricul punctului $M$ față de $P$

Punctele $M, N, P, Q, R$ sunt coliniare, la distanțe egale. Simetricul lui $M$ față de $P$ este punctul $X$ pentru care $P$ este mijlocul segmentului $MX$. Cum $MP = MN + NP$ și $PR = PQ + QR$, avem $MP = PR$, deci $X = R$.

Răspuns: D ($R$).

2. $AB \parallel CD$, $DA \perp AC$, $\sphericalangle ADC = 35^\circ$. Măsura unghiului $CAB$

• $DA \perp AC$, deci $\sphericalangle CAD = 90^\circ$.
• $AB \parallel CD$ cu secanta $AD$, iar $B$ și $C$ sunt de o parte și de alta a dreptei $AD$: unghiurile $DAB$ și $ADC$ sunt alterne interne, deci $\sphericalangle DAB = 35^\circ$.
• $\sphericalangle CAB = \sphericalangle CAD + \sphericalangle DAB = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ$.

Răspuns: C ($125^\circ$).

3. Triunghi isoscel cu $AB = AC$, $BC = 12$ cm și perimetrul 32 cm

$AB + AC + BC = 32 \iff 2\cdot AB + 12 = 32 \iff AB = 10\ \text{cm}.$

Răspuns: B (10 cm).

4. Aria paralelogramului cu $AB = 20$ cm, $AD = 10$ cm, $\sphericalangle BAD = 45^\circ$

Ducem înălțimea $DE \perp AB$. În triunghiul dreptunghic $ADE$: $DE = AD\cdot\sin 45^\circ = 10\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = 5\sqrt2$ cm.

$\mathcal A_{ABCD} = AB\cdot DE = 20\cdot 5\sqrt2 = 100\sqrt2\ \text{cm}^2.$

Răspuns: C ($100\sqrt2$ cm²).

5. Arcele mici $AB$, $BC$, $AC$ au măsuri egale. Măsura unghiului $ABC$

Cele trei arce acoperă tot cercul, deci fiecare are $360^\circ : 3 = 120^\circ$. Unghiul $ABC$ este înscris în cerc și cuprinde între laturi arcul $AC$, deci

$\sphericalangle ABC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ.$

Răspuns: B ($60^\circ$). (Triunghiul $ABC$ este echilateral.)

6. Cubul $ABCDA'B'C'D'$: unghiul dreptelor $AC$ și $DD'$

Muchia $DD'$ este perpendiculară pe planul bazei $(ABC)$, deci este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan, în particular pe $AC$.

Răspuns: A ($90^\circ$).

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Pixurile din cutie

Împărțite la 5 copii rămân 4 pixuri; împărțite la 6 copii rămân 5 pixuri.

a) Pot fi exact 26 de pixuri? $26 = 5\cdot 5 + 1$, deci la împărțirea la 5 copii ar rămâne 1 pix, nu 4. Nu este posibil. Barem: 1p restul, 1p concluzia.

b) Numărul de pixuri, cuprins între 80 și 100. Notăm cu $x$ numărul de pixuri:

$x = 5a + 4 \quad\text{și}\quad x = 6b + 5.$

Adunăm 1 în ambele relații: $x + 1 = 5(a+1)$ și $x + 1 = 6(b+1)$. Deci $x + 1$ este multiplu comun al lui 5 și 6, adică multiplu de $[5, 6] = 30$.

Din $80 < x < 100$ rezultă $81 < x + 1 < 101$; singurul multiplu de 30 din acest interval este 90, deci $x = 89$.

Verificare: $89 = 5\cdot17 + 4$ și $89 = 6\cdot 14 + 5$.

Răspuns: 89 de pixuri. Barem: 1p scrierea relațiilor, 1p multiplu comun, 1p rezultatul.

Reține: când restul este cu 1 mai mic decât împărțitorul în ambele împărțiri, adună 1 și caută multiplii comuni.

2. $E(x) = \left(\dfrac{x}{x^3 - x} - \dfrac{1}{x-1}\right)\cdot\dfrac{x^2 + 2x + 1}{x}$, $x \ne -1$, $x \ne 0$, $x \ne 1$

a) Descompunem numitorul: $x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$ și simplificăm prima fracție cu $x$:

$\frac{x}{x^3 - x} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1 - x - 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{-x}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{(1-x)(x+1)}.$

Barem: 1p aducerea la același numitor, 1p finalizarea.

b) Cum $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$,

$E(x) = \frac{x}{(1-x)(x+1)}\cdot\frac{(x+1)^2}{x} = \frac{x+1}{1-x}.$

Calculăm: $E(2) = \dfrac{3}{-1}$, $E(3) = \dfrac{4}{-2}$, $E(4) = \dfrac{5}{-3}$, $E(5) = \dfrac{6}{-4}$. Sunt patru factori negativi, deci produsul este pozitiv:

$A = \frac{3\cdot4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3\cdot4} = \frac{5\cdot 6}{1\cdot 2} = 15 \in \mathbb N.$

Barem: 1p forma simplificată a lui $E(x)$, 1p produsul, 1p rezultatul.

3. Funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x) = x - 2$

a) $f(0) = 0 - 2 = -2$ și $f(2) = 2 - 2 = 0$, deci $f(0) + f(2) = -2$. Barem: 1p + 1p.

b) Intersecția cu $Ox$: $f(x) = 0 \Rightarrow x = 2$, deci $A(2, 0)$. Intersecția cu $Oy$: $f(0) = -2$, deci $B(0, -2)$.

Punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare, deci $C(2a,\ a-3)$ se află pe graficul lui $f$:

$f(2a) = a - 3 \iff 2a - 2 = a - 3 \iff a = -1,\quad\text{deci } C(-2, -4).$

Ariile:

• $\mathcal A_{\triangle AOB} = \dfrac{OA\cdot OB}{2} = \dfrac{2\cdot 2}{2} = 2$;
• în triunghiul $AOC$, baza $OA = 2$ este pe axa $Ox$, iar înălțimea este distanța de la $C$ la $Ox$, adică $|-4| = 4$: $\mathcal A_{\triangle AOC} = \dfrac{2\cdot 4}{2} = 4$.

Deci $\mathcal A_{\triangle AOC} = 4 = 2\cdot\mathcal A_{\triangle AOB}$. Barem: 1p coordonatele lui $A$ și $B$, 1p punctul $C$, 1p ariile.

4. Dreptunghiul $ABCD$, $AB = 9$ cm, $BC = 6$ cm; $M$, $N$, $P$ mijloacele laturilor $CD$, $BC$, $AD$; $AM \cap CP = \{G\}$

a) $G \in BD$. În triunghiul $ADC$, $AM$ și $CP$ sunt mediane ($M$ este mijlocul lui $CD$, $P$ este mijlocul lui $AD$), deci $G$ este centrul de greutate al triunghiului. A treia mediană este $DO$, unde $O$ este mijlocul lui $AC$. Diagonalele dreptunghiului se înjumătățesc, deci $O \in BD$. Cum $G \in DO$, rezultă $G \in BD$. Barem: 1p centrul de greutate, 1p coliniaritatea.

b) $GN = \sqrt{37}$ cm. Centrul de greutate împarte mediana în raportul $2:1$ de la vârf: $DG = \dfrac23 DO = \dfrac23\cdot\dfrac{BD}{2} = \dfrac{BD}{3}$, deci $\dfrac{BG}{BD} = \dfrac23$.

Ducem $GQ \perp BC$, $Q \in BC$. Atunci $GQ \parallel DC$ și $\triangle BGQ \sim \triangle BDC$:

$\frac{BQ}{BC} = \frac{GQ}{DC} = \frac{BG}{BD} = \frac23 \ \Rightarrow\ GQ = \frac23\cdot 9 = 6\ \text{cm},\quad BQ = \frac23\cdot 6 = 4\ \text{cm}.$

$N$ este mijlocul lui $BC$, deci $BN = 3$ cm și $NQ = BQ - BN = 1$ cm. În triunghiul dreptunghic $GQN$:

$GN = \sqrt{GQ^2 + QN^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}\ \text{cm}.$

Barem: 1p asemănarea, 1p $GQ$, $BQ$, $NQ$, 1p teorema lui Pitagora.

5. Trapezul $ABCD$, $AB \parallel CD$, $CD = 4$ cm, $AD = 6$ cm; $M \in AB$, $DM \perp AD$, $AM = 12$ cm

a) Măsura unghiului $DAB$. Triunghiul $DAM$ este dreptunghic în $D$:

$\cos(\sphericalangle DAM) = \frac{AD}{AM} = \frac{6}{12} = \frac12 \ \Rightarrow\ \sphericalangle DAB = 60^\circ.$

Barem: 1p cosinusul, 1p măsura.

b) Lungimea lui $BM$. Ducem înălțimea $DN \perp AB$, $N \in AB$. În triunghiul dreptunghic $AND$:

$DN = AD\cdot\sin 60^\circ = 6\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3\ \text{cm}.$

Din formula ariei trapezului:

$\frac{(AB + CD)\cdot DN}{2} = \frac{57\sqrt3}{2} \iff (AB + 4)\cdot 3\sqrt3 = 57\sqrt3 \iff AB + 4 = 19 \iff AB = 15\ \text{cm}.$

Deci $BM = AB - AM = 15 - 12 = 3$ cm. Barem: 1p înălțimea, 1p $AB$, 1p $BM$.

6. Rombul $ABCD$, $AB = 12$ cm, $\sphericalangle ADC = 60^\circ$; $VO \perp (ABC)$, $VO = 6$ cm; $\dfrac{VM}{VA} = \dfrac23$, $DN = 4$ cm, $PO = \dfrac{VP}{2}$

a) $OD = 6\sqrt3$ cm. În romb $AD = DC = 12$ cm și $\sphericalangle ADC = 60^\circ$, deci triunghiul $ADC$ este echilateral. $O$ este mijlocul lui $AC$, deci $DO$ este înălțime în triunghiul echilateral:

$DO = \frac{12\sqrt3}{2} = 6\sqrt3\ \text{cm}.$

Barem: 1p triunghi echilateral, 1p înălțimea.

b) Distanța dintre planele $(MNP)$ și $(ABC)$.

Pasul 1 — $MN \parallel AD$. $VO \perp (ABC)$, deci triunghiul $VOD$ este dreptunghic în $O$: $VD = \sqrt{VO^2 + OD^2} = \sqrt{36 + 108} = 12$ cm. Atunci $VN = VD - DN = 8$ cm și $\dfrac{VN}{VD} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23 = \dfrac{VM}{VA}$. Din reciproca teoremei lui Thales în triunghiul $VAD$, $MN \parallel AD$.

Pasul 2 — $MP \parallel AO$. Din $PO = \dfrac{VP}{2}$ și $VP + PO = VO$ obținem $VP = \dfrac23 VO$, deci $\dfrac{VP}{VO} = \dfrac23 = \dfrac{VM}{VA}$ și, în triunghiul $VAO$, $MP \parallel AO$.

Pasul 3 — plane paralele. Dreptele concurente $MN$ și $MP$ din planul $(MNP)$ sunt paralele cu dreptele concurente $AD$ și $AO$ din planul $(ABC)$, deci $(MNP) \parallel (ABC)$.

Pasul 4 — distanța. $VO \perp (ABC)$ și planele sunt paralele, deci $VO \perp (MNP)$; $VO$ intersectează $(MNP)$ în $P$ și $(ABC)$ în $O$. Distanța dintre plane este

$PO = \frac{VO}{3} = 2\ \text{cm}.$

Barem: 1p $MN \parallel AD$, 1p planele paralele, 1p distanța.

Ce verifică modelul din 2027

Structura este aceeași ca în anii trecuți: calcul și proporții la Subiectul I, proprietăți directe de geometrie la Subiectul al II-lea, iar la Subiectul al III-lea o problemă de aritmetică, o expresie algebrică, o funcție și trei probleme de geometrie (două plane, una în spațiu). Dacă ai pierdut puncte la problema 4 sau 6, recapitulează centrul de greutate, teorema lui Thales și paralelismul planelor.