Rezolvare Evaluarea Națională 2023 Matematică — Examen iunie, varianta 1

Rezolvarea completă a subiectului de Matematică de la Evaluarea Națională 2023 (examenul din 21 iunie 2023, varianta 1, clasa a VIII-a). Pentru fiecare exercițiu găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul și punctajul din baremul oficial. Timp de lucru: două ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. La Subiectul I și al II-lea se punctează doar litera încercuită (5p sau 0p). La Subiectul al III-lea orice soluție corectă primește punctajul întreg.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Rezultatul calculului $15 - (3 + 4)$

Întâi paranteza: $3 + 4 = 7$, apoi $15 - 7 = 8$.

Răspuns: b) 8. Varianta c) 16 apare dacă ignori paranteza: $15 - 3 + 4$.

2. Știind că $\dfrac{x}{y} = \dfrac52$, $y \ne 0$, calculează $2x - 5y + 10$

Din proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: $2x = 5y$, deci $2x - 5y = 0$ și

$2x - 5y + 10 = 0 + 10 = 10.$

Răspuns: c) 10.

3. Produsul dintre numărul 3 și opusul numărului 3

Opusul lui 3 este $-3$, iar $3\cdot(-3) = -9$.

Răspuns: a) $-9$. Varianta c) 0 este suma dintre un număr și opusul său; varianta d) 1 este produsul dintre un număr și inversul său.

4. Numărul care reprezintă $\dfrac23$ din 12

$\frac23\cdot 12 = \frac{24}{3} = 8.$

Răspuns: c) 8.

5. Cel mai mare număr întreg din intervalul $(-2, 5)$

Intervalul este deschis, deci $-2$ și 5 nu îi aparțin. Numerele întregi din interval sunt $-1, 0, 1, 2, 3, 4$; cel mai mare este 4, răspunsul lui Vlad.

Răspuns: d) Vlad.

6. Diagrama cu notele la test

Coloana pentru nota 7 are înălțimea 8, deci nota 7 a fost obținută de 8 elevi, nu de 10.

Răspuns: b) falsă.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A, B, C, D$ coliniare, $AB = BC = CD$, $AC = 10$ cm. Lungimea lui $AD$

$AC = 2\cdot AB = 10$, deci $AB = 5$ cm și $AD = 3\cdot AB = 15$ cm.

Răspuns: c) 15 cm.

2. $A, O, B$ coliniare; $\sphericalangle MOA = 30^\circ$, $ON \perp AB$, cu $M$ și $N$ de aceeași parte a dreptei $AB$

$ON \perp AB$ înseamnă $\sphericalangle AON = 90^\circ$. Semidreapta $OM$ este în interiorul unghiului $AON$, deci

$\sphericalangle MON = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.$

Răspuns: c) $60^\circ$.

3. $\mathcal A_{ABC} = 15$ cm², $M \in BC$, $BC = 3\cdot BM$. Aria triunghiului $AMC$

$MC = BC - BM = \dfrac23 BC$. Triunghiurile $AMC$ și $ABC$ au aceeași înălțime din $A$, deci ariile sunt proporționale cu bazele:

$\mathcal A_{AMC} = \frac23\cdot 15 = 10\ \text{cm}^2.$

Răspuns: c) 10 cm².

4. Pătratul $ABCD$ cu perimetrul 40 cm. Lungimea diagonalei $AC$

Latura este $40 : 4 = 10$ cm, iar diagonala pătratului este $l\sqrt2 = 10\sqrt2$ cm.

Răspuns: b) $10\sqrt2$ cm.

5. Opt puncte pe cerc care determină opt arce mici congruente

Cele opt arce acoperă tot cercul: $360^\circ : 8 = 45^\circ$.

Răspuns: b) $45^\circ$.

6. Cubul cu $AB = 5$ cm. Lungimea segmentului $BD'$

$BD'$ este diagonala cubului: $d = l\sqrt3 = 5\sqrt3$ cm.

Răspuns: c) $5\sqrt3$ cm. (Varianta b) $5\sqrt2$ cm este diagonala unei fețe.)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Maria are 14 ani, iar tatăl ei are 40 de ani

a) Peste 2 ani poate fi suma vârstelor 60 de ani? Peste 2 ani Maria va avea 16 ani, iar tatăl 42 de ani: $16 + 42 = 58 \ne 60$. Nu este posibil. Barem: 1p + 1p.

b) Peste câți ani vârsta Mariei va fi jumătate din a tatălui? Notăm cu $x$ numărul de ani:

$14 + x = \frac{40 + x}{2} \iff 28 + 2x = 40 + x \iff x = 12.$

Verificare: peste 12 ani, Maria are 26 de ani și tatăl 52.

Răspuns: peste 12 ani. Barem: 1p ecuația, 1p calculul, 1p rezultatul.

2. $E(x) = \left(\dfrac{1}{(x+1)(x+2)} + \dfrac{1}{x+2}\right) : \dfrac{x+3}{5(x+1)}$, $x \ne -3$, $x \ne -2$, $x \ne -1$

a) Amplificăm a doua fracție cu $x + 1$:

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1}.$

Barem: 1p + 1p.

b) Împărțirea devine înmulțire cu fracția inversată:

$E(x) = \frac{1}{x+1}\cdot\frac{5(x+1)}{x+3} = \frac{5}{x+3}.$

Ecuația $E(x) = \dfrac{x-3}{8}$:

$\frac{5}{x+3} = \frac{x-3}{8} \iff (x-3)(x+3) = 40 \iff x^2 - 9 = 40 \iff x^2 = 49 \iff x = \pm 7.$

Ambele valori sunt diferite de $-3$, $-2$, $-1$, deci convin. Suma soluțiilor: $-7 + 7 = 0$. Barem: 1p $E(x)$, 1p $x^2 = 49$, 1p suma.

3. Funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x) = -x + 5$

a) $f(4) = -4 + 5 = 1$ și $f(6) = -6 + 5 = -1$, deci $f(4) + f(6) = 0$. Barem: 1p + 1p.

b) $A(5, 0)$ și $B(0, 5)$. În triunghiul dreptunghic $AOB$: $AB = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt2$.

Punctul $P(0, -3)$ este pe axa $Oy$, deci $PB = 5 + 3 = 8$. Aria triunghiului $PAB$, cu baza $PB$ și înălțimea $AO = 5$:

$\mathcal A_{PAB} = \frac{PB\cdot AO}{2} = \frac{8\cdot 5}{2} = 20.$

Aceeași arie cu baza $AB$ și înălțimea $d(P, AB)$:

$\frac{d(P, AB)\cdot 5\sqrt2}{2} = 20 \ \Rightarrow\ d(P, AB) = \frac{40}{5\sqrt2} = \frac{8}{\sqrt2} = 4\sqrt2.$

Barem: 1p punctele, 1p $AB$, 1p distanța.

Reține: distanța de la un punct la o dreaptă se calculează comod scriind aria aceluiași triunghi în două moduri.

4. Trapezul dreptunghic $ABCD$, $AB \parallel CD$, $BC = 10$ cm; $BD$ bisectoarea unghiului $ABC$, $\sphericalangle ABD = 15^\circ$

a) Măsura unghiului $BCD$. $BD$ este bisectoare, deci $\sphericalangle ABC = 2\cdot 15^\circ = 30^\circ$. Unghiurile alăturate laturii neparalele $BC$ sunt suplementare:

$\sphericalangle BCD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ.$

Barem: 1p + 1p.

b) $AB - AD < 14$ cm.

Pasul 1. $CD \parallel AB$ cu secanta $BD$: $\sphericalangle CDB = \sphericalangle ABD = 15^\circ = \sphericalangle CBD$. Triunghiul $BCD$ este isoscel, deci $CD = BC = 10$ cm.

Pasul 2. Ducem $CE \perp AB$, $E \in AB$. $AECD$ este dreptunghi: $AE = CD = 10$ cm și $AD = CE$.

Pasul 3. În triunghiul $CEB$, dreptunghic în $E$, cu $\sphericalangle CBE = 30^\circ$: $CE = \dfrac{BC}{2} = 5$ cm și $BE = 5\sqrt3$ cm.

Pasul 4. $AB - AD = (10 + 5\sqrt3) - 5 = 5 + 5\sqrt3$ cm. Comparăm cu 14:

$5 + 5\sqrt3 < 14 \iff 5\sqrt3 < 9 \iff 75 < 81,$

adevărat (am ridicat la pătrat două numere pozitive). Barem: 1p $CD = 10$ cm, 1p $AB - AD$, 1p comparația.

5. Dreptunghiul $ABCD$, $AB = 9\sqrt{10}$ cm, $AC = 30$ cm; $O$ centrul, $M$ mijlocul lui $CD$; $BC \cap AM = \{E\}$, $OE \cap CD = \{P\}$

a) Aria dreptunghiului. În triunghiul dreptunghic $ABC$:

$BC^2 = AC^2 - AB^2 = 900 - 810 = 90 \ \Rightarrow\ BC = 3\sqrt{10}\ \text{cm}.$

$\mathcal A_{ABCD} = 9\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10} = 270$ cm². Barem: 1p + 1p.

b) $SP = 10$ cm, unde $AM \cap BD = \{S\}$.

Pasul 1. $\triangle MCE \equiv \triangle MDA$ (U.L.U.: $MC = MD$, unghiurile din $C$ și $D$ sunt drepte, unghiurile din $M$ sunt opuse la vârf), deci $ME = MA$: $M$ este mijlocul lui $AE$.

Pasul 2. În triunghiul $ACE$, $CM$ și $EO$ sunt mediane ($O$ este mijlocul lui $AC$), deci $P$ este centrul de greutate: $\dfrac{MP}{MC} = \dfrac13$.

Pasul 3. În triunghiul $ACD$, $AM$ și $DO$ sunt mediane, deci $S$ este centrul de greutate: $\dfrac{MS}{MA} = \dfrac13$.

Pasul 4. $\dfrac{MP}{MC} = \dfrac{MS}{MA} = \dfrac13$ și unghiul din $M$ este comun, deci $\triangle SMP \sim \triangle AMC$ (L.U.L.):

$SP = \frac13\cdot AC = 10\ \text{cm}.$

Barem: 1p congruența, 1p centrele de greutate, 1p asemănarea.

6. Cubul $ABCDA'B'C'D'$ cu $AB = 10$ cm

a) Unghiul dreptelor $AB'$ și $BC'$ este de $60^\circ$. $AB' \parallel DC'$, deci unghiul căutat este cel dintre $DC'$ și $BC'$. Segmentele $BC'$, $DC'$ și $DB$ sunt diagonale ale unor fețe, deci triunghiul $BC'D$ este echilateral și $\sphericalangle BC'D = 60^\circ$. Barem: 1p + 1p.

b) Distanța de la $C$ la planul $(BDC')$. Fie $O$ intersecția dreptelor $AC$ și $BD$.

Pasul 1. $BD \perp AC$ și $BD \perp CC'$, deci $BD \perp (CC'O)$.

Pasul 2. Ducem $CP \perp C'O$, $P \in C'O$. Cum $CP \subset (CC'O)$, avem $CP \perp BD$, deci $CP \perp (BDC')$: distanța căutată este $CP$.

Pasul 3. În triunghiul $C'CO$, dreptunghic în $C$: $CO = \dfrac{10\sqrt2}{2} = 5\sqrt2$ cm, $CC' = 10$ cm, $C'O = \sqrt{50 + 100} = 5\sqrt6$ cm.

$CP = \frac{CO\cdot CC'}{C'O} = \frac{5\sqrt2\cdot 10}{5\sqrt6} = \frac{10}{\sqrt3} = \frac{10\sqrt3}{3}\ \text{cm}.$

Barem: 1p $BD \perp (CC'O)$, 1p $CP \perp (BDC')$, 1p calculul.

Cum a fost subiectul din 2023

Primele două subiecte au fost de nivel mediu, cu itemi direcți. La Subiectul al III-lea, partea de departajare a fost 4 b) (o inegalitate cu radicali), 5 b) (două centre de greutate și o asemănare) și 6 b) (distanța de la un punct la un plan). Continuă cu subiectul din 2024.