Rezolvare Evaluarea Națională 2025 Matematică — Examen iunie, varianta 7

Rezolvarea completă a subiectului de Matematică de la Evaluarea Națională 2025 (examenul din 25 iunie 2025, varianta 7, clasa a VIII-a). Pentru fiecare exercițiu găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul și punctajul din baremul oficial. Timp de lucru: două ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. La Subiectul I și al II-lea se punctează doar litera încercuită (5p sau 0p). La Subiectul al III-lea orice soluție corectă primește punctajul întreg.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Rezultatul calculului $4 + 12 : 2$

Împărțirea se face înaintea adunării: $12 : 2 = 6$, apoi $4 + 6 = 10$.

Răspuns: c) 10. Varianta b) 8 apare dacă aduni întâi: $(4 + 12) : 2$.

2. Știind că $\dfrac{a}{2} = \dfrac{2}{3}$, cât este $\dfrac{a}{4}$?

$\dfrac{a}{4}$ este jumătate din $\dfrac{a}{2}$:

$\frac{a}{4} = \frac12\cdot\frac{a}{2} = \frac12\cdot\frac23 = \frac13.$

Răspuns: a) $\dfrac13$. (Sau: $a = \dfrac43$, deci $\dfrac{a}{4} = \dfrac13$.)

3. Produsul numerelor $-2$ și $5$

$(-2)\cdot 5 = -10$: produsul a două numere cu semne diferite este negativ.

Răspuns: a) $-10$. Varianta c) 3 este suma numerelor, nu produsul.

4. Soluția ecuației $6x - 2 = 1$

$6x = 1 + 2 = 3 \iff x = \frac36 = \frac12.$

Răspuns: d) $\dfrac12$.

5. Suma numerelor $a = \sqrt{3^2 + 4^2}$ și $b = \sqrt{3^2\cdot 4^2}$

• $a = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$;
• $b = \sqrt{3^2}\cdot\sqrt{4^2} = 3\cdot 4 = 12$.

$a + b = 17$, rezultatul obținut de Ana.

Răspuns: a) Ana. Atenție: $\sqrt{3^2 + 4^2} \ne 3 + 4$. Radicalul se „împarte” doar la produs, nu la sumă.

6. Diagrama cu rezultatele de la concurs

Coloana pentru „80 de puncte” are înălțimea 4, deci 4 elevi au obținut exact 80 de puncte, nu 5.

Răspuns: b) falsă.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $B$ mijlocul lui $AC$, $D$ simetricul lui $B$ față de $C$, $AD = 12$ cm. Lungimea lui $AC$

$B$ mijlocul lui $AC$ înseamnă $AB = BC$. $D$ simetricul lui $B$ față de $C$ înseamnă $BC = CD$. Deci $AB = BC = CD$ și

$AD = 3\cdot AB = 12 \ \Rightarrow\ AB = 4\ \text{cm},\quad AC = 2\cdot AB = 8\ \text{cm}.$

Răspuns: d) 8 cm.

2. Unghiuri adiacente $AOB$ și $BOC$, $\sphericalangle BOC = 2\cdot\sphericalangle AOB$, $\sphericalangle AOC = 120^\circ$, $OM$ bisectoarea lui $BOC$

Notăm $\sphericalangle AOB = x$. Atunci $x + 2x = 120^\circ$, deci $x = 40^\circ$ și $\sphericalangle BOC = 80^\circ$.

$OM$ este bisectoare: $\sphericalangle BOM = 40^\circ$. Atunci

$\sphericalangle AOM = \sphericalangle AOB + \sphericalangle BOM = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ.$

Răspuns: d) $80^\circ$.

3. Triunghi isoscel $ABC$, $\sphericalangle BAC = 120^\circ$; $E \in BC$, $CE = 4$ cm, $AB \perp AE$. Lungimea lui $BC$

• Unghiurile de la bază: $\sphericalangle B = \sphericalangle C = \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.
• $\sphericalangle EAC = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ = \sphericalangle C$, deci triunghiul $AEC$ este isoscel: $AE = CE = 4$ cm.
• În triunghiul $BAE$, dreptunghic în $A$, cateta $AE$ se opune unghiului de $30^\circ$, deci $BE = 2\cdot AE = 8$ cm.

$BC = BE + EC = 8 + 4 = 12\ \text{cm}.$

Răspuns: b) 12 cm.

4. Dreptunghiul $ABCD$ cu $AB = 3\cdot BC$ și perimetrul 32 cm. Aria

$2(AB + BC) = 32 \iff 2\cdot 4\cdot BC = 32 \iff BC = 4\ \text{cm},\quad AB = 12\ \text{cm}.$

$\mathcal A = 12\cdot 4 = 48$ cm².

Răspuns: c) 48 cm².

5. Triunghi echilateral $ABC$ înscris în cerc, $D$ pe arcul mic $BC$. Măsura unghiului $BDC$

Vârfurile triunghiului echilateral împart cercul în trei arce de câte $120^\circ$. Unghiul înscris $BDC$ cuprinde între laturi arcul $BC$ care nu îl conține pe $D$, adică arcul mare $BAC$, de $240^\circ$:

$\sphericalangle BDC = \frac{240^\circ}{2} = 120^\circ.$

Răspuns: c) $120^\circ$. (Altfel: patrulaterul $ABDC$ este inscriptibil, deci $\sphericalangle BDC = 180^\circ - \sphericalangle BAC = 120^\circ$.)

6. Con circular drept cu secțiunea axială triunghiul echilateral $VAB$, $AB = 6$ cm. Aria laterală

$AB$ este diametrul bazei, deci $R = 3$ cm. Generatoarea este latura triunghiului echilateral: $G = VA = 6$ cm.

$\mathcal A_l = \pi R G = \pi\cdot 3\cdot 6 = 18\pi\ \text{cm}^2.$

Răspuns: a) $18\pi$ cm².

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Caiete, pixuri și creioane

Notăm cu $x$ prețul unui caiet. Un pix costă $\dfrac{75}{100}x = \dfrac34 x$.

a) Pot costa opt pixuri cât cinci caiete? Opt pixuri costă $8\cdot\dfrac34 x = 6x$, adică prețul a șase caiete. Cum $6x \ne 5x$ (prețul $x$ este nenul), nu este posibil. Barem: 1p prețul pixului, 1p concluzia.

b) Prețul unui caiet. Un creion costă $\dfrac{40}{100}\cdot\dfrac34 x = \dfrac{3}{10}x$. Ecuația:

$3x + 4\cdot\frac34 x + 5\cdot\frac{3}{10}x = 45 \iff 3x + 3x + 1{,}5x = 45 \iff 7{,}5x = 45 \iff x = 6.$

Răspuns: un caiet costă 6 lei (un pix 4,50 lei, un creion 1,80 lei; verificare: $18 + 18 + 9 = 45$). Barem: 1p prețul creionului, 1p ecuația, 1p rezultatul.

2. $E(x) = \left(\dfrac{2}{x-3} - \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x+3}\right) : \dfrac{1}{x^2 - 3x}$, $x \ne -3$, $x \ne 0$, $x \ne 3$

a) Numitorul comun este $x(x-3)(x+3)$:

$\frac{2}{x-3} - \frac{3}{x} + \frac{2}{x+3} = \frac{2x(x+3) - 3(x-3)(x+3) + 2x(x-3)}{x(x-3)(x+3)}.$

Numărătorul: $2x^2 + 6x - 3(x^2 - 9) + 2x^2 - 6x = 2x^2 + 6x - 3x^2 + 27 + 2x^2 - 6x = x^2 + 27$.

Deci suma este $\dfrac{x^2 + 27}{x(x-3)(x+3)}$. Barem: 1p numitorul comun, 1p calculul.

b) Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa ei, iar $x^2 - 3x = x(x-3)$:

$E(x) = \frac{x^2 + 27}{x(x-3)(x+3)}\cdot x(x-3) = \frac{x^2 + 27}{x + 3}.$

Comparăm cu 6 calculând diferența:

$E(n) - 6 = \frac{n^2 + 27 - 6(n+3)}{n+3} = \frac{n^2 - 6n + 9}{n+3} = \frac{(n-3)^2}{n+3}.$

Pentru $n$ natural, $n \ne 3$: $(n-3)^2 > 0$ și $n + 3 > 0$, deci $E(n) - 6 > 0$, adică $E(n) > 6$. Barem: 1p forma lui $E(x)$, 1p diferența, 1p concluzia.

Reține: ca să arăți că $E > 6$, calculează $E - 6$ și caută un pătrat perfect la numărător.

3. Funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x) = 2x - 4$

a) $f(2) = 4 - 4 = 0$ și $f(0) = -4$, deci $f(2) - f(0) = 0 - (-4) = 4$. Barem: 1p + 1p.

b) $A(2, 0)$ (din $2x - 4 = 0$) și $B(0, -4)$. Simetricul lui $A$ față de axa $Oy$ este $C(-2, 0)$.

• $AC = OA + OC = 2 + 2 = 4$;
• în triunghiul dreptunghic $AOB$: $AB = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5$;
• $BC = AB = 2\sqrt5$ (triunghiurile $AOB$ și $COB$ sunt congruente).

$P_{ABC} = 2\sqrt5 + 2\sqrt5 + 4 = 4\sqrt5 + 4 = 4\left(\sqrt5 + 1\right).$

Barem: 1p punctele $A$, $B$, 1p $AC$, 1p perimetrul.

4. Pătratul $ABCD$ cu perimetrul 48 cm și triunghiul echilateral $ACE$, cu $D$ și $E$ de aceeași parte a dreptei $AC$

a) Perimetrul triunghiului $ACE$. Latura pătratului: $AB = 48 : 4 = 12$ cm; diagonala: $AC = 12\sqrt2$ cm.

$P_{ACE} = 3\cdot AC = 36\sqrt2\ \text{cm}.$

Barem: 1p diagonala, 1p perimetrul.

b) Distanța de la $D$ la dreapta $AE$. Folosim arii.

• $\mathcal A_{ACE} = \dfrac{AC^2\sqrt3}{4} = \dfrac{288\sqrt3}{4} = 72\sqrt3$ cm²;
• $\mathcal A_{ACD} = \dfrac{12\cdot 12}{2} = 72$ cm²;
• triunghiurile $ADE$ și $CDE$ sunt congruente (L.L.L.: $AD = CD$, $AE = CE$, $DE$ comună), deci au arii egale. Punctul $D$ este în interiorul triunghiului $ACE$, așadar

$\mathcal A_{ADE} = \frac{\mathcal A_{ACE} - \mathcal A_{ACD}}{2} = \frac{72\sqrt3 - 72}{2} = 36\left(\sqrt3 - 1\right)\ \text{cm}^2.$

Fie $DM \perp AE$, $M \in AE$. Atunci $\mathcal A_{ADE} = \dfrac{AE\cdot DM}{2}$, cu $AE = 12\sqrt2$ cm:

$DM = \frac{2\cdot 36(\sqrt3 - 1)}{12\sqrt2} = \frac{6(\sqrt3 - 1)}{\sqrt2} = 3\sqrt2\left(\sqrt3 - 1\right)\ \text{cm}.$

Barem: 1p aria lui $ADE$, 1p distanța ca înălțime, 1p calculul.

5. Trapezul dreptunghic $ABCD$, $AB \parallel DC$, $\sphericalangle DAB = 90^\circ$, $AB = 8$ cm, $AD = DC = 4$ cm; $M$ mijlocul lui $DC$, $AM \cap BD = \{P\}$

a) $BC = 4\sqrt2$ cm. Ducem $CN \perp AB$, $N \in AB$. $ANCD$ este pătrat, deci $CN = 4$ cm, $AN = 4$ cm și $NB = 8 - 4 = 4$ cm. În triunghiul dreptunghic $CNB$:

$BC = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt2\ \text{cm}.$

Barem: 1p $CN$ și $NB$, 1p Pitagora.

b) Aria patrulaterului $MPBC$. Scădem din aria trapezului $ABCM$ aria triunghiului $APB$.

• $DM \parallel AB$, deci $\triangle DPM \sim \triangle BPA$, cu raportul $\dfrac{DM}{AB} = \dfrac{2}{8} = \dfrac14$.
• Înălțimile din $P$ în cele două triunghiuri sunt în același raport $1 : 4$, iar suma lor este înălțimea trapezului, 4 cm. Deci distanța de la $P$ la $AB$ este $\dfrac45\cdot 4 = \dfrac{16}{5}$ cm.
• $\mathcal A_{APB} = \dfrac{8\cdot\frac{16}{5}}{2} = \dfrac{64}{5} = 12{,}8$ cm².
• $ABCM$ este trapez cu bazele $AB = 8$ cm și $MC = 2$ cm și înălțimea 4 cm: $\mathcal A_{ABCM} = \dfrac{(8 + 2)\cdot 4}{2} = 20$ cm².

$\mathcal A_{MPBC} = 20 - 12{,}8 = 7{,}2\ \text{cm}^2.$

Barem: 1p asemănarea, 1p aria lui $APB$, 1p rezultatul.

6. Cubul $ABCDA'B'C'D'$, $AB = 8$ cm; $O$ centrul bazei $ABCD$, $E$ centrul feței $ABB'A'$, $F$ mijlocul lui $CC'$

a) Volumul. $V = AB^3 = 8^3 = 512$ cm³. Barem: 1p formula, 1p calculul.

b) $FO \perp DE$.

Pasul 1. În triunghiul $ACC'$, $O$ este mijlocul lui $AC$ și $F$ mijlocul lui $CC'$, deci $FO$ este linie mijlocie: $FO \parallel AC'$. Este suficient să arătăm că $AC' \perp DE$.

Pasul 2. Dreptele $AC'$ și $DE$ sunt în planul $(AB'C'D)$ (un dreptunghi cu $AD = 8$ cm și $AB' = 8\sqrt2$ cm, iar $E$ este mijlocul lui $AB'$). Fie $Q$ intersecția lor. Din $AB' \parallel DC'$ rezultă $\triangle AQE \sim \triangle C'QD$, cu raportul $\dfrac{AE}{C'D} = \dfrac{4\sqrt2}{8\sqrt2} = \dfrac12$. Deci $QD = \dfrac23 DE$ și $C'Q = \dfrac23 C'A$.

Pasul 3. Lungimile:

• $DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{64 + 32} = 4\sqrt6$ cm (triunghiul $DAE$ este dreptunghic în $A$, pentru că $AD \perp (ABB')$), deci $QD = \dfrac{8\sqrt6}{3}$ cm;
• $C'A = 8\sqrt3$ cm (diagonala cubului), deci $C'Q = \dfrac{16\sqrt3}{3}$ cm;
• $C'D = 8\sqrt2$ cm (diagonala unei fețe).

Pasul 4. Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora în triunghiul $DQC'$:

$QD^2 + C'Q^2 = \frac{384}{9} + \frac{768}{9} = \frac{1152}{9} = 128 = \left(8\sqrt2\right)^2 = C'D^2.$

Deci $\sphericalangle DQC' = 90^\circ$, adică $AC' \perp DE$ și, cum $FO \parallel AC'$, obținem $FO \perp DE$. Barem: 1p linia mijlocie, 1p asemănarea, 1p reciproca teoremei lui Pitagora.

Cum a fost subiectul din 2025

Subiectul I a fost de calcul direct, iar la Subiectul al II-lea itemii 3 și 5 au cerut câte două proprietăți legate. La Subiectul al III-lea, cele mai grele au fost 4 b) (distanță calculată din arii) și 6 b) (perpendicularitate în spațiu, redusă la reciproca teoremei lui Pitagora). Continuă cu subiectul din 2026 sau cu modelul oficial 2027.