Rezolvare Evaluarea Națională 2024 Matematică — Examen iunie, varianta 7

Rezolvarea completă a subiectului de Matematică de la Evaluarea Națională 2024 (examenul din 27 iunie 2024, varianta 7, clasa a VIII-a). Pentru fiecare exercițiu găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul și punctajul din baremul oficial. Timp de lucru: două ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. La Subiectul I și al II-lea se punctează doar litera încercuită (5p sau 0p). La Subiectul al III-lea orice soluție corectă primește punctajul întreg.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Rezultatul calculului $8 + 14 : 2$

Întâi împărțirea: $14 : 2 = 7$, apoi $8 + 7 = 15$.

Răspuns: b) 15. Varianta c) 11 apare dacă aduni întâi: $(8 + 14) : 2$.

2. Un album de 200 de lei, după o reducere de 20%

Reducerea: $\dfrac{20}{100}\cdot 200 = 40$ de lei. Prețul nou: $200 - 40 = 160$ de lei.

Răspuns: c) 160 de lei. Varianta b) 40 de lei este reducerea, nu prețul final — citește cu atenție ce se cere.

3. Intersecția intervalelor $I = (-\infty, 6]$ și $J = (4, +\infty)$

Căutăm numerele care sunt și în $I$ (adică $x \le 6$), și în $J$ (adică $x > 4$): $4 < x \le 6$.

Răspuns: d) $(4, 6]$. Capătul 4 nu aparține lui $J$ (paranteză rotundă), iar 6 aparține lui $I$ (paranteză pătrată).

4. Cel mai mare număr din $A = \{5{,}(024);\ 5{,}(24);\ 5{,}2(4);\ 5{,}24\}$

Număr	Scriere zecimală
$5{,}(024)$	$5{,}0240\ldots$
$5{,}(24)$	$5{,}2424\ldots$
$5{,}2(4)$	$5{,}2444\ldots$
$5{,}24$	$5{,}2400\ldots$

Ultimele trei încep cu $5{,}24$; la a treia zecimală au 2, 4, respectiv 0.

Răspuns: c) $5{,}2(4)$.

5. Suma $a + b$ dacă $|a + 3| + |b - 4| = 0$

Modulul unui număr este mai mare sau egal cu 0. O sumă de două numere pozitive sau nule este 0 doar dacă ambele sunt 0:

$|a + 3| = 0 \Rightarrow a = -3,\qquad |b - 4| = 0 \Rightarrow b = 4.$

$a + b = -3 + 4 = 1$, rezultatul Danei.

Răspuns: c) Dana.

6. „Numărul 1 este soluția ecuației $2x + 3 = 4x + 1$”

Înlocuim $x = 1$: membrul stâng $2 + 3 = 5$, membrul drept $4 + 1 = 5$. Egalitatea este adevărată.

Răspuns: a) adevărată.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A, B, C, D$ coliniare, $BC = 4$ cm, $AD = 4\cdot BC$, $AB = CD$. Lungimea lui $AB$

$AD = 16$ cm și $AD = AB + BC + CD = 2\cdot AB + 4$, deci $2\cdot AB = 12$ și $AB = 6$ cm.

Răspuns: b) 6 cm.

2. Triunghi isoscel $ABC$, $AB = AC$, $\sphericalangle C = 40^\circ$; $B, A, D$ coliniare. Măsura unghiului $CAD$

$\sphericalangle B = \sphericalangle C = 40^\circ$. Unghiul $CAD$ este unghi exterior triunghiului, egal cu suma unghiurilor interioare neadiacente:

$\sphericalangle CAD = \sphericalangle B + \sphericalangle C = 80^\circ.$

Răspuns: c) $80^\circ$.

3. Triunghiul $ABC$, $\sphericalangle A = 43^\circ$, $\sphericalangle C = 51^\circ$; $MN \parallel BC$, $MP \parallel AB$. Măsura unghiului $NMP$

$\sphericalangle B = 180^\circ - 43^\circ - 51^\circ = 86^\circ$. Patrulaterul $BNMP$ are laturile opuse paralele ($MN \parallel BP$, $MP \parallel NB$), deci este paralelogram, iar unghiurile opuse sunt egale:

$\sphericalangle NMP = \sphericalangle B = 86^\circ.$

Răspuns: c) $86^\circ$.

4. Paralelogramul $ABCD$, $M$ mijlocul lui $AB$, $\mathcal A_{ACM} = 10$ cm². Aria paralelogramului

• $CM$ este mediană în triunghiul $ABC$, deci $\mathcal A_{ABC} = 2\cdot\mathcal A_{ACM} = 20$ cm².
• Diagonala $AC$ împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente: $\mathcal A_{ABCD} = 2\cdot 20 = 40$ cm².

Răspuns: d) 40 cm².

5. Cerc de rază 6 cm, $AC$ diametru, $\sphericalangle BAC = 30^\circ$. Lungimea coardei $BC$

$AC = 12$ cm. Unghiul $ABC$ este înscris într-un semicerc, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$. Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză:

$BC = \frac{AC}{2} = 6\ \text{cm}.$

Răspuns: a) 6 cm.

6. Cubul $ABCDA'B'C'D'$: unghiul dreptelor $AC$ și $AD'$

$AC$, $AD'$ și $CD'$ sunt diagonale ale unor fețe ale cubului, deci au aceeași lungime. Triunghiul $ACD'$ este echilateral și $\sphericalangle CAD' = 60^\circ$.

Răspuns: b) $60^\circ$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Elevii din laboratorul de fizică

Câte 2 în bancă: rămân 3 elevi în picioare. Câte 4 în bancă: rămân 5 bănci libere și o bancă cu un singur elev.

a) Pot fi 30 de elevi? Dacă ar fi 30, atunci $30 - 3 = 27$ de elevi ar sta câte doi în bancă. Dar 27 este impar, deci nu se poate împărți în perechi. Nu pot fi 30 de elevi. Barem: 1p + 1p.

b) Numărul băncilor. Notăm cu $a$ numărul elevilor și cu $b$ numărul băncilor.

• Prima așezare: $a = 2b + 3$.
• A doua așezare: 5 bănci sunt libere și o bancă are un singur elev, deci $b - 6$ bănci sunt pline: $a = 4(b - 6) + 1$.

$2b + 3 = 4b - 23 \iff 2b = 26 \iff b = 13.$

Răspuns: 13 bănci (și $a = 29$ de elevi; verificare: $4\cdot 7 + 1 = 29$). Barem: 1p + 1p + 1p.

2. $E(x) = \left(\dfrac{1}{x^2 - 3x + 2} + \dfrac{1}{x-1}\right)\cdot\left(x^2 - 4\right)$, $x \ne 1$, $x \ne 2$

a) Despărțim termenul din mijloc și dăm factor comun:

$x^2 - 3x + 2 = x^2 - 2x - x + 2 = x(x-2) - (x-2) = (x-2)(x-1).$

Barem: 1p + 1p.

b) Folosim a) și $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$:

$E(x) = \left(\frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{x-2}{(x-1)(x-2)}\right)(x-2)(x+2) = \frac{x-1}{(x-1)(x-2)}\cdot(x-2)(x+2) = x + 2.$

Atunci $N = \dfrac{5}{E(n)} = \dfrac{5}{n+2}$. Pentru ca $N$ să fie număr natural, $n + 2$ trebuie să fie divizor pozitiv al lui 5: $n + 2 \in \{1, 5\}$, deci $n = -1$ sau $n = 3$ (ambele diferite de 1 și 2).

Răspuns: $n \in \{-1, 3\}$. Barem: 1p suma, 1p $E(x) = x + 2$, 1p valorile lui $n$.

3. Funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x) = 2x - 1$

a) $f(0) = -1$, $f(1) = 1$, deci $f(0) + f(1) = 0$. Barem: 1p + 1p.

b) $A\left(\dfrac12, 0\right)$ (din $2x - 1 = 0$) și $B(0, -1)$. În triunghiul dreptunghic $AOB$:

$AB = \sqrt{\frac14 + 1} = \frac{\sqrt5}{2}.$

Punctul $C\left(-\dfrac12, 0\right)$ este pe axa $Ox$, deci $AC = 1$. Scriem aria triunghiului $ABC$ în două moduri: cu baza $AC$ și înălțimea $OB = 1$, respectiv cu baza $AB$ și înălțimea $CD$ (distanța căutată, $CD \perp AB$):

$\frac{AC\cdot OB}{2} = \frac{AB\cdot CD}{2} \ \Rightarrow\ CD = \frac{AC\cdot OB}{AB} = \frac{1}{\frac{\sqrt5}{2}} = \frac{2}{\sqrt5} = \frac{2\sqrt5}{5}.$

Barem: 1p punctele, 1p $AB$, 1p distanța.

4. Triunghiul isoscel $ABC$, $AB = AC$; înălțimea $AD = BC$; înălțimea $BE$; $AD \cap BE = \{H\}$

a) $\sphericalangle DAC = \sphericalangle EBC$. În triunghiul dreptunghic $ADC$: $\sphericalangle DAC + \sphericalangle ACB = 90^\circ$. În triunghiul dreptunghic $BEC$: $\sphericalangle EBC + \sphericalangle ACB = 90^\circ$. Ambele unghiuri sunt complementul aceluiași unghi, deci sunt egale. Barem: 1p + 1p.

b) $AH = 3\cdot HD$. În triunghiul isoscel, înălțimea $AD$ este și mediană: $BD = DC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{AD}{2}$.

Triunghiurile $BHD$ și $ACD$ sunt asemenea (U.U.: $\sphericalangle HBD = \sphericalangle DAC$ din a) și $\sphericalangle BDH = \sphericalangle ADC = 90^\circ$):

$\frac{HD}{DC} = \frac{BD}{AD} \ \Rightarrow\ HD = \frac{BD\cdot DC}{AD} = \frac{\frac{AD}{2}\cdot\frac{AD}{2}}{AD} = \frac{AD}{4}.$

Deci $AH = AD - HD = \dfrac{3\cdot AD}{4} = 3\cdot HD$. Barem: 1p $BD = DC$, 1p asemănarea, 1p concluzia.

5. Cerc de centru $O$, $CD$ diametru, $BO \perp CD$; $M$ pe arcul mic $BC$, $DM \cap BO = \{N\}$, $DN = 2\cdot MN$, $MN = 4$ cm

a) $\sphericalangle CMD = 90^\circ$. $CD$ este diametru, deci arcul $CD$ are $180^\circ$, iar unghiul înscris $CMD$ are jumătate: $90^\circ$. Barem: 1p + 1p.

b) Aria triunghiului $DON$. $DN = 8$ cm și $DM = DN + NM = 12$ cm. Unghiul din $D$ este comun triunghiurilor dreptunghice $DON$ (în $O$) și $DMC$ (în $M$), deci îi scriem cosinusul în ambele:

$\cos D = \frac{OD}{DN} = \frac{DM}{CD} \ \Rightarrow\ \frac{OD}{8} = \frac{12}{2\cdot OD} \ \Rightarrow\ OD^2 = 48 \ \Rightarrow\ OD = 4\sqrt3\ \text{cm}.$

$ON = \sqrt{DN^2 - OD^2} = \sqrt{64 - 48} = 4$ cm, deci

$\mathcal A_{DON} = \frac{ON\cdot OD}{2} = \frac{4\cdot 4\sqrt3}{2} = 8\sqrt3\ \text{cm}^2.$

Barem: 1p relația, 1p $OD$, 1p aria.

6. Prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ cu baza triunghi echilateral, $AB = 12$ cm, $AA' = 3\sqrt3$ cm; $M$ mijlocul lui $AB$

a) Aria laterală. O față laterală are aria $AB\cdot AA' = 12\cdot 3\sqrt3 = 36\sqrt3$ cm², iar prisma are trei fețe laterale: $\mathcal A_l = 3\cdot 36\sqrt3 = 108\sqrt3$ cm². Barem: 1p + 1p.

b) Distanța de la $M$ la planul $(A'B'C)$. Fie $N$ mijlocul lui $A'B'$.

Pasul 1. $CA' = CB'$ (diagonale ale unor fețe laterale congruente), deci în triunghiul isoscel $CA'B'$ mediana $CN$ este înălțime: $CN \perp A'B'$. De asemenea $MN \parallel AA'$, deci $MN \perp A'B'$. Rezultă $A'B' \perp (CMN)$.

Pasul 2. Ducem $MP \perp CN$, $P \in CN$. Cum $MP \subset (CMN)$, avem $MP \perp A'B'$. Fiind perpendiculară pe două drepte concurente din $(A'B'C)$, $MP \perp (A'B'C)$: distanța căutată este $MP$.

Pasul 3. Triunghiul $MNC$ este dreptunghic în $M$ ($MN$ este perpendiculară pe planul bazei): $MN = 3\sqrt3$ cm, $CM = \dfrac{12\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ cm (înălțime în triunghiul echilateral), deci

$CN = \sqrt{27 + 108} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}\ \text{cm}.$

$MP$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei:

$MP = \frac{MN\cdot CM}{CN} = \frac{3\sqrt3\cdot 6\sqrt3}{3\sqrt{15}} = \frac{18}{\sqrt{15}} = \frac{6\sqrt{15}}{5}\ \text{cm}.$

Barem: 1p $A'B' \perp (CMN)$, 1p $MP \perp (A'B'C)$, 1p calculul.

Cum a fost subiectul din 2024

Subiectul I a verificat ordinea operațiilor, procentele, intervalele și modulul. La Subiectul al III-lea, problema 1 b) cere atenție la numărarea băncilor pline, 4 b) și 5 b) se rezolvă cu asemănare și trigonometrie în triunghiul dreptunghic, iar 6 b) este distanța de la un punct la un plan. Continuă cu subiectul din 2025 și cu cel din 2026.