Rezolvare Evaluarea Națională 2026 Matematică — Examen iunie, varianta 1

Rezolvarea completă a subiectului de Matematică de la Evaluarea Națională 2026 (examenul din 24 iunie 2026, varianta 1, clasa a VIII-a). Pentru fiecare exercițiu găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul și punctajul din baremul oficial. Timp de lucru: două ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. La Subiectul I și al II-lea se punctează doar litera încercuită (5p sau 0p). La Subiectul al III-lea orice soluție corectă primește punctajul întreg.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Rezultatul calculului $12 - 2 \cdot 5$

Întâi înmulțirea: $2\cdot 5 = 10$, apoi scăderea: $12 - 10 = 2$.

Răspuns: c) 2. Varianta a) 50 apare dacă faci greșit $(12 - 2)\cdot 5$.

2. 40% din 250 de elevi sunt băieți

$\frac{40}{100}\cdot 250 = \frac{40\cdot 250}{100} = 100.$

Răspuns: c) 100. Rapid: 10% din 250 este 25, deci 40% este $4\cdot 25 = 100$.

3. Suma dintre numărul 10 și opusul numărului 10

Opusul lui 10 este $-10$, iar $10 + (-10) = 0$. Suma dintre orice număr și opusul său este 0.

Răspuns: d) 0. Atenție: opusul lui 10 este $-10$, iar inversul lui 10 este $\dfrac{1}{10}$ — variantele a) și b) sunt construite pe această confuzie.

4. Fracția zecimală $1{,}(2)$ scrisă ca fracție ordinară

Pentru o fracție periodică simplă: la numărător scriem numărul fără virgulă minus partea întreagă, iar la numitor atâtea cifre de 9 câte cifre are perioada.

$1{,}(2) = \frac{12 - 1}{9} = \frac{11}{9}.$

Răspuns: c) $\dfrac{11}{9}$.

5. Numărul $x$ din proporția $\dfrac{\sqrt5 - 1}{2} = \dfrac{x}{\sqrt5 + 1}$

Produsul mezilor este egal cu produsul extremilor:

$2x = (\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1) = (\sqrt5)^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4 \ \Rightarrow\ x = 2.$

Răspunsul 2 a fost dat de Andreea.

Răspuns: b) Andreea.

6. Diagrama cu numărul de mașini vândute

Din diagramă: ianuarie — 1000, februarie — 2000, martie — 500, aprilie — 2500. Cea mai mică valoare este 500, în luna martie.

Răspuns: a) adevărată.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A, B, C, D$ coliniare, $AB = 1$ cm, $AD = 6$ cm, $C$ mijlocul lui $AD$. Lungimea lui $BC$

$AC = \dfrac{AD}{2} = 3$ cm, iar $BC = AC - AB = 3 - 1 = 2$ cm.

Răspuns: c) 2 cm.

2. $AB \parallel CD$, punctele $E, A, C$ coliniare, $\sphericalangle DCA = 80^\circ$. Măsura unghiului $EAB$

Punctele $B$ și $D$ sunt de o parte și de alta a secantei $AC$, deci unghiurile $CAB$ și $DCA$ sunt alterne interne: $\sphericalangle CAB = 80^\circ$.

Unghiurile $EAB$ și $CAB$ sunt adiacente suplementare (punctele $E, A, C$ sunt coliniare):

$\sphericalangle EAB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ.$

Răspuns: b) $100^\circ$.

3. $D$ mijlocul lui $BC$, $G$ centrul de greutate, $\mathcal A_{DGC} = 15$ cm². Aria triunghiului $ABC$

• $GD$ este mediană în triunghiul $GBC$, deci îl împarte în două triunghiuri cu arii egale: $\mathcal A_{GBC} = 2\cdot 15 = 30$ cm².
• $G \in AD$ și $GD = \dfrac13 AD$. Triunghiurile $GBC$ și $ABC$ au aceeași bază $BC$, iar înălțimea din $G$ este o treime din înălțimea din $A$, deci $\mathcal A_{GBC} = \dfrac13\mathcal A_{ABC}$.

$\mathcal A_{ABC} = 3\cdot 30 = 90\ \text{cm}^2.$

Răspuns: d) 90 cm².

4. Paralelogramul $ABCD$ cu $BD \perp BC$ și $BD\cdot BC = 12$ cm²

Cum $BD \perp BC$, segmentul $BD$ este înălțimea corespunzătoare laturii $BC$. Aria paralelogramului este bază · înălțime:

$\mathcal A_{ABCD} = BC\cdot BD = 12\ \text{cm}^2.$

Răspuns: b) 12 cm². Capcana este varianta a): $\dfrac{BD\cdot BC}{2} = 6$ cm² este doar aria triunghiului $BCD$.

5. Cerc de centru $O$, $AC$ diametru, $\sphericalangle BDC = 40^\circ$. Măsura unghiului $BCA$

• Unghiurile înscrise $BDC$ și $BAC$ cuprind același arc $BC$, deci $\sphericalangle BAC = 40^\circ$.
• $AC$ este diametru, deci unghiul $ABC$ este înscris într-un semicerc: $\sphericalangle ABC = 90^\circ$.
• În triunghiul $ABC$: $\sphericalangle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Răspuns: b) $50^\circ$.

6. Piramida patrulateră regulată $VABCD$, $VO = 6$ cm, $AB = 4$ cm. Volumul

Baza este pătrat: $\mathcal A_b = 4^2 = 16$ cm².

$V = \frac{\mathcal A_b\cdot h}{3} = \frac{16\cdot 6}{3} = 32\ \text{cm}^3.$

Răspuns: a) 32 cm³. Dacă uiți împărțirea la 3 obții 96 cm³ — varianta d).

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Copiii care cumpără o minge

Dacă fiecare copil dă câte 18 lei, mai lipsesc 30 de lei. Notăm cu $n$ numărul copiilor; prețul mingii este $18n + 30$.

a) Poate costa mingea 153 de lei? $18n + 30 = 153 \iff 18n = 123 \iff n = \dfrac{123}{18}$, care nu este număr natural ($18\cdot 6 = 108$, $18\cdot 7 = 126$). Nu este posibil. Barem: 1p expresia prețului, 1p concluzia.

b) Cu câte 24 de lei de copil sunt 12 lei în plus. Prețul este și $24n - 12$:

$18n + 30 = 24n - 12 \iff 6n = 42 \iff n = 7.$

Mingea costă $18\cdot 7 + 30 = 156$ de lei. Verificare: $24\cdot 7 - 12 = 156$.

Răspuns: 156 de lei. Barem: 1p ecuația, 1p $n = 7$, 1p prețul.

2. $E(x) = \dfrac{x}{x-3} + \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{7 - 3x}{(x-2)(x-3)}$, $x \ne 2$, $x \ne 3$

a) Numitorul comun este $(x-2)(x-3)$:

$E(x) = \frac{x(x-2) + (x-3) + 7 - 3x}{(x-2)(x-3)} = \frac{x^2 - 2x + x - 3 + 7 - 3x}{(x-2)(x-3)} = \frac{x^2 - 4x + 4}{(x-2)(x-3)}.$

Cum $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$, simplificăm cu $x - 2$:

$E(x) = \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x-3)} = \frac{x-2}{x-3}.$

Barem: 1p aducerea la același numitor, 1p simplificarea.

b) $E(4) = \dfrac{4-2}{4-3} = 2$, deci

$A = 2^n + 2^{n+3} = 2^n\left(1 + 2^3\right) = 9\cdot 2^n.$

Pentru $n \ge 1$ numărul $2^n$ este par, deci $2^n = 2k$ și $A = 18k$, divizibil cu 18. Barem: 1p $E(4)$, 1p factorul comun, 1p concluzia.

3. Funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x) = 3x - 6$

a) $f(1) = 3 - 6 = -3$ și $f(3) = 9 - 6 = 3$, deci $f(1) + f(3) = 0$. Barem: 1p + 1p.

b) Intersecția cu $Ox$: $3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$, deci $A(2, 0)$. Intersecția cu $Oy$: $f(0) = -6$, deci $B(0, -6)$.

Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu $OA = 2$ și $OB = 6$:

$AB = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.$

$OM$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei, deci este jumătate din ipotenuză:

$OM = \frac{AB}{2} = \sqrt{10}.$

Barem: 1p punctele $A$ și $B$, 1p $AB$, 1p $OM$.

Reține: într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză.

4. Cerc de centru $O$ și rază 6 cm; coardele $AB \perp CD$; $M$ mijlocul lui $AB$, $OM = 3$ cm

a) $AM = 3\sqrt3$ cm. Triunghiul $AOB$ este isoscel ($OA = OB = 6$ cm), iar $OM$ este mediană, deci și înălțime: $OM \perp AB$. În triunghiul dreptunghic $OMA$:

$AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt3\ \text{cm}.$

Barem: 1p $OM \perp AB$, 1p teorema lui Pitagora.

b) $AC^2 + BD^2 = 144$ cm². Construim diametrul $BE$. Unghiurile $BAE$ și $BDE$ sunt înscrise în semicerc, deci $\sphericalangle BAE = \sphericalangle BDE = 90^\circ$.

Din $AE \perp AB$ și $CD \perp AB$ rezultă $AE \parallel CD$. Două coarde paralele cuprind între ele arce egale, deci arcele $AC$ și $DE$ sunt egale și $AC = DE$.

În triunghiul $BDE$, dreptunghic în $D$:

$DE^2 + BD^2 = BE^2 \ \Rightarrow\ AC^2 + BD^2 = 12^2 = 144\ \text{cm}^2.$

Barem: 1p unghiurile drepte, 1p $AC = DE$, 1p concluzia. Ideea-cheie este construcția diametrului $BE$: transformă suma de pătrate într-o teoremă a lui Pitagora.

5. Paralelogramul $ABCD$, $AB = 10$ cm, $AD = 8$ cm; $M$, $N$, $T$ mijloacele lui $BC$, $CD$, $AB$; $BN \cap AM = \{Q\}$

a) Perimetrul lui $ATND$. $AT = \dfrac{AB}{2} = 5$ cm, $DN = \dfrac{CD}{2} = 5$ cm și $AT \parallel DN$, deci $ATND$ este paralelogram:

$P_{ATND} = 2\cdot AT + 2\cdot AD = 10 + 16 = 26\ \text{cm}.$

Barem: 1p paralelogram, 1p perimetrul.

b) Raportul $\dfrac{AQ}{QM}$. Fie $S$ punctul de intersecție a dreptelor $AM$ și $NT$. Din a), $NT \parallel AD \parallel BC$ și $NT = 8$ cm.

• În triunghiul $ABM$: $T$ este mijlocul lui $AB$ și $TS \parallel BM$, deci $TS$ este linie mijlocie: $S$ este mijlocul lui $AM$ și $TS = \dfrac{BM}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$ cm. Atunci $SN = NT - TS = 6$ cm.
• $SN \parallel BM$, deci $\triangle QNS \sim \triangle QBM$:

$\frac{QS}{QM} = \frac{SN}{BM} = \frac{6}{4} = \frac32.$

• $SM = QS + QM = \dfrac32 QM + QM = \dfrac52 QM$, iar $AM = 2\cdot SM = 5\cdot QM$.

Deci $AQ = AM - QM = 4\cdot QM$ și $\dfrac{AQ}{QM} = 4$. Barem: 1p $ST$ și $SN$, 1p asemănarea, 1p raportul.

6. Prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ cu baza pătrat, $AB = 4$ cm, $AA' = 4\sqrt2$ cm

a) Aria laterală. Cele patru fețe laterale sunt dreptunghiuri cu laturile 4 cm și $4\sqrt2$ cm:

$\mathcal A_l = 4\cdot AB\cdot AA' = 4\cdot 4\cdot 4\sqrt2 = 64\sqrt2\ \text{cm}^2.$

Barem: 1p formula, 1p rezultatul.

b) Distanța de la $A'$ la planul $(C'BD)$ este $\dfrac{8\sqrt{10}}{5}$ cm. Fie $O$ intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$.

Pasul 1. $BD \perp AC$ (diagonalele pătratului) și $BD \perp AA'$ (prismă dreaptă), deci $BD \perp (A'AC)$.

Pasul 2. Ducem $A'P \perp C'O$, $P \in C'O$. Dreapta $A'P$ este în planul $(A'AC)$, deci $A'P \perp BD$. Fiind perpendiculară pe două drepte concurente din planul $(C'BD)$, anume $C'O$ și $BD$, avem $A'P \perp (C'BD)$, adică distanța căutată este $A'P$.

Pasul 3. Calculăm $A'P$ din aria triunghiului $A'OC'$, scrisă în două moduri.

• Cu baza $A'C' = 4\sqrt2$ cm (diagonala pătratului) și înălțimea din $O$ egală cu $AA' = 4\sqrt2$ cm: $\mathcal A_{A'OC'} = \dfrac{4\sqrt2\cdot 4\sqrt2}{2} = 16$ cm².
• $OC = \dfrac{AC}{2} = 2\sqrt2$ cm, iar în triunghiul dreptunghic $C'CO$: $C'O = \sqrt{(2\sqrt2)^2 + (4\sqrt2)^2} = \sqrt{8 + 32} = 2\sqrt{10}$ cm.

$\frac{A'P\cdot C'O}{2} = 16 \ \Rightarrow\ A'P = \frac{32}{2\sqrt{10}} = \frac{16}{\sqrt{10}} = \frac{16\sqrt{10}}{10} = \frac{8\sqrt{10}}{5}\ \text{cm}.$

Barem: 1p $BD \perp (A'AC)$, 1p $A'P \perp (C'BD)$, 1p calculul.

Cum a fost subiectul din 2026

Subiectele I și al II-lea au fost accesibile, cu itemi direcți. Departajarea s-a făcut la Subiectul al III-lea: problema 4 b) (construcția diametrului), problema 5 b) (asemănare după construcția punctului $S$) și problema 6 b) (distanța de la un punct la un plan, calculată din arie). Dacă acestea ți-au dat de furcă, exersează pe modelul oficial 2027, care are aceeași structură.