Rezolvare BAC 2016 Matematică M2 (științe ale naturii) — August–Septembrie, varianta 2

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2016 la Matematică M_șt-nat, sesiunea august–septembrie, varianta 2. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Al doilea termen al progresiei geometrice cu $b_1 = 4$, $q = 2$

$b_2 = b_1q = 4\cdot 2 = 8.$

Răspuns: $8$. Barem: 3p, 2p.

2. Vârful parabolei asociate funcției $f(x) = x^2 - 2x$

$x_V = -\dfrac{-2}{2} = 1$, $y_V = f(1) = 1 - 2 = -1$.

Răspuns: $V(1, -1)$. Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $\log_3(2x + 1) = \log_3 5$

$2x + 1 = 5 \iff x = 2$ (verifică $2x + 1 > 0$).

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p, 2p.

4. Numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii $\{0, 1, 2, 3, 4\}$

$C_5^2 = \frac{5!}{2!\cdot 3!} = 10.$

Răspuns: $10$. Barem: 3p, 2p.

5. $m$ știind că $M(1, 0)$ aparține dreptei $y = mx - 2$

$0 = m\cdot 1 - 2 \iff m = 2$.

Răspuns: $m = 2$. Barem: 3p, 2p.

6. Raza cercului circumscris triunghiului cu $AB = \sqrt2$ și $C = \frac\pi4$

$\frac{AB}{\sin C} = 2R \Rightarrow R = \frac{\sqrt2}{2\cdot\frac{\sqrt2}{2}} = 1.$

Răspuns: $R = 1$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(a) = \begin{pmatrix} 2 - a & 1\\ 1 & 2 - a\end{pmatrix}$

a) $\det(A(2)) = -1$

$A(2) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad \det A(2) = 0 - 1 = -1.$

Barem: 2p, 3p.

b) $A(a) + A(-a) = 2A(0)$

$A(a) + A(-a) = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix} = 2A(0).$

Barem: 3p, 2p.

c) $x$ cu $A(x)A(x) = 2A(1)$

$A(x)A(x) = \begin{pmatrix} (2-x)^2 + 1 & 2(2 - x)\\ 2(2 - x) & (2-x)^2 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 - 4x + 5 & 4 - 2x\\ 4 - 2x & x^2 - 4x + 5\end{pmatrix}, \quad 2A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}.$

Din $4 - 2x = 2$: $x = 1$; verificare: $1 - 4 + 5 = 2$ ✔.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p, 2p.

2. $f = X^3 - 4X^2 + mX + 4$

a) $f(-1) + f(1) = 0$

$f(-1) = -1 - 4 - m + 4 = -m - 1$, $f(1) = 1 - 4 + m + 4 = m + 1$; suma este $0$. Barem: 2p, 3p.

b) Pentru $m = -1$, $f$ se divide cu $X^2 - 1$

Pentru $m = -1$: $f(1) = 0$ și $f(-1) = 0$, deci $X - 1 \mid f$ și $X + 1 \mid f$. Cum $X - 1$ și $X + 1$ sunt prime între ele, $(X - 1)(X + 1) = X^2 - 1$ divide $f$. (Concret: $f = (X^2 - 1)(X - 4)$.) Barem: 3p, 2p.

c) $m$ cu $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 4\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}\right) = 0$

Viète: $s_1 = 4$, $s_2 = m$, $s_3 = -4$.

$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 16 - 2m, \qquad \sum\frac{1}{x_i} = \frac{s_2}{s_3} = -\frac m4.$

$16 - 2m - 4\cdot\left(-\frac m4\right) = 16 - m = 0 \iff m = 16.$

Răspuns: $m = 16$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(1, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$

a) $f'(x) = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.$

Barem: 3p, 2p.

b) Tangenta în punctul de abscisă $x = 2$

$f(2) = 3$, $f'(2) = 0$: tangenta este $y = 3$.

Răspuns: $y = 3$. Barem: 2p, 3p.

c) $f(e) < \frac72$

Pe $(2, +\infty)$, $f'(x) > 0$, deci $f$ este strict crescătoare. Cum $2 < e < 3$ și $f(3) = \frac{9 - 3 + 1}{2} = \frac72$:

$f(e) < f(3) = \frac72. \ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

2. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{e^x}{x^2}$

a) $\displaystyle\int_1^2 x^2 f(x)\,dx = e(e - 1)$

$\int_1^2 e^x\,dx = e^2 - e = e(e - 1).$

Barem: 3p, 2p.

b) Orice primitivă a lui $f$ este convexă pe $[2, +\infty)$

$F''(x) = f'(x) = \frac{e^x x^2 - 2xe^x}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3} \ge 0$

pentru $x \ge 2$, deci $F$ este convexă pe $[2, +\infty)$. Barem: 2p, 3p.

c) Aria delimitată de $G_f$, $Ox$, $x = 1$, $x = 2$ este cel mult $e(e - 1)$

$f > 0$, deci $\mathcal A = \displaystyle\int_1^2\frac{e^x}{x^2}\,dx$. Pentru $x \in [1, 2]$, $x^2 \ge 1$, deci $\dfrac{e^x}{x^2} \le e^x$ și

$\mathcal A \le \int_1^2 e^x\,dx = e(e - 1). \ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$8$
I.2	$V(1, -1)$
I.3	$x = 2$
I.4	$10$
I.5	$m = 2$
I.6	$R = 1$
II.1.c	$x = 1$
II.2.c	$m = 16$
III.1.b	$y = 3$
III.2.a	$e(e-1)$

Ce merită reținut din varianta 2

• Divizibilitate cu $X^2 - 1$: verifică $f(1) = 0$ și $f(-1) = 0$.
• Comparații numerice ($f(e) < \frac72$): folosește monotonia și un punct convenabil ($3 > e$).
• Încadrarea integralelor: majorezi integrandul cu o funcție ușor de integrat.
• Convexitatea unei primitive = semnul lui $f'$.