Rezolvare BAC 2015 Matematică M2 (științe ale naturii) — Iunie–Iulie, varianta 8

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2015 la Matematică M_șt-nat, sesiunea iunie–iulie, varianta 8. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $z = 1 + i$; arătați că $z^2 - 2i = 0$

$z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i \Rightarrow z^2 - 2i = 0.$

Barem: 3p, 2p.

2. $(g\circ f)(3)$, cu $f(x) = x - 3$ și $g(x) = x + 2015$

$f(3) = 0$, apoi $(g\circ f)(3) = g(0) = 2015$.

Răspuns: $2015$. Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $5^{x^2 - 5x} = 5^{3 - 3x}$

$x^2 - 5x = 3 - 3x \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x - 3)(x + 1) = 0.$

Răspuns: $x \in \{-1, 3\}$. Barem: 3p, 2p.

4. Numărul submulțimilor cu patru elemente ale mulțimii $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

$C_5^4 = \frac{5!}{4!\cdot 1!} = 5.$

Răspuns: $5$. Barem: 3p, 2p.

5. Dreapta $d$ prin $A(0, 4)$, paralelă cu $y = 2x + 7$

Panta lui $d$ este $2$, iar ordonata la origine este $4$ ($A$ e pe $Oy$):

$d: y = 2x + 4.$

Răspuns: $y = 2x + 4$. Barem: 2p, 3p.

6. Aria triunghiului $MNP$ cu $MN = 12$, $MP = 3$, $m(\angle M) = 30^\circ$

$\mathcal A = \frac{MN\cdot MP\cdot\sin M}{2} = \frac{12\cdot 3\cdot\frac12}{2} = 9.$

Răspuns: $9$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & -a\\ -a & 1\end{pmatrix}$

a) $\det(A(0)) = 1$

$A(0) = I_2$, deci $\det A(0) = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1$. Barem: 2p, 3p.

b) $a$ cu $\det(A(a)) = 0$

$\det A(a) = 1 - a^2 = 0 \iff a \in \{-1, 1\}.$

Răspuns: $a \in \{-1, 1\}$. Barem: 3p, 2p.

c) $A(a)A(b) = A(a + b) + abI_2$

$A(a)A(b) = \begin{pmatrix} 1 + ab & -b - a\\ -a - b & ab + 1\end{pmatrix},$

$A(a + b) + abI_2 = \begin{pmatrix} 1 & -a - b\\ -a - b & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} ab & 0\\ 0 & ab\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + ab & -a - b\\ -a - b & 1 + ab\end{pmatrix}.$

Matricele coincid. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

2. $f = X^3 - mX + 2$

a) $f(0) = 2$

$f(0) = 0 - 0 + 2 = 2$. Barem: 3p, 2p.

b) $m$ pentru care restul împărțirii la $g = X^2 + X - 2$ este $0$

$(X - 1)(X^2 + X - 2) = X^3 - 3X + 2$, deci

$f = (X - 1)g + (3 - m)X.$

Restul este $(3 - m)X$, iar el este nul $\iff m = 3$.

Răspuns: $m = 3$. Barem: 3p, 2p.

c) $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -6$

Viète: $x_1 + x_2 + x_3 = 0$. Fiecare rădăcină verifică $x_i^3 = mx_i - 2$; adunând:

$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = m(x_1 + x_2 + x_3) - 6 = -6. \ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = e^x - x - 1$

a) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x) - f(0)}{x} = 0$

Limita este $f'(0)$. $f'(x) = e^x - 1$, $f'(0) = 0$. Barem: 2p, 3p.

b) $f$ este descrescătoare pe $(-\infty, 0]$

Pentru $x \le 0$, $e^x \le 1$, deci $f'(x) = e^x - 1 \le 0$ și $f$ este descrescătoare. Barem: 2p, 3p.

c) $e^x \ge x + 1$ pentru orice $x$ real

Pentru $x \ge 0$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[0, +\infty)$. Cu b), $x = 0$ este punct de minim global:

$f(x) \ge f(0) = 0 \iff e^x \ge x + 1. \ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = x^2 - 2x + 5$

a) $\displaystyle\int_0^1(f(x) + 2x - 5)\,dx = \frac13$

$\int_0^1 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^1 = \frac13.$

Barem: 2p, 3p.

b) $\displaystyle\int_0^2\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx$

$f > 0$ ($\Delta < 0$), deci

$\int_0^2\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln f(x)\Big|_0^2 = \ln 5 - \ln 5 = 0.$

Răspuns: $0$. Barem: 3p, 2p.

c) $\displaystyle\int_{2014}^{2015}\frac{1}{f(x)}\,dx \le \frac14$

$f(x) = (x - 1)^2 + 4 \ge 4$, deci $\dfrac{1}{f(x)} \le \dfrac14$ și

$\int_{2014}^{2015}\frac{dx}{f(x)} \le \int_{2014}^{2015}\frac14\,dx = \frac14. \ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$2015$
I.3	$x \in \{-1, 3\}$
I.4	$5$
I.5	$y = 2x + 4$
I.6	$9$
II.1.b	$a \in \{-1, 1\}$
II.2.b	$m = 3$
III.1.a	$0$
III.2.a	$\tfrac13$
III.2.b	$0$

Ce merită reținut din varianta 8

• Aria cu sinus: $\mathcal A = \frac12 ab\sin C$.
• Suma cuburilor rădăcinilor: înlocuiește $x_i^3$ folosind chiar ecuația polinomului.
• Inegalitatea $e^x \ge x + 1$ — clasică, se demonstrează prin studiul minimului lui $e^x - x - 1$.
• $\int\frac{f'}{f} = \ln|f|$; încadrarea unei integrale pornește de la minimul/maximul integrandului.