Rezolvare BAC 2014 Matematică M2 (științe ale naturii) — Rezervă, varianta 5

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2014 la Matematică M_șt-nat, sesiunea de rezervă (subiectul poartă data de 2 iulie 2014), varianta 5. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $z = 2 + i$; calculați $z^2$

$z^2 = (2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i.$

Răspuns: $z^2 = 3 + 4i$. Barem: 3p, 2p.

2. $M(m, 1)$ aparține graficului funcției $f(x) = x - 3$

$f(m) = 1 \iff m - 3 = 1 \iff m = 4$.

Răspuns: $m = 4$. Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $\log_3(x - 3) = 2$

Condiție: $x > 3$. $x - 3 = 3^2 = 9 \iff x = 12$, care verifică condiția.

Răspuns: $x = 12$. Barem: 3p, 2p.

4. Numărul submulțimilor cu număr impar de elemente ale lui $A = \{1, 2, 3, 4\}$

Submulțimi cu 1 element sau cu 3 elemente:

$C_4^1 + C_4^3 = 4 + 4 = 8.$

(În general, o mulțime cu $n \ge 1$ elemente are $2^{n-1}$ submulțimi cu număr impar de elemente.) Răspuns: $8$. Barem: 3p, 2p.

5. Dreptunghiul $ABCD$, $M$ mijlocul lui $AD$: $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC}.$

$M$ fiind mijlocul lui $AD$, $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} = \vec 0$, iar $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$. Adunând: $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{AB}$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

6. Triunghi dreptunghic în $A$: $\sin B\cos C + \sin C\cos B = 1$

$B + C = 90^\circ$, deci $\cos C = \sin B$ și $\sin C = \cos B$:

$\sin B\cos C + \sin C\cos B = \sin^2 B + \cos^2 B = 1.$

(Sau: expresia este $\sin(B + C) = \sin 90^\circ = 1$.) Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 0 & 2014\\ 1 & -1\end{pmatrix}$

a) $\det A$

$\det A = 0\cdot(-1) - 2014\cdot 1 = -2014.$

Răspuns: $-2014$. Barem: 3p, 2p.

b) $A + A\cdot A = 2014I_2$

$A\cdot A = \begin{pmatrix} 2014 & -2014\\ -1 & 2015\end{pmatrix}, \qquad A + A\cdot A = \begin{pmatrix} 2014 & 0\\ 0 & 2014\end{pmatrix} = 2014I_2.$

Barem: 3p, 2p.

c) Ecuația $A\cdot X = 2014I_2$

Din b), $A(I_2 + A) = A + A^2 = 2014I_2$. Cum $\det A \ne 0$, $A$ este inversabilă și soluția este unică:

$X = I_2 + A = \begin{pmatrix} 1 & 2014\\ 1 & 0\end{pmatrix}.$

(Altfel: $A^{-1} = \frac{1}{2014}\begin{pmatrix} 1 & 2014\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ și $X = 2014A^{-1}$.) Răspuns: $X = \begin{pmatrix} 1 & 2014\\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Barem: 3p, 2p.

2. $f = X^3 - 6X^2 + mX - 6$

a) $f(0)$

$f(0) = -6$. Barem: 2p, 3p.

b) $\dfrac{1}{x_1x_2} + \dfrac{1}{x_1x_3} + \dfrac{1}{x_2x_3} = 1$

Viète: $x_1 + x_2 + x_3 = 6$, $x_1x_2x_3 = 6$.

$\frac{1}{x_1x_2} + \frac{1}{x_1x_3} + \frac{1}{x_2x_3} = \frac{x_3 + x_2 + x_1}{x_1x_2x_3} = \frac66 = 1.$

Barem: 2p, 3p.

c) $m$ știind că rădăcinile sunt trei numere întregi consecutive

Fie rădăcinile $k - 1$, $k$, $k + 1$. Suma lor: $3k = 6 \Rightarrow k = 2$, deci rădăcinile sunt $1, 2, 3$ (produsul $6$, în acord cu Viète).

$m = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 2 + 3 + 6 = 11.$

Răspuns: $m = 11$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$

a) $f'(x) = \dfrac{(1 - x)(1 + x)}{(x^2+1)^2}$

$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}.$

Barem: 2p, 3p.

b) Tangenta în punctul de abscisă $x_0 = 1$

$f(1) = \frac12$, $f'(1) = 0$, deci tangenta este $y = \dfrac12$.

Răspuns: $y = \dfrac12$. Barem: 2p, 3p.

c) Punctele de extrem

$f'(x) = 0 \iff x = \pm 1$. Semnul lui $f'$ este semnul lui $1 - x^2$: negativ pe $(-\infty, -1)$, pozitiv pe $(-1, 1)$, negativ pe $(1, +\infty)$.

Răspuns: $x = -1$ este punct de minim ($f(-1) = -\frac12$), $x = 1$ este punct de maxim ($f(1) = \frac12$). Barem: 2p, 2p, 1p.

2. $f:(-1, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{x+3}$

a) $\displaystyle\int_0^1\left(f(x) - \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}\right)dx = \ln 2$

$\int_0^1\frac{dx}{x + 1} = \ln(x + 1)\Big|_0^1 = \ln 2.$

Barem: 2p, 3p.

b) Orice primitivă a lui $f$ este concavă pe $(-1, +\infty)$

$F''(x) = f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x+2)^2} - \frac{1}{(x+3)^2} < 0,$

deci $F$ este concavă. Barem: 2p, 3p.

c) Aria delimitată de $G_f$, $Ox$, $x = 0$, $x = n$ este cel puțin $\ln 4$

$f > 0$ pe $[0, n]$:

$\mathcal A = \int_0^n f(x)\,dx = \ln\big((x+1)(x+2)(x+3)\big)\Big|_0^n = \ln\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}.$

Pentru $n \ge 1$: $(n+1)(n+2)(n+3) \ge 2\cdot 3\cdot 4 = 24$, deci $\mathcal A \ge \ln\frac{24}{6} = \ln 4$ (logaritmul fiind crescător). $\blacksquare$ Barem: 2p, 1p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$3 + 4i$
I.2	$m = 4$
I.3	$x = 12$
I.4	$8$
II.1.a	$-2014$
II.1.c	$X = \begin{pmatrix}1&2014\\1&0\end{pmatrix}$
II.2.a	$-6$
II.2.c	$m = 11$
III.1.b	$y = \tfrac12$
III.1.c	$x = -1$ (minim), $x = 1$ (maxim)
III.2.a	$\ln 2$

Ce merită reținut din varianta 5

• Submulțimi cu număr impar de elemente: jumătate din toate submulțimile, adică $2^{n-1}$.
• Ecuații matriceale $AX = cI$: caută o relație de forma $A\cdot B = cI$ (aici $B = I + A$).
• Rădăcini consecutive: notează-le $k-1, k, k+1$ și folosește suma din Viète.
• Concavitatea primitivei se citește din semnul lui $f'$.