Rezolvare BAC 2014 Matematică M2 (științe ale naturii) — Iunie–Iulie, varianta 1

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2014 la Matematică M_șt-nat, sesiunea iunie–iulie (2 iulie 2014), varianta 1. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Partea reală a numărului $z = 3 + 2(1 - i)$

$z = 3 + 2 - 2i = 5 - 2i \Rightarrow \operatorname{Re} z = 5.$

Răspuns: $5$. Barem: 3p, 2p.

2. $x_1 + x_2 + 2x_1x_2 = 23$ pentru soluțiile ecuației $x^2 - 3x + 10 = 0$

Viète: $x_1 + x_2 = 3$, $x_1x_2 = 10$, deci $3 + 2\cdot 10 = 23$. Barem: 3p, 2p.

3. Ecuația $\sqrt{x^2 + x + 1} = 1$

$x^2 + x + 1 > 0$ pentru orice $x$ ($\Delta < 0$). Ridicând la pătrat: $x^2 + x + 1 = 1 \iff x(x + 1) = 0$.

Răspuns: $x \in \{-1, 0\}$ (ambele verifică ecuația). Barem: 3p, 2p.

4. Câte numere impare de trei cifre distincte se formează cu elementele lui $\{1, 2, 3\}$?

• cifra unităților (impară): $1$ sau $3$ — 2 moduri;
• cifra zecilor: oricare dintre cele 2 rămase — 2 moduri;
• cifra sutelor: ultima cifră rămasă — 1 mod.

$2\cdot 2\cdot 1 = 4 \quad (123, 213, 231, 321).$

Răspuns: $4$. Barem: 2p, 2p, 1p.

5. $a$ pentru care dreptele $y = (a - 1)x + 1$ și $y = 2x - 3$ sunt paralele

Pantele trebuie să fie egale (ordonatele la origine diferă): $a - 1 = 2 \iff a = 3$.

Răspuns: $a = 3$. Barem: 3p, 2p.

6. Raza cercului circumscris triunghiului cu $AB = 3$, $AC = 4$, $BC = 5$

$AB^2 + AC^2 = 9 + 16 = 25 = BC^2$, deci triunghiul este dreptunghic în $A$ ($A = \frac\pi2$). Ipotenuza este diametru al cercului circumscris:

$R = \frac{BC}{2} = \frac52.$

Răspuns: $R = \dfrac52$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(x) = \begin{pmatrix} x & 1\\ 1 & x\end{pmatrix}$

a) $\det(A(2))$

$\det A(2) = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 3p, 2p.

b) $x$ cu $A(x)\cdot A(-x) = I_2$

$A(x)A(-x) = \begin{pmatrix} -x^2 + 1 & x - x\\ -x + x & 1 - x^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - x^2 & 0\\ 0 & 1 - x^2\end{pmatrix} = I_2 \iff 1 - x^2 = 1 \iff x = 0.$

Răspuns: $x = 0$. Barem: 3p, 2p.

c) $\det(A(1) + A(2) + \dots + A(n)) = \dfrac{n^2(n-1)(n+3)}{4}$

$A(1) + \dots + A(n) = \begin{pmatrix} \frac{n(n+1)}{2} & n\\ n & \frac{n(n+1)}{2}\end{pmatrix}.$

$\det = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - n^2 = \frac{n^2\left[(n+1)^2 - 4\right]}{4} = \frac{n^2(n + 1 - 2)(n + 1 + 2)}{4} = \frac{n^2(n-1)(n+3)}{4}.$

Barem: 2p, 3p.

2. $x * y = 4(x + y - 3) - xy$ (asociativă)

a) $2 * 4$

$2 * 4 = 4(2 + 4 - 3) - 8 = 12 - 8 = 4.$

Răspuns: $4$. Barem: 3p, 2p.

b) $x * y = 4 - (x - 4)(y - 4)$

$4 - (x - 4)(y - 4) = 4 - xy + 4x + 4y - 16 = 4x + 4y - 12 - xy = x * y.$

Barem: 2p, 3p.

c) Ecuația $x * x * x = x$

$x * x = 4 - (x-4)^2$, deci $(x * x) - 4 = -(x-4)^2$ și

$x * x * x = 4 - \big(-(x-4)^2\big)(x - 4) = 4 + (x - 4)^3.$

$4 + (x-4)^3 = x \iff (x-4)^3 = x - 4 \iff (x - 4)\big((x-4)^2 - 1\big) = 0 \iff x - 4 \in \{-1, 0, 1\}.$

Răspuns: $x \in \{3, 4, 5\}$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = x\ln x - x + 1$

a) $\lim\limits_{x\to e} f(x) = 1$

$f$ este continuă, deci $\lim\limits_{x\to e} f(x) = f(e) = e\ln e - e + 1 = 1$. Barem: 2p, 3p.

b) $f'(x) = \ln x$

$f'(x) = \ln x + x\cdot\frac1x - 1 = \ln x.$

Barem: 3p, 2p.

c) $f(x) \ge 0$ pentru orice $x > 0$

$f'(1) = 0$, $f' < 0$ pe $(0, 1)$ și $f' > 0$ pe $(1, +\infty)$, deci $x = 1$ este punct de minim global:

$f(x) \ge f(1) = 0 - 1 + 1 = 0. \ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

2. $f:(-3, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 8x + 15}$

Observăm că $x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)$.

a) $\displaystyle\int_0^{2014}(x + 3)(x + 5)f(x)\,dx = 2014$

Integrandul este $1$:

$\int_0^{2014} 1\,dx = 2014.$

Barem: 2p, 3p.

b) $\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)f'(x)\,dx = -\frac{1}{144}$

$\int_{-1}^1 f f'\,dx = \frac{f^2(x)}{2}\Big|_{-1}^1 = \frac12\left(f^2(1) - f^2(-1)\right).$

$f(1) = \frac{1}{24}$, $f(-1) = \frac{1}{8}$:

$\frac12\left(\frac{1}{576} - \frac{1}{64}\right) = \frac12\cdot\frac{1 - 9}{576} = -\frac{4}{576} = -\frac{1}{144}.$

Barem: 3p, 2p.

c) $a > 0$ pentru care aria delimitată de $G_f$, $Ox$, $x = 0$, $x = a$ este $\frac12\ln\frac{10}{9}$

$f > 0$ pe $[0, a]$ și $\dfrac{1}{(x+3)(x+5)} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{x+3} - \dfrac{1}{x+5}\right)$:

$\mathcal A = \frac12\ln\frac{x + 3}{x + 5}\Big|_0^a = \frac12\left(\ln\frac{a+3}{a+5} - \ln\frac35\right) = \frac12\ln\frac{5(a+3)}{3(a+5)}.$

$\frac{5(a+3)}{3(a+5)} = \frac{10}{9} \iff 45(a + 3) = 30(a + 5) \iff 15a = 15 \iff a = 1.$

Răspuns: $a = 1$. Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$5$
I.3	$x \in \{-1, 0\}$
I.4	$4$
I.5	$a = 3$
I.6	$R = \tfrac52$
II.1.a	$3$
II.1.b	$x = 0$
II.2.a	$4$
II.2.c	$x \in \{3, 4, 5\}$
III.2.c	$a = 1$

Ce merită reținut din varianta 1

• Triunghi dreptunghic: raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză.
• Legea $a - (x - a)(y - a)$: compunerea de $n$ ori a lui $x$ dă $a \pm (x - a)^n$ — atenție la semn.
• Descompunerea în fracții simple: $\frac{1}{(x+p)(x+q)} = \frac{1}{q - p}\left(\frac{1}{x+p} - \frac{1}{x+q}\right)$.
• $\int f f'$ se calculează direct ca $\frac{f^2}{2}$.