Rezolvare BAC 2013 Matematică M2 (științe ale naturii) — Iunie–Iulie, varianta 2

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2013 la Matematică M_șt-nat, sesiunea iunie–iulie, varianta 2. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $x = 2(1 + i) - 2i$ este real

$x = 2 + 2i - 2i = 2 \in \mathbb R.$

Barem: 3p calculul, 2p concluzia.

2. Calculați $f(1)\cdot f(2)\cdot\ldots\cdot f(5)$ pentru $f(x) = x - 2$

$f(2) = 0$, deci produsul este $0$.

Răspuns: $0$. Barem: 3p $f(2) = 0$, 2p concluzia.

3. Ecuația $\sqrt{x^2 + 1} = x + 1$

Condiția $x + 1 \ge 0$. Ridicăm la pătrat:

$x^2 + 1 = x^2 + 2x + 1 \iff x = 0,$

care verifică ecuația ($\sqrt1 = 1$).

Răspuns: $x = 0$. Barem: 2p ridicarea la pătrat, 3p soluția și verificarea.

4. Probabilitatea ca un număr de două cifre să aibă produsul cifrelor 5

$5$ este prim, deci cifrele sunt $1$ și $5$: numerele $15$ și $51$ — 2 cazuri favorabile din 90 posibile.

$p = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}.$

Barem: 2p favorabile, 1p posibile, 2p probabilitatea.

5. $\overrightarrow{AB} = 2\vec i + 2\vec j$, $\overrightarrow{BC} = 2\vec i + \vec j$; lungimea lui $\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 4\vec i + 3\vec j, \qquad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{16 + 9} = 5.$

Răspuns: $5$. Barem: 3p suma, 2p lungimea.

6. $E(x) = \sin x + \cos\dfrac x2$; calculați $E\left(\frac\pi3\right)$

$E\left(\frac\pi3\right) = \sin\frac\pi3 + \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3.$

Răspuns: $\sqrt3$. Barem: 2p înlocuirea, 3p calculul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}$

a) $\det A$

$\det A = 1\cdot5 - 2\cdot3 = -1.$

Barem: 3p formula, 2p calculul.

b) $A^2 - 6A = I_2$

$A^2 = \begin{pmatrix}7 & 12\\18 & 31\end{pmatrix}, \qquad A^2 - 6A = \begin{pmatrix}7 - 6 & 12 - 12\\18 - 18 & 31 - 30\end{pmatrix} = I_2.$

Barem: 2p $A^2$, 3p diferența.

c) Inversa matricei $B = A - 6I_2$

$B = \begin{pmatrix}-5 & 2\\3 & -1\end{pmatrix}$, $\det B = 5 - 6 = -1$.

$B^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix}-1 & -2\\-3 & -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix} = A.$

(Explicație: din b), $A(A - 6I_2) = I_2$, deci $B^{-1} = A$.) Barem: 2p $B$ și determinantul, 3p inversa.

2. $x * y = \sqrt{x^2 + y^2 + 4}$ (asociativă)

a) $2 * 2$

$2 * 2 = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt3.$

Răspuns: $2\sqrt3$. Barem: 2p înlocuirea, 3p rezultatul.

b) $x * x = \sqrt{12}$

$\sqrt{2x^2 + 4} = \sqrt{12} \iff 2x^2 + 4 = 12 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm2.$

Răspuns: $x \in \{-2, 2\}$. Barem: 2p ecuația, 3p soluțiile.

c) $\underbrace{1 * 1 * \dots * 1}_{8\text{ ori}}$ este întreg

Observăm că $(x * y)^2 = x^2 + y^2 + 4$; prin inducție, pentru $n$ elemente:

$(x_1 * x_2 * \dots * x_n)^2 = x_1^2 + \dots + x_n^2 + 4(n - 1).$

Pentru opt de $1$: $(1 * \dots * 1)^2 = 8\cdot1 + 4\cdot7 = 36$, iar rezultatul legii este nenegativ, deci

$\underbrace{1 * \dots * 1}_{8} = 6 \in \mathbb Z.$

Barem: 3p formula, 2p rezultatul.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = e^x(x^2 - 6x + 9)$

a) $f'(x) = e^x(x^2 - 4x + 3)$

$f'(x) = e^x(x^2 - 6x + 9) + e^x(2x - 6) = e^x(x^2 - 4x + 3).$

Barem: 3p regula produsului, 2p simplificarea.

b) $f(x) + f''(x) = 2\big(f'(x) + e^x\big)$

$f''(x) = e^x(x^2 - 4x + 3) + e^x(2x - 4) = e^x(x^2 - 2x - 1)$.

$f(x) + f''(x) = e^x(2x^2 - 8x + 8), \qquad 2\big(f'(x) + e^x\big) = 2e^x(x^2 - 4x + 4) = e^x(2x^2 - 8x + 8).$

Răspuns: da, egalitatea are loc pentru orice $x$. Barem: 2p $f''$, 3p verificarea.

c) Punctele de extrem

$f'(x) = e^x(x - 1)(x - 3) = 0 \iff x \in \{1, 3\}$.

$x$	$(-\infty,1)$	$1$	$(1,3)$	$3$	$(3,+\infty)$
$f'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Răspuns: $x = 1$ punct de maxim, $x = 3$ punct de minim. Barem: 2p rădăcinile, 2p semnul, 1p concluzia.

2. $f:(-1,+\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$

a) $\displaystyle\int_0^1(x+1)f(x)\,dx$

$\int_0^1 x\,dx = \frac{x^2}{2}\Big|_0^1 = \frac12.$

Răspuns: $\dfrac12$. Barem: 2p simplificarea, 3p calculul.

b) $\displaystyle\int_0^1 x^2f(x)\,dx + \int_0^1x^3f(x)\,dx = \frac14$

$\int_0^1\frac{x^3 + x^4}{x+1}\,dx = \int_0^1\frac{x^3(x+1)}{x+1}\,dx = \int_0^1x^3\,dx = \frac14.$

Barem: 2p gruparea, 3p calculul.

c) Volumul corpului de rotație pentru $h = f$ pe $[0,1]$

$h(x) = 1 - \dfrac1{x+1}$, deci $h^2(x) = 1 - \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{1}{(x+1)^2}$:

$V = \pi\left(x - 2\ln(x+1) - \frac1{x+1}\right)\Big|_0^1 = \pi\left[\left(1 - 2\ln2 - \frac12\right) - (-1)\right] = \pi\left(\frac32 - 2\ln2\right).$

Răspuns: $V = \pi\left(\dfrac32 - 2\ln2\right)$. Barem: 3p dezvoltarea, 2p calculul.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$0$
I.3	$x = 0$
I.4	$p = \frac1{45}$
I.5	$5$
I.6	$\sqrt3$
II.1.a	$-1$
II.1.c	$B^{-1} = A$
II.2.a	$2\sqrt3$
II.2.b	$x = \pm2$
II.2.c	$6$
III.1.c	max în $x = 1$, min în $x = 3$
III.2.a	$\frac12$
III.2.c	$\pi\left(\frac32 - 2\ln2\right)$

Ce merită reținut din varianta 2

• Relația $A^2 - 6A = I_2$ dă imediat inversa: $A(A - 6I_2) = I_2$.
• Legi cu radical: lucrează cu pătratul legii — compunerea devine o sumă.
• Puncte de extrem: rădăcinile lui $f'$ unde derivata își schimbă semnul.
• $\frac{x}{x+1} = 1 - \frac1{x+1}$ — simplifică integralele și volumele.