Rezolvare BAC 2013 Matematică M2 (științe ale naturii) — Model oficial

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2013 la Matematică M_șt-nat, modelul oficial publicat de CNEE. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Produsul primilor trei termeni ai progresiei aritmetice cu $a_1 = 2$, $a_2 = 1$

$r = a_2 - a_1 = -1$, deci $a_3 = 0$, iar $a_1a_2a_3 = 2\cdot1\cdot0 = 0$.

Răspuns: $0$. Barem: 2p rația, 2p $a_3$, 1p produsul.

2. $m$ pentru care $x^2 - 2x - m > 0$ pentru orice $x$ real

Coeficientul dominant este pozitiv, deci condiția este $\Delta < 0$:

$\Delta = 4 + 4m < 0 \iff m < -1.$

Răspuns: $m \in (-\infty, -1)$. Barem: 3p condiția, 2p intervalul.

3. Ecuația $\log_2 x + \log_2(x - 1) = \log_2 12$

Condiții: $x > 0$ și $x - 1 > 0$, deci $x > 1$.

$\log_2\big(x(x-1)\big) = \log_2 12 \iff x^2 - x - 12 = 0 \iff x \in \{-3, 4\}.$

$x = -3$ nu convine. Răspuns: $x = 4$. Barem: 3p ecuația, 2p selectarea.

4. Probabilitatea ca un număr de trei cifre să aibă produsul cifrelor $3$

Cifrele trebuie să fie $1, 1, 3$: numerele $113, 131, 311$ — 3 cazuri favorabile din 900 posibile.

$p = \frac{3}{900} = \frac{1}{300}.$

Barem: 1p formula, 2p favorabile, 1p posibile, 1p probabilitatea.

5. $\vec a\cdot\vec b$, știind $|\vec a| = 2$, $|\vec b| = 3$ și unghiul $\frac\pi3$

$\vec a\cdot\vec b = |\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\frac\pi3 = 2\cdot3\cdot\frac12 = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 3p formula, 2p calculul.

6. Ortocentrul triunghiului $A(1,3)$, $B(0,1)$, $C(3,1)$

$BC$ este paralelă cu $Ox$ ($y_B = y_C = 1$), deci înălțimea din $A$ este dreapta verticală $x = 1$: $x_H = 1$.

$m_{AC} = \dfrac{1 - 3}{3 - 1} = -1$, iar înălțimea din $B$ este perpendiculară pe $AC$: $m_{BH} = 1$, deci $BH: y = x + 1$. Pentru $x = 1$: $y_H = 2$.

Răspuns: $H(1, 2)$. Barem: 2p $x_H$, 2p condiția de perpendicularitate, 1p $y_H$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix}0&0&1\\2n+1&n&1\\2n^2+1&n^2&1\end{pmatrix}$, $n \in \mathbb N$

a) Suma elementelor matricei

$1 + (2n + 1 + n + 1) + (2n^2 + 1 + n^2 + 1) = 3n^2 + 3n + 5.$

Răspuns: $3n^2 + 3n + 5$. Barem: 3p suma, 2p rezultatul.

b) $n$ natural cu $\det A \ne 0$

Dezvoltăm după prima linie:

$\det A = 1\cdot\begin{vmatrix}2n+1 & n\\2n^2+1 & n^2\end{vmatrix} = (2n+1)n^2 - n(2n^2 + 1) = n^2 - n = n(n-1).$

$\det A \ne 0 \iff n \notin \{0, 1\}$. Răspuns: $n \in \mathbb N\setminus\{0, 1\}$. Barem: 2p determinantul, 3p concluzia.

c) $n \ge 2$ pentru care aria triunghiului $OA_nA_{n^2}$ este $n^2 - 3$

$O(0,0)$, $A_n(2n+1, n)$, $A_{n^2}(2n^2+1, n^2)$. Determinantul ariei este exact $\det A = n^2 - n > 0$ pentru $n \ge 2$, deci

$\mathcal A = \frac12(n^2 - n) = n^2 - 3 \iff n^2 + n - 6 = 0 \iff n \in \{2, -3\}.$

Răspuns: $n = 2$. Barem: 1p formula ariei, 3p ecuația, 1p soluția.

2. $x\circ y = x + ay + 1$, $a \in \mathbb R$

a) Pentru $a = 1$: $2011\circ2012$

$2011 + 2012 + 1 = 4024.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p rezultatul.

b) $a$ pentru care legea este asociativă

$(x\circ y)\circ z = (x + ay + 1) + az + 1 = x + ay + az + 2,$

$x\circ(y\circ z) = x + a(y + az + 1) + 1 = x + ay + a^2z + a + 1.$

Egalitatea pentru orice $x, y, z$ cere $a^2 = a$ și $a + 1 = 2$, deci $a = 1$.

Răspuns: $a = 1$. Barem: 2p + 2p compunerile, 1p valoarea.

c) Pentru $a = -1$: ecuația $4^x\circ 2^x = 1$

$4^x - 2^x + 1 = 1 \iff (2^x)^2 - 2^x = 0 \iff 2^x(2^x - 1) = 0.$

$2^x > 0$, deci $2^x = 1$, adică $x = 0$. Răspuns: $x = 0$. Barem: 2p substituția, 3p soluția.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = x + \ln x$

a) $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{f(x) - f(2)}{x-2} = \frac32$

Limita este $f'(2)$, iar $f'(x) = 1 + \dfrac1x$, deci $f'(2) = \dfrac32$. Barem: 2p definiția, 2p derivata, 1p valoarea.

b) Tangenta în $x = 1$

$f(1) = 1$, $f'(1) = 2$: $y - 1 = 2(x - 1) \iff y = 2x - 1$.

Răspuns: $y = 2x - 1$. Barem: 2p formula, 2p valorile, 1p ecuația.

c) $f$ este concavă pe $(0, +\infty)$

$f''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ pentru orice $x > 0$. Barem: 2p $f''$, 2p semnul, 1p concluzia.

2. $f_n(x) = (x + n)e^x$

a) $\displaystyle\int_0^1 f_1(x)\,dx$

Prin părți:

$\int_0^1(x+1)e^x\,dx = (x+1)e^x\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = (2e - 1) - (e - 1) = e.$

Răspuns: $e$. Barem: 2p integrarea prin părți, 3p calculul.

b) $f_{2011}$ este o primitivă a lui $f_{2012}$

$f_{2011}'(x) = e^x + (x + 2011)e^x = (x + 2012)e^x = f_{2012}(x).$

Barem: 3p derivata, 2p concluzia.

c) $\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,dx \ge \frac{9n+5}{6}$

Pe $[0,1]$, $x + n > 0$ și $e^x \ge x + 1$, deci $(x + n)e^x \ge (x + n)(x + 1)$. Integrând:

$\int_0^1 f_n(x)\,dx \ge \int_0^1\big(x^2 + (n+1)x + n\big)dx = \frac13 + \frac{n+1}{2} + n = \frac{2 + 3n + 3 + 6n}{6} = \frac{9n + 5}{6}. \ \blacksquare$

Barem: 1p inegalitatea, 1p integrarea, 2p calculul, 1p finalizarea.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$0$
I.2	$m < -1$
I.3	$x = 4$
I.4	$p = \frac1{300}$
I.5	$3$
I.6	$H(1, 2)$
II.1.a	$3n^2 + 3n + 5$
II.1.b	$n \ge 2$
II.1.c	$n = 2$
II.2.a	$4024$
II.2.b	$a = 1$
II.2.c	$x = 0$
III.1.b	$y = 2x - 1$
III.2.a	$e$

Ce merită reținut din model

• Trinom pozitiv pentru orice $x$: coeficient dominant $> 0$ și $\Delta < 0$.
• Ortocentrul: intersectează două înălțimi; o latură paralelă cu o axă simplifică mult.
• Asociativitate cu parametru: identifică coeficienții lui $z$ și termenii liberi.
• Inegalitatea $e^x \ge x + 1$ permite minorarea integralelor.