Rezolvare BAC 2012 Matematică M2 (științe ale naturii) — Rezervă, varianta 3

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2012 la Matematică M2 (filiera teoretică, specializarea științe ale naturii; filiera tehnologică), sesiunea de rezervă, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Ordonați crescător $\sqrt{12}$, $2\sqrt2$ și $3$

Scriem totul sub radical: $2\sqrt2 = \sqrt8$, $3 = \sqrt9$. Cum $8 < 9 < 12$ și radicalul este crescător:

$2\sqrt2 < 3 < \sqrt{12}.$

Barem: 2p, 2p, 1p.

2. Sistemul $\begin{cases} x + y = 5\\ xy = 6\end{cases}$

$x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $t^2 - 5t + 6 = 0$, adică $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Răspuns: $S = \{(2, 3), (3, 2)\}$. Barem: 2p, 2p, 1p.

3. $f(x) = \log_2(x + 1)$, $g(x) = 2^x - 1$; calculați $f(g(1))$

$g(1) = 2 - 1 = 1$, apoi $f(1) = \log_2 2 = 1$.

Răspuns: $f(g(1)) = 1$. Barem: 2p, 3p.

4. O mulțime are 10 submulțimi cu două elemente. Numărul elementelor

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} = 10 \iff n(n-1) = 20 \iff n = 5.$

Răspuns: $n = 5$. Barem: 2p, 3p.

5. $O(0,0)$, $A(5,1)$, $B(3,5)$; lungimea medianei din $O$ în triunghiul $OAB$

Mijlocul lui $AB$: $M\left(\frac{5 + 3}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = M(4, 3)$.

$OM = \sqrt{16 + 9} = 5.$

Răspuns: $5$. Barem: 2p, 3p.

6. Triunghiul $MNP$ cu $MP = 6$, $\sin N = \frac35$, $\sin P = \frac45$. Lungimea $MN$

Teorema sinusurilor: $MN$ se opune unghiului $P$, $MP$ unghiului $N$:

$\frac{MN}{\sin P} = \frac{MP}{\sin N} \Rightarrow MN = \frac{6\cdot\frac45}{\frac35} = 8.$

Răspuns: $MN = 8$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Sistemul $\begin{cases} mx - 2y + z = 1\\ 2x - my - 3z = 3\\ x - y + 2z = 4\end{cases}$

Matricea sistemului: $A = \begin{pmatrix} m & -2 & 1\\ 2 & -m & -3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix}$.

a) Suma elementelor de pe diagonala principală este 2

$m + (-m) + 2 = 2.$

Barem: 3p, 2p.

b) $m$ pentru care $\det A \ne 0$

Regula lui Sarrus:

$\det A = -2m^2 + 6 - 2 - (-m + 3m - 8) = -2m^2 - 2m + 12 = -2(m^2 + m - 6) = -2(m + 3)(m - 2).$

Răspuns: $m \in \mathbb R\setminus\{-3, 2\}$. Barem: 3p, 2p.

c) Pentru $m = 1$: $y_1^2 = x_1z_1$

Pentru $m = 1$, $\det A = 8 \ne 0$, deci sistemul are soluție unică. Sistemul $x - 2y + z = 1$, $2x - y - 3z = 3$, $x - y + 2z = 4$ are soluția $(4, 2, 1)$:

$4 - 4 + 1 = 1,\quad 8 - 2 - 3 = 3,\quad 4 - 2 + 2 = 4. \ ✔$

(Se poate obține cu regula lui Cramer: $\Delta_x = 32$, $\Delta_y = 16$, $\Delta_z = 8$.) Atunci $y_1^2 = 4 = 4\cdot 1 = x_1z_1$. $\blacksquare$ Barem: 4p, 1p.

2. $f = X^3 + mX^2 + mX + 1$

a) Pentru $m = 0$: restul împărțirii la $X - 1$

$f = X^3 + 1$; restul este $f(1) = 2$.

Răspuns: $2$. Barem: 2p, 3p.

b) $f$ se divide cu $X + 1$

$f(-1) = -1 + m - m + 1 = 0,$

deci $X + 1 \mid f$ (teorema lui Bézout). Barem: 3p, 2p.

c) $m$ pentru care $f$ are trei rădăcini reale

$f = (X + 1)\left(X^2 + (m - 1)X + 1\right).$

$f$ are trei rădăcini reale $\iff$ factorul de gradul 2 are rădăcini reale $\iff \Delta = (m-1)^2 - 4 \ge 0 \iff m^2 - 2m - 3 \ge 0 \iff (m - 3)(m + 1) \ge 0$.

Răspuns: $m \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$. Barem: 2p, 2p, 1p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \dfrac{2x^2 - 1}{x^2 + 2}$

a) $f'(x) = \dfrac{10x}{(x^2 + 2)^2}$

$f'(x) = \frac{4x(x^2 + 2) - 2x(2x^2 - 1)}{(x^2+2)^2} = \frac{4x^3 + 8x - 4x^3 + 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{10x}{(x^2+2)^2}.$

Barem: 3p, 2p.

b) Asimptota orizontală spre $+\infty$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2 - 1}{x^2 + 2} = 2.$

Răspuns: $y = 2$. Barem: 3p, 2p.

c) $-\frac12 \le f(x) \le \frac13$ pentru $x \in [0, 1]$

Pe $[0, 1]$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare. Atunci

$f(0) \le f(x) \le f(1) \iff -\frac12 \le f(x) \le \frac13. \ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

2. $I_n = \displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{x + 1}\,dx$

a) $I_1$

$I_1 = \int_0^1\frac{x}{x+1}\,dx = \int_0^1\left(1 - \frac{1}{x+1}\right)dx = \big(x - \ln(x+1)\big)\Big|_0^1 = 1 - \ln 2.$

Răspuns: $I_1 = 1 - \ln 2$. Barem: 2p, 3p.

b) $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$

$I_n + I_{n+1} = \int_0^1\frac{x^n + x^{n+1}}{x + 1}\,dx = \int_0^1\frac{x^n(x + 1)}{x + 1}\,dx = \int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n+1}.$

Barem: 2p, 3p.

c) $\dfrac{1}{4026} \le I_{2012} \le \dfrac{1}{2013}$

Pentru $x \in [0, 1]$: $1 \le x + 1 \le 2$, deci $\dfrac{x^{2012}}{2} \le \dfrac{x^{2012}}{x + 1} \le x^{2012}$. Integrăm:

$\frac12\cdot\frac{1}{2013} \le I_{2012} \le \frac{1}{2013} \iff \frac{1}{4026} \le I_{2012} \le \frac{1}{2013}. \ \blacksquare$

Barem: 2p, 1p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$2\sqrt2 < 3 < \sqrt{12}$
I.2	$\{(2,3), (3,2)\}$
I.3	$1$
I.4	$n = 5$
I.5	$5$
I.6	$MN = 8$
II.1.b	$m \in \mathbb R\setminus\{-3, 2\}$
II.1.c	$(4, 2, 1)$
II.2.a	$2$
II.2.c	$m \in (-\infty,-1]\cup[3,+\infty)$
III.1.b	$y = 2$
III.2.a	$1 - \ln 2$

Ce merită reținut din varianta 3

• Compararea radicalilor: introdu factorii sub radical și compară radicanzii.
• Sisteme sumă–produs se rezolvă cu ecuația $t^2 - St + P = 0$.
• Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
• Polinoame reciproce ($X^3 + mX^2 + mX + 1$) au rădăcina $-1$.
• Încadrarea integralelor prin încadrarea numitorului pe interval.