Rezolvare BAC 2011 Matematică M2 (științe ale naturii) — Rezervă, varianta 3

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2011 la Matematică M2 (filiera teoretică, specializarea științe ale naturii; filiera tehnologică), sesiunea de rezervă, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $\log_6 3 + \log_6 12$

$\log_6 3 + \log_6 12 = \log_6 36 = \log_6 6^2 = 2.$

Răspuns: $2$. Barem: 3p, 2p.

2. Coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $f(x) = 2x^2 - x + 3$

$x_V = -\frac{b}{2a} = \frac14, \qquad \Delta = 1 - 24 = -23, \qquad y_V = -\frac{\Delta}{4a} = \frac{23}{8}.$

Răspuns: $V\left(\dfrac14, \dfrac{23}{8}\right)$. Barem: 2p, 1p, 2p.

3. Ecuația $7^x + 7^{x+1} = 392$

$7^x + 7\cdot 7^x = 392 \iff 8\cdot 7^x = 392 \iff 7^x = 49 \iff x = 2.$

Răspuns: $x = 2$. Barem: 1p, 2p, 2p.

4. $n \ge 2$ cu $C_n^2 = 4A_n^1$

$\frac{n(n-1)}{2} = 4n \iff \frac{n-1}{2} = 4 \iff n = 9$

(am împărțit la $n \ne 0$).

Răspuns: $n = 9$. Barem: 2p, 2p, 1p.

5. $A(0, -2)$, $B(4, m)$; $m$ cu $AB = 5$

$\sqrt{(4 - 0)^2 + (m + 2)^2} = 5 \iff 16 + (m+2)^2 = 25 \iff m^2 + 4m - 5 = 0 \iff (m + 5)(m - 1) = 0.$

Răspuns: $m \in \{-5, 1\}$. Barem: 1p, 2p, 2p.

6. $\cos 40^\circ + \cos 140^\circ$

$\cos 140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos 40^\circ$, deci suma este $0$.

Răspuns: $0$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} m & -1 & 1\\ 1 & m & -1\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}$ și sistemul $\begin{cases} mx - y + z = 0\\ x + my - z = 0\\ x - 2y + z = 0\end{cases}$

a) $\det A$

$\det A = m^2 + 1 - 2 - (m + 2m - 1) = m^2 - 3m.$

Răspuns: $\det A = m^2 - 3m$. Barem: 3p, 2p.

b) $m$ pentru care $(-1, 2, 5)$ este soluție

Înlocuim în cele trei ecuații:

$\begin{cases} -m - 2 + 5 = 0\\ -1 + 2m - 5 = 0\\ -1 - 4 + 5 = 0\end{cases} \iff \begin{cases} m = 3\\ m = 3\\ 0 = 0\end{cases}$

Răspuns: $m = 3$. Barem: 3p, 2p.

c) $m$ pentru care sistemul admite doar soluția $(0, 0, 0)$

Sistemul este omogen; are doar soluția nulă $\iff \det A \ne 0 \iff m(m - 3) \ne 0$.

Răspuns: $m \in \mathbb R\setminus\{0, 3\}$. Barem: 2p, 3p.

2. $x * y = xy + x + y$

a) Legea este asociativă

$(x * y) * z = (xy + x + y)z + xy + x + y + z = xyz + xy + xz + yz + x + y + z,$ $x * (y * z) = x(yz + y + z) + x + yz + y + z = xyz + xy + xz + yz + x + y + z.$

Expresiile coincid. (Observație: $x * y = (x+1)(y+1) - 1$.) Barem: 2p, 2p, 1p.

b) Elementul neutru

$x * e = xe + x + e = x \iff e(x + 1) = 0$ pentru orice $x$, deci $e = 0$ (și $0 * x = x$).

Răspuns: $e = 0$. Barem: 2p, 1p, 2p.

c) Ecuația $x^2 * 2 = x * 4$

$x^2 * 2 = 2x^2 + x^2 + 2 = 3x^2 + 2$, iar $x * 4 = 4x + x + 4 = 5x + 4$.

$3x^2 + 2 = 5x + 4 \iff 3x^2 - 5x - 2 = 0 \iff (3x + 1)(x - 2) = 0.$

Răspuns: $x \in \left\{-\dfrac13, 2\right\}$. Barem: 1p, 1p, 1p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:\mathbb R\setminus\{1\} \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x + 2}{(x - 1)^2}$

a) $f'(x) = \dfrac{-x - 5}{(x - 1)^3}$

$f'(x) = \frac{(x-1)^2 - (x+2)\cdot 2(x - 1)}{(x-1)^4} = \frac{(x - 1) - 2(x + 2)}{(x-1)^3} = \frac{-x - 5}{(x-1)^3}.$

Barem: 3p, 2p.

b) Asimptota verticală

$f$ este continuă pe $\mathbb R\setminus\{1\}$ și $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x + 2}{(x-1)^2} = \dfrac{3}{0^+} = +\infty$.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p, 2p.

c) $f(x) + \dfrac{1}{12} \ge 0$ pentru $x \in (-\infty, 1)$

Pe $(-\infty, 1)$, $(x - 1)^3 < 0$, deci semnul lui $f'$ este opus semnului lui $-x - 5$:

• $x < -5$: $-x - 5 > 0$, $f' < 0$, $f$ descrescătoare;
• $-5 < x < 1$: $-x - 5 < 0$, $f' > 0$, $f$ crescătoare.

Deci $x = -5$ este punct de minim global pe $(-\infty, 1)$:

$f(x) \ge f(-5) = \frac{-3}{36} = -\frac{1}{12} \Rightarrow f(x) + \frac{1}{12} \ge 0. \ \blacksquare$

Barem: 1p, 2p, 2p.

2. $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln x}{x}, & x > 1\\[2mm] \dfrac{x - 1}{x}, & 0 < x \le 1\end{cases}$

a) $\displaystyle\int_2^e\frac{f(x)}{\ln x}\,dx$

Pe $[2, e]$, $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, deci $\frac{f(x)}{\ln x} = \frac1x$:

$\int_2^e\frac1x\,dx = \ln x\Big|_2^e = 1 - \ln 2.$

Răspuns: $1 - \ln 2$. Barem: 3p, 2p.

b) Primitiva lui $g = f|_{(0,1]}$ al cărei grafic conține $A(1, 5)$

$g(x) = \dfrac{x - 1}{x} = 1 - \dfrac1x$, deci primitivele sunt $G(x) = x - \ln x + c$.

$G(1) = 5 \iff 1 - 0 + c = 5 \iff c = 4$.

Răspuns: $G(x) = x - \ln x + 4$. Barem: 1p, 1p, 1p, 1p, 1p.

c) $\displaystyle\int_{1/2}^e f(x)\,dx$

Împărțim intervalul în punctul $1$:

$\int_{1/2}^1\left(1 - \frac1x\right)dx = (x - \ln x)\Big|_{1/2}^1 = 1 - \left(\frac12 + \ln 2\right) = \frac12 - \ln 2,$

$\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e = \frac12.$

$\int_{1/2}^e f(x)\,dx = \frac12 - \ln 2 + \frac12 = 1 - \ln 2.$

Răspuns: $1 - \ln 2$. Barem: 2p, 1p, 1p, 1p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$2$
I.2	$V(\tfrac14, \tfrac{23}{8})$
I.3	$x = 2$
I.4	$n = 9$
I.5	$m \in \{-5, 1\}$
I.6	$0$
II.1.a	$m^2 - 3m$
II.1.b	$m = 3$
II.1.c	$m \in \mathbb R\setminus\{0, 3\}$
II.2.b	$e = 0$
II.2.c	$x \in \{-\tfrac13, 2\}$
III.1.b	$x = 1$
III.2.a	$1 - \ln 2$
III.2.b	$G(x) = x - \ln x + 4$
III.2.c	$1 - \ln 2$

Ce merită reținut din varianta 3

• Sistem omogen: are doar soluția nulă exact când determinantul este nenul.
• Verificarea unei soluții date înseamnă înlocuire în toate ecuațiile — toate trebuie să dea aceeași valoare a parametrului.
• Funcții definite pe ramuri: integrala se împarte în punctul de racord.
• Primitiva care trece printr-un punct: găsești constanta $c$ din $G(x_0) = y_0$.