Rezolvare BAC 2010 Matematică M2 (științe ale naturii) — Iunie–Iulie, varianta 9

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2010 la Matematică M2 (profil real, științele naturii, și filiera tehnologică), sesiunea iunie–iulie, varianta 9. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Calculați $\log_2\frac18 + \sqrt[3]{27}$

$\log_2\dfrac18 = \log_2 2^{-3} = -3$, $\sqrt[3]{27} = 3$. Suma: $-3 + 3 = 0$.

Barem: 2p logaritmul, 2p radicalul, 1p rezultatul.

2. Vârful parabolei $f(x) = x^2 - 2x + 3$

$x_V = -\frac{b}{2a} = 1, \qquad y_V = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{4 - 12}{4} = 2.$

Răspuns: $V(1, 2)$. Barem: 2p + 2p + 1p.

3. Ecuația $2 - 3^{x^2-1} = 1$

$3^{x^2-1} = 1 = 3^0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff x \in \{-1, 1\}.$

Răspuns: $x \in \{-1, 1\}$. Barem: 1p + 2p + 2p.

4. Numere de trei cifre distincte cu cifre din $\{1,2,3,4\}$

Aranjamente de 4 luate câte 3:

$A_4^3 = 4\cdot3\cdot2 = 24.$

Răspuns: 24. Barem: 2p formula, 3p calculul.

5. $\vec w = 2\vec v_1 - \vec v_2$, $\vec v_1 = 2\vec i - \vec j$, $\vec v_2 = \vec i + 3\vec j$

$\vec w = 4\vec i - 2\vec j - \vec i - 3\vec j = 3\vec i - 5\vec j.$

Răspuns: $\vec w(3, -5)$. Barem: 2p + 3p.

6. Înălțimea din $A$ în triunghiul dreptunghic cu catetele $3$ și $4$

Ipotenuza: $BC = \sqrt{9 + 16} = 5$. Din aria scrisă în două moduri: $AB\cdot AC = BC\cdot h$.

$h = \frac{AB\cdot AC}{BC} = \frac{12}{5}.$

Răspuns: $h = \dfrac{12}{5}$. Barem: 2p ipotenuza, 3p înălțimea.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$

a) $A^2 - A$

$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad A^2 - A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I_2.$

Barem: 3p $A^2$, 2p diferența.

b) Inversa lui $A$

$\det A = 0 - 1 = -1 \ne 0$. Adjuncta: $A^* = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$, deci

$A^{-1} = \frac{1}{-1}A^* = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}.$

(Sau direct din a): $A(A - I_2) = I_2$, deci $A^{-1} = A - I_2$.) Barem: 1p + 2p + 2p.

c) $A\cdot X = \begin{pmatrix} 2010 & 2010\\ 2009 & 2010\end{pmatrix}$

$X = A^{-1}\begin{pmatrix} 2010 & 2010\\ 2009 & 2010\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2010 & 2010\\ 2009 & 2010\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2009 & 2010\\ 1 & 0\end{pmatrix}.$

Barem: 2p + 2p + 1p.

2. $f = X^2 + X$, $g = X^2 + \hat2X + a$ în $\mathbb Z_3[X]$

a) $f(\hat0) + f(\hat1)$

$f(\hat0) = \hat0$, $f(\hat1) = \hat2$, suma este $\hat2$.

Barem: 2p + 2p + 1p.

b) Rădăcinile lui $f$

$f(\hat0) = \hat0$, $f(\hat1) = \hat2$, $f(\hat2) = \hat4 + \hat2 = \hat6 = \hat0$.

Răspuns: $\hat0$ și $\hat2$. Barem: 3p valorile, 2p rădăcinile.

c) $f(\hat0) + f(\hat1) + f(\hat2) = g(\hat0) + g(\hat1) + g(\hat2)$

Membrul stâng: $\hat0 + \hat2 + \hat0 = \hat2$.

$g(\hat0) = a$, $g(\hat1) = \hat1 + \hat2 + a = a$, $g(\hat2) = \hat4 + \hat4 + a = \hat2 + a$. Suma: $3a + \hat2 = \hat2$ (căci $3a = \hat0$ în $\mathbb Z_3$). Egalitate pentru orice $a$. $\blacksquare$ Barem: 2p + 2p + 1p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = x^2e^x$

a) $f'(x)$

$f'(x) = 2xe^x + x^2e^x = (x^2 + 2x)e^x.$

Barem: 2p + 3p.

b) $f$ descrescătoare pe $[-2, 0]$

$f'(x) = x(x+2)e^x$. Pe $[-2, 0]$: $x \le 0$, $x + 2 \ge 0$, $e^x > 0$, deci $f'(x) \le 0$ și $f$ este descrescătoare. Barem: 2p semnul, 3p concluzia.

c) $0 \le f(x) + f(x^2) \le \frac{e^2+1}{e}$ pentru $x\in[-1,0]$

• $f$ descrescătoare pe $[-1, 0]$: $f(0) \le f(x) \le f(-1)$, adică $0 \le f(x) \le \dfrac1e$.
• Pe $[0, +\infty)$, $f' \ge 0$, deci $f$ e crescătoare; $x^2 \in [0,1]$, deci $f(0) \le f(x^2) \le f(1)$, adică $0 \le f(x^2) \le e$.

Adunând: $0 \le f(x) + f(x^2) \le \dfrac1e + e = \dfrac{e^2 + 1}{e}$. $\blacksquare$ Barem: 1p + 2p + 2p.

2. $f:\mathbb R^*\to\mathbb R$, $f(x) = x + \frac1x$

a) $\displaystyle\int_1^3\left(f(x) - \frac1x\right)dx$

$\int_1^3 x\,dx = \frac{x^2}{2}\Big|_1^3 = \frac92 - \frac12 = 4.$

Barem: 2p + 2p + 1p.

b) Volumul pentru $g = f$ pe $[1,2]$

$g^2(x) = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$:

$V = \pi\int_1^2\left(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\right)dx = \pi\left(\frac{x^3}{3} + 2x - \frac1x\right)\Big|_1^2 = \pi\left(\frac{37}{6} - \frac43\right) = \frac{29\pi}{6}.$

(Calcul: în $2$: $\frac83 + 4 - \frac12 = \frac{37}{6}$; în $1$: $\frac13 + 2 - 1 = \frac43$.) Barem: 1p + 1p + 2p + 1p.

c) $\displaystyle\int_1^e f(x)\ln x\,dx$

$\int_1^e x\ln x\,dx + \int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx.$

• Prin părți: $\displaystyle\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}$, deci $\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac14 = \frac{e^2 + 1}{4}$.
• $\displaystyle\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e = \frac12$.

$\frac{e^2 + 1}{4} + \frac12 = \frac{e^2 + 3}{4}.$

Răspuns: $\dfrac{e^2 + 3}{4}$. Barem: 1p + 2p + 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$0$
I.2	$V(1, 2)$
I.3	$x \in \{-1, 1\}$
I.4	24
I.5	$\vec w(3, -5)$
I.6	$\frac{12}{5}$
II.1.a	$I_2$
II.1.b	$A^{-1} = \begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}$
II.1.c	$X = \begin{pmatrix}2009&2010\\1&0\end{pmatrix}$
II.2.b	$\hat0$, $\hat2$
III.2.a	$4$
III.2.b	$\frac{29\pi}{6}$
III.2.c	$\frac{e^2+3}{4}$

Ce merită reținut din varianta 9

• Înălțimea pe ipotenuză: $h = \dfrac{c_1c_2}{ip}$.
• Dacă $A^2 - A = I_2$, atunci $A^{-1} = A - I_2$ fără calcul de adjunctă.
• În $\mathbb Z_3$, $3a = \hat0$ pentru orice $a$ — de aici independența de $a$.
• $\int\frac{\ln x}{x}dx = \frac{\ln^2 x}{2}$ și $\int x\ln x\,dx$ prin părți sunt clasice.