Rezolvare BAC 2011 Matematică M2 (științe ale naturii) — Iunie–Iulie, varianta 5

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2011 la Matematică (M2 — științe ale naturii / filiera tehnologică), sesiunea iunie–iulie, varianta 5. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $x - 1$, $x + 1$, $3x - 1$ termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice

Termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor:

$2(x + 1) = (x - 1) + (3x - 1) \iff 2x + 2 = 4x - 2 \iff x = 2.$

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = 5 - x$; $f(0)\cdot f(1)\cdot\ldots\cdot f(10)$

$f(5) = 0$ este unul dintre factori, deci produsul este $0$.

Răspuns: $0$. Barem: 3p, 2p.

3. $\sqrt{x - 1} = x - 3$

Condiții: $x \ge 1$ și $x - 3 \ge 0$, deci $x \ge 3$. Ridicăm la pătrat:

$x - 1 = (x - 3)^2 \iff x^2 - 7x + 10 = 0 \iff x \in \{2, 5\}.$

$x = 2 \notin [3, \infty)$, deci rămâne $x = 5$ (verificare: $\sqrt4 = 2$ ✔).

Răspuns: $x = 5$. Barem: 1p, 2p, 1p, 1p.

4. Submulțimi ordonate cu 2 elemente dintr-o mulțime cu 7 elemente

$A_7^2 = \frac{7!}{5!} = 7\cdot 6 = 42.$

Răspuns: 42. Barem: 2p, 3p.

5. Distanța de la $A(2,3)$ la intersecția dreptelor $2x - y - 6 = 0$ și $-x + 2y - 6 = 0$

Din prima, $y = 2x - 6$; înlocuind: $-x + 4x - 12 - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$, $y = 6$.

$d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5.$

Răspuns: $5$. Barem: 2p, 2p, 1p.

6. $\cos M$ în triunghiul $MNP$ cu $MN = 4$, $MP = 5$, $NP = 6$

Teorema cosinusului:

$\cos M = \frac{MN^2 + MP^2 - NP^2}{2\cdot MN\cdot MP} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac18.$

Răspuns: $\cos M = \dfrac18$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -2 & 2\end{pmatrix}$, $X(a) = I_2 + aA$, $a \in \mathbb Z$

a) $A^2 - 3A$

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 + 2 & -1 - 2\\ -2 - 4 & 2 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -3\\ -6 & 6\end{pmatrix} = 3A \Rightarrow A^2 - 3A = O_2.$

Barem: 3p, 1p, 1p.

b) $X(a)X(b) = X(a + b + 3ab)$

$X(a)X(b) = I_2 + aA + bA + abA^2 = I_2 + (a + b + 3ab)A = X(a + b + 3ab).$

Barem: 2p, 1p, 2p.

c) $X(a)$ este inversabilă pentru orice $a \in \mathbb Z$

$X(a) = \begin{pmatrix} 1 + a & -a\\ -2a & 1 + 2a\end{pmatrix}, \quad \det X(a) = (1 + a)(1 + 2a) - 2a^2 = 1 + 3a.$

$\det X(a) = 0 \iff a = -\dfrac13 \notin \mathbb Z$, deci pentru orice $a$ întreg determinantul este nenul și $X(a)$ e inversabilă. $\blacksquare$ Barem: 2p, 1p, 1p, 1p.

2. $f = X^3 + 2X^2 - 5X + m$, cu rădăcinile $x_1, x_2, x_3$

Viète: $x_1 + x_2 + x_3 = -2$, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -5$, $x_1x_2x_3 = -m$.

a) $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$

$(-2)^2 - 2(-5) = 4 + 10 = 14.$

Răspuns: $14$. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) $m \ne 0$ cu $x_1 + x_2 + x_3 = \dfrac1{x_1} + \dfrac1{x_2} + \dfrac1{x_3}$

$\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \frac1{x_3} = \frac{-5}{-m} = \frac5m, \qquad -2 = \frac5m \iff m = -\frac52.$

Răspuns: $m = -\dfrac52$. Barem: 1p, 2p, 2p.

c) $\Delta = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3\\ x_2 & x_3 & x_1\\ x_3 & x_1 & x_2\end{vmatrix}$ este natural

Cu regula lui Sarrus: $\Delta = 3x_1x_2x_3 - (x_1^3 + x_2^3 + x_3^3)$, iar identitatea $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ dă

$\Delta = (x_1 + x_2 + x_3)\big(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2\big) = -2(-5 - 14) = 38 \in \mathbb N.$

Valoarea nu depinde de $m$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:[1, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = e^x - \dfrac1x$

a) $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2}$

Este $f'(2)$; $f'(x) = e^x + \dfrac1{x^2}$, deci limita este $e^2 + \dfrac14$.

Răspuns: $e^2 + \dfrac14$. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) $f(x) > 0$ pe $[1, +\infty)$

$f'(x) > 0$, deci $f$ e crescătoare: $f(x) \ge f(1) = e - 1 > 0$. Barem: 2p, 3p.

c) Graficul nu admite asimptotă spre $+\infty$

$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ — nu există asimptotă orizontală.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{e^x}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right) = +\infty$ — nu există asimptotă oblică. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = \sqrt{x^2 + 10}$

a) Volumul pentru $g = f|_{[0,3]}$

$V = \pi\int_0^3(x^2 + 10)\,dx = \pi\left(\frac{x^3}{3} + 10x\right)\Big|_0^3 = \pi(9 + 30) = 39\pi.$

Răspuns: $39\pi$. Barem: 2p, 3p.

b) Orice primitivă $F$ este crescătoare

$F'(x) = f(x) = \sqrt{x^2 + 10} > 0$ pentru orice $x$, deci $F$ este crescătoare. Barem: 2p, 3p.

c) $\displaystyle\int_{-10}^{10} f(x)\,dx = 2\int_0^{10} f(x)\,dx$

Împărțim: $\displaystyle\int_{-10}^{10} = \int_{-10}^{0} + \int_0^{10}$. În prima substituim $x = -t$, $dx = -dt$; $f$ este pară ($f(-t) = f(t)$):

$\int_{-10}^{0} f(x)\,dx = \int_{10}^{0} f(-t)(-dt) = \int_0^{10} f(t)\,dt.$

Deci totalul este $2\displaystyle\int_0^{10} f(x)\,dx$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 2p, 1p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$x = 2$
I.2	$0$
I.3	$x = 5$
I.4	42
I.5	$5$
I.6	$\cos M = \tfrac18$
II.1.a	$O_2$
II.2.a	$14$
II.2.b	$m = -\tfrac52$
II.2.c	$\Delta = 38$
III.1.a	$e^2 + \tfrac14$
III.2.a	$39\pi$

Ce merită reținut din varianta 5

• Trei termeni consecutivi în progresie aritmetică: $2b = a + c$.
• Ecuații iraționale: pune condiția ca membrul drept să fie $\ge 0$ înainte de ridicarea la pătrat.
• Determinantul circulant $= -(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$; combină cu Viète.
• Funcții pare: $\int_{-a}^a f = 2\int_0^a f$.