Rezolvare BAC 2011 Matematică M2 (științe ale naturii) — Rezervă, varianta 10

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2011 la Matematică (M2 — științe ale naturii / filiera tehnologică), sesiunea de rezervă, varianta 10. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $\log_7(3 + \sqrt2) + \log_7(3 - \sqrt2)$

$\log_7\big((3 + \sqrt2)(3 - \sqrt2)\big) = \log_7(9 - 2) = \log_7 7 = 1.$

Răspuns: $1$. Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = x^2 + ax + b$ cu graficul prin $A(2,3)$ și $B(-1,0)$

$f(2) = 3 \Rightarrow 2a + b = -1, \qquad f(-1) = 0 \Rightarrow -a + b = -1.$

Scăzând: $3a = 0$, deci $a = 0$, $b = -1$.

Răspuns: $a = 0$, $b = -1$. Barem: 2p, 2p, 1p.

3. $3^x + 3^{x+1} = 36$

$3^x(1 + 3) = 36 \iff 3^x = 9 \iff x = 2$.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 2p, 2p, 1p.

4. Probabilitatea ca un număr din $\{10, 11, \dots, 99\}$ să fie divizibil cu 4

90 cazuri posibile. Multiplii lui 4: $12, 16, \dots, 96$, adică $\dfrac{96 - 12}{4} + 1 = 22$ favorabile.

$p = \frac{22}{90} = \frac{11}{45}.$

Răspuns: $p = \dfrac{11}{45}$. Barem: 1p, 2p, 1p, 1p.

5. Coordonatele vectorului $\vec{OM} + \vec{ON}$, $M(2,-1)$, $N(-1,3)$

$\vec{OM} + \vec{ON} = (2\vec i - \vec j) + (-\vec i + 3\vec j) = \vec i + 2\vec j.$

Răspuns: $(1, 2)$. Barem: 3p, 2p.

6. Latura triunghiului echilateral cu aria $4\sqrt3$

$\frac{l^2\sqrt3}{4} = 4\sqrt3 \iff l^2 = 16 \iff l = 4.$

Răspuns: $l = 4$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Punctele $A_n(2^n, 3^n)$, $n \in \mathbb N$

a) Ecuația dreptei $A_0A_1$

$A_0(1, 1)$, $A_1(2, 3)$:

$\begin{vmatrix} x & y & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 1\end{vmatrix} = 0 \iff x(1 - 3) - y(1 - 2) + (3 - 2) = 0 \iff -2x + y + 1 = 0.$

Răspuns: $y = 2x - 1$. Barem: 1p, 2p, 2p.

b) $A_1, A_2, A_3$ nu sunt coliniare

$A_1(2,3)$, $A_2(4,9)$, $A_3(8,27)$:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1\\ 4 & 9 & 1\\ 8 & 27 & 1\end{vmatrix} = 2(9 - 27) - 3(4 - 8) + (108 - 72) = -36 + 12 + 36 = 12 \ne 0.$

Determinantul nenul arată că punctele nu sunt coliniare. Barem: 1p, 4p.

c) $n$ cu aria triunghiului $A_nA_{n+1}A_{n+2}$ egală cu $216$

Notăm $a = 2^n$, $b = 3^n$. Scăzând liniile consecutive:

$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & 1\\ 2a & 3b & 1\\ 4a & 9b & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & 1\\ a & 2b & 0\\ 2a & 6b & 0\end{vmatrix} = 6ab - 4ab = 2ab = 2\cdot 6^n.$

Aria $= \dfrac12|\Delta| = 6^n = 216 = 6^3$.

Răspuns: $n = 3$. Barem: 1p, 3p, 1p.

2. Legea $x\circ y = \dfrac12(xy - x - y + 3)$ (asociativă)

a) $e = 3$ este element neutru?

$x\circ 3 = \tfrac12(3x - x - 3 + 3) = x, \qquad 3\circ x = \tfrac12(3x - 3 - x + 3) = x.$

Da, $e = 3$ este elementul neutru. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) Simetricul lui $2$

Căutăm $a$ cu $2\circ a = a\circ 2 = 3$ (comutativitatea e evidentă):

$\tfrac12(2a - 2 - a + 3) = 3 \iff a + 1 = 6 \iff a = 5.$

Răspuns: $5$. Barem: 1p, 1p, 1p, 2p.

c) $H = \{2k + 1 \mid k \in \mathbb Z\}$ este parte stabilă

Fie $x = 2k + 1$, $y = 2p + 1$. Atunci $xy - x - y + 3 = (x - 1)(y - 1) + 2 = 4kp + 2$, deci

$x\circ y = 2kp + 1 \in H. \ \blacksquare$

Barem: 1p, 2p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \ln x + e^x$

a) $xf'(x) = 1 + xe^x$

$f'(x) = \dfrac1x + e^x$, deci $xf'(x) = 1 + xe^x$. Barem: 3p, 2p.

b) Tangenta în $A(1, e)$

$f(1) = e$, $f'(1) = 1 + e$:

$y - e = (1 + e)(x - 1) \iff y = (e + 1)x - 1.$

Barem: 2p, 2p, 1p.

c) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$

Cazul $\frac\infty\infty$; cu l'Hospital:

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac1x + e^x}{1} = +\infty.$

Răspuns: $+\infty$. Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$

a) Aria între grafic, $Ox$, $x = 0$, $x = 1$

$f > 0$ ($\Delta = 4 - 12 < 0$), deci

$\mathcal A = \int_0^1(3x^2 + 2x + 1)\,dx = (x^3 + x^2 + x)\Big|_0^1 = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 3p, 2p.

b) Orice primitivă este concavă pe $\left(-\infty, -\dfrac13\right]$

$g' = f$, deci $g''(x) = f'(x) = 6x + 2 < 0$ pentru $x < -\dfrac13$; $g$ este concavă pe acest interval. Barem: 2p, 1p, 2p.

c) $\displaystyle\int_0^a f(x)\,dx \ge 3a^2 + 2$ pentru $a \ge 2$

$\int_0^a f(x)\,dx = a^3 + a^2 + a.$

$a^3 + a^2 + a - 3a^2 - 2 = a^3 - 2a^2 + a - 2 = a^2(a - 2) + (a - 2) = (a - 2)(a^2 + 1) \ge 0$

pentru $a \ge 2$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$1$
I.2	$a = 0$, $b = -1$
I.3	$x = 2$
I.4	$p = \tfrac{11}{45}$
I.5	$(1, 2)$
I.6	$l = 4$
II.1.a	$y = 2x - 1$
II.1.c	$n = 3$
II.2.a	da, $e = 3$
II.2.b	$5$
III.1.b	$y = (e+1)x - 1$
III.1.c	$+\infty$
III.2.a	$3$

Ce merită reținut din varianta 10

• Coliniaritate și arie cu determinanți: $\mathcal A = \frac12|\Delta|$, iar $\Delta = 0$ înseamnă puncte coliniare.
• Parte stabilă: scrie elementele generic ($2k+1$) și arată că rezultatul are aceeași formă.
• Factorizare prin grupare: $a^3 - 2a^2 + a - 2 = (a-2)(a^2+1)$.