Rezolvare BAC 2010 Matematică M2 (științe ale naturii) — Rezervă, varianta 10

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2010 la Matematică (M2 — științe ale naturii / filiera tehnologică), sesiunea de rezervă, varianta 10. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresia aritmetică cu $a_3 = 5$, $a_5 = 11$: suma primilor șapte termeni

$\begin{cases} a_1 + 2r = 5\\ a_1 + 4r = 11\end{cases} \Rightarrow 2r = 6,\ r = 3,\ a_1 = -1.$

$a_7 = a_1 + 6r = 17$, iar $S_7 = \dfrac{(a_1 + a_7)\cdot 7}{2} = \dfrac{16\cdot 7}{2} = 56$.

Răspuns: $S_7 = 56$. Barem: 3p, 2p.

2. Intersecția graficelor lui $f(x) = 2x - 1$ și $g(x) = x + 3$

$2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$, iar $y = g(4) = 7$.

Răspuns: $A(4, 7)$. Barem: 2p, 2p, 1p.

3. $\sqrt[3]{x^2 - 1} = 2$

Ridicăm la cub: $x^2 - 1 = 8 \iff x^2 = 9 \iff x = \pm3$.

Răspuns: $x \in \{-3, 3\}$. Barem: 3p, 2p.

4. $a\cdot b$, știind $a + b = 150$ și $a$ este $25\%$ din $b$

$a = \dfrac{b}{4}$, deci $\dfrac b4 + b = 150 \iff \dfrac{5b}{4} = 150 \iff b = 120$, $a = 30$.

Răspuns: $a\cdot b = 3600$. Barem: 3p, 1p, 1p.

5. $A(2,3)$, $B(4,5)$, $C(m + 1, m^2)$ coliniare

Dreapta $AB$: $\dfrac{x - 2}{2} = \dfrac{y - 3}{2} \iff y = x + 1$. $C \in AB \iff m^2 = m + 2 \iff m^2 - m - 2 = 0 \iff (m - 2)(m + 1) = 0$.

Răspuns: $m \in \{-1, 2\}$. Barem: 2p, 1p, 2p.

6. $\cos x$, știind $\sin x = \dfrac13$, $x \in \left(0, \dfrac\pi2\right)$

$\cos^2 x = 1 - \dfrac19 = \dfrac89$, deci $\cos x = \pm\dfrac{2\sqrt2}{3}$. În cadranul I cosinusul este pozitiv.

Răspuns: $\cos x = \dfrac{2\sqrt2}{3}$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} m & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & m\end{pmatrix}$, sistemul $\begin{cases} mx + y = -1\\ x + y + z = 3\\ x + y + mz = 0\end{cases}$

a) $\det(A)$

$\det A = m\cdot1\cdot m + 1\cdot1\cdot1 + 0 - 0 - m\cdot1\cdot1 - 1\cdot1\cdot m = m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2.$

Răspuns: $\det A = m^2 - 2m + 1$. Barem: 1p, 4p.

b) Sistemul pentru $m = 0$

$y = -1$; $x + y + z = 3$; $x + y = 0$. Din ultima, $x = 1$; din a doua, $z = 3 - x - y = 3$.

Răspuns: $(x, y, z) = (1, -1, 3)$. Barem: 2p, 3p.

c) Pentru $m = 1$ sistemul este incompatibil

Sistemul devine $x + y = -1$, $x + y + z = 3$, $x + y + z = 0$. Ultimele două ecuații dau $3 = 0$ — contradicție, deci sistemul este incompatibil. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

2. Legea $x * y = (x - 4)(y - 4) + 4$

a) Asociativitatea

$(x * y) * z = (x * y - 4)(z - 4) + 4 = (x - 4)(y - 4)(z - 4) + 4,$

$x * (y * z) = (x - 4)(y * z - 4) + 4 = (x - 4)(y - 4)(z - 4) + 4.$

Expresiile coincid pentru orice $x, y, z$. Barem: 5 × 1p.

b) $x * y \in (4, +\infty)$ pentru $x, y \in (4, +\infty)$

$x - 4 > 0$, $y - 4 > 0$, deci $(x - 4)(y - 4) > 0$ și $x * y > 4$. Barem: 3p, 2p.

c) $1 * 2 * 3 * \ldots * 2010$

$x * 4 = 4 * x = 4$ pentru orice $x$ (element absorbant). Grupând:

$(1 * 2 * 3) * 4 * (5 * \ldots * 2010) = 4.$

Răspuns: $4$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:\mathbb R^* \to \mathbb R$, $f(x) = x^2 + \dfrac2x$

a) $f'(x)$

$f'(x) = 2x - \dfrac{2}{x^2}$. Barem: 2p, 3p.

b) Tangenta în $A(2, 5)$

$f(2) = 4 + 1 = 5$, $f'(2) = 4 - \dfrac12 = \dfrac72$:

$y - 5 = \frac72(x - 2) \iff y = \frac72x - 2.$

Răspuns: $y = \dfrac72x - 2$. Barem: 2p, 2p, 1p.

c) Asimptota verticală

$\lim_{\substack{x\to0\\x<0}}\left(x^2 + \frac2x\right) = -\infty, \qquad \lim_{\substack{x\to0\\x>0}}\left(x^2 + \frac2x\right) = +\infty.$

Răspuns: dreapta $x = 0$. Barem: 4p, 1p.

2. $f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt x}$, $g(x) = 2\sqrt x(\ln x - 2)$, pe $(0, +\infty)$

a) $g$ este primitivă a lui $f$

$g'(x) = \frac{1}{\sqrt x}(\ln x - 2) + 2\sqrt x\cdot\frac1x = \frac{\ln x - 2 + 2}{\sqrt x} = \frac{\ln x}{\sqrt x} = f(x).$

Barem: 1p, 3p, 1p.

b) $\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx$

$g(4) - g(1) = 4(\ln 4 - 2) - 2(0 - 2) = 8\ln 2 - 8 + 4 = 8\ln2 - 4.$

Răspuns: $8\ln 2 - 4$. Barem: 1p, 2p, 2p.

c) $\displaystyle\int_1^{e^2} 2^{g(x)}f(x)\,dx$

Cum $f = g'$, integrandul este $2^{g}g'$, cu primitiva $\dfrac{2^{g(x)}}{\ln 2}$. $g(e^2) = 2e(2 - 2) = 0$, $g(1) = -4$:

$\frac{2^0 - 2^{-4}}{\ln 2} = \frac{1 - \frac1{16}}{\ln2} = \frac{15}{16\ln2}.$

Răspuns: $\dfrac{15}{16\ln 2}$. Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$S_7 = 56$
I.2	$A(4, 7)$
I.3	$x = \pm3$
I.4	$3600$
I.5	$m \in \{-1, 2\}$
I.6	$\cos x = \tfrac{2\sqrt2}{3}$
II.1.a	$(m-1)^2$
II.1.b	$(1, -1, 3)$
II.2.c	$4$
III.1.b	$y = \tfrac72x - 2$
III.1.c	$x = 0$
III.2.b	$8\ln2 - 4$
III.2.c	$\tfrac{15}{16\ln2}$

Ce merită reținut din varianta 10

• Semnul funcțiilor trigonometrice se alege după cadran.
• Legea $(x-a)(y-a) + a$ este asociativă și are pe $a$ element absorbant.
• $\int a^{g(x)}g'(x)\,dx = \frac{a^{g(x)}}{\ln a}$ — recunoaște derivata funcției din exponent.