Rezolvare BAC 2011 Matematică M2 (științe ale naturii) — August–Septembrie, varianta 2

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2011 la Matematică (M2 — științe ale naturii / filiera tehnologică), sesiunea august–septembrie, varianta 2. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresia aritmetică cu $a_2 = 6$, $a_3 = 5$; $a_6$

$r = a_3 - a_2 = -1$, deci $a_6 = a_3 + 3r = 5 - 3 = 2$.

Răspuns: $a_6 = 2$. Barem: 2p, 3p.

2. Soluțiile întregi ale inecuației $2x^2 - x - 3 \le 0$

Rădăcinile: $x = -1$ și $x = \dfrac32$; trinomul (cu $a = 2 > 0$) este $\le 0$ între rădăcini: $x \in \left[-1, \dfrac32\right]$.

Răspuns: $x \in \{-1, 0, 1\}$. Barem: 3p, 2p.

3. $\log_3(x + 2) - \log_3(x - 4) = 1$

Condiții: $x > 4$. $\log_3\dfrac{x+2}{x-4} = 1 \iff x + 2 = 3(x - 4) \iff x = 7$, care convine.

Răspuns: $x = 7$. Barem: 1p, 2p, 2p.

4. O scumpire cu $5\%$ crește prețul cu 12 lei; prețul inițial

$\dfrac{5}{100}x = 12 \iff x = 240$.

Răspuns: 240 de lei. Barem: 3p, 2p.

5. Mediatoarea segmentului $[AB]$, $A(1,4)$, $B(5,0)$

Mijlocul $M(3, 2)$; $m_{AB} = \dfrac{0 - 4}{5 - 1} = -1$, deci mediatoarea (perpendiculară pe $AB$) are panta $1$:

$y - 2 = x - 3 \iff y = x - 1.$

Răspuns: $y = x - 1$. Barem: 1p, 2p, 2p.

6. Raza cercului circumscris, $BC = 9$, $m(\angle BAC) = 120^\circ$

$\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$, iar din teorema sinusurilor:

$R = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{9}{\sqrt3} = 3\sqrt3.$

Răspuns: $R = 3\sqrt3$. Barem: 2p, 2p, 1p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $D(x,y) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & x & y\\ 1 & x + 1 & y + 1\end{vmatrix}$, $x, y \in \mathbb Z$

Calcul general (scădem linia 1 din linia 2 și linia 2 din linia 3):

$D(x,y) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & x - 1 & y - 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix} = (x - 1) - (y - 1) = x - y.$

a) $D(-1, 1)$

$D(-1, 1) = -1 - 1 = -2$. Răspuns: $-2$. Barem: 2p, 3p.

b) $x$ cu $D(x, 2010) = 1$

$x - 2010 = 1 \iff x = 2011$. Răspuns: $x = 2011$. Barem: 1p, 2p, 2p.

c) $D(x,y)\cdot D(x,-y) = D(x^2, y^2)$

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2 = D(x^2, y^2). \ \blacksquare$

Barem: 2p, 2p, 1p.

2. Legea $x * y = 2xy - 6x - 6y + 21$

a) $x * y = 2(x - 3)(y - 3) + 3$

$2(x - 3)(y - 3) + 3 = 2xy - 6x - 6y + 18 + 3 = x * y.$

Barem: 3p, 2p.

b) Asociativitatea

$(x * y) * z = 2\big(2(x-3)(y-3)\big)(z - 3) + 3 = 4(x - 3)(y - 3)(z - 3) + 3,$

$x * (y * z) = 2(x - 3)\big(2(y-3)(z-3)\big) + 3 = 4(x - 3)(y - 3)(z - 3) + 3.$

Egale, deci legea este asociativă. Barem: 2p, 2p, 1p.

c) $1 * 2 * \ldots * 2011$

$x * 3 = 3 * x = 3$ pentru orice $x$. Grupând: $(1 * 2) * 3 * (4 * \ldots * 2011) = 3$.

Răspuns: $3$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = x^3 + x^2 + x + 3^x$

a) $f'(0)$

$f'(x) = 3x^2 + 2x + 1 + 3^x\ln3$, deci $f'(0) = 1 + \ln 3$.

Răspuns: $1 + \ln 3$. Barem: 3p, 2p.

b) $f$ crescătoare pe $\mathbb R$

$3x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + (x + 1)^2 > 0$ (nu se anulează simultan ambii termeni), iar $3^x\ln3 > 0$. Deci $f'(x) > 0$ și $f$ este (strict) crescătoare. Barem: 3p, 2p.

c) $a^3 + a^2 + a - b^3 - b^2 - b \le 3^b - 3^a$ pentru $a \le b$

$f$ crescătoare și $a \le b$ $\Rightarrow f(a) \le f(b)$:

$a^3 + a^2 + a + 3^a \le b^3 + b^2 + b + 3^b \iff a^3 + a^2 + a - b^3 - b^2 - b \le 3^b - 3^a. \ \blacksquare$

Barem: 3p, 1p, 1p.

2. $f_n:[0,1] \to \mathbb R$, $f_n(x) = x^ne^x$

a) $\displaystyle\int_0^1\frac{f_1(x)}{e^x}dx$

$\int_0^1 x\,dx = \frac12.$

Răspuns: $\dfrac12$. Barem: 3p, 2p.

b) $\displaystyle\int_0^1 f_1(x)\,dx$

Prin părți ($u = x$, $v' = e^x$):

$\int_0^1 xe^x\,dx = xe^x\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1.$

Răspuns: $1$. Barem: 2p, 2p, 1p.

c) $\displaystyle\int_0^1 f_n(x^2)\,dx \ge \frac{1}{2n+1}$

$f_n(x^2) = x^{2n}e^{x^2}$. Cum $x^2 \ge 0$, $e^{x^2} \ge 1$, deci $x^{2n}e^{x^2} \ge x^{2n}$ și

$\int_0^1 f_n(x^2)\,dx \ge \int_0^1 x^{2n}dx = \frac{1}{2n+1}. \ \blacksquare$

Barem: 1p, 2p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$a_6 = 2$
I.2	$\{-1, 0, 1\}$
I.3	$x = 7$
I.4	240 lei
I.5	$y = x - 1$
I.6	$R = 3\sqrt3$
II.1.a	$-2$
II.1.b	$x = 2011$
II.2.c	$3$
III.1.a	$1 + \ln3$
III.2.a	$\tfrac12$
III.2.b	$1$

Ce merită reținut din varianta 2

• Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului și are panta $-\frac{1}{m_{AB}}$.
• Determinanți cu linii aproape egale: scade liniile între ele înainte de a dezvolta.
• Inegalități din monotonie: $a \le b \Rightarrow f(a) \le f(b)$, apoi rearanjezi termenii.
• Minorarea integralei: $e^{x^2} \ge 1$ simplifică integrandul la o putere.