Rezolvare BAC 2010 Matematică M2 (științe ale naturii) — August–Septembrie, varianta 6

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2010 la Matematică M2 (profil real, științele naturii, și filiera tehnologică), sesiunea august–septembrie, varianta 6. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $x \in \mathbb Z$ cu $-1 \le \frac{x+1}{3} \le 1$

Înmulțim cu $3$: $-3 \le x + 1 \le 3 \iff -4 \le x \le 2$.

Răspuns: $x \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$. Barem: 2p + 2p + 1p.

2. Funcția de gradul al doilea prin $A(0,0)$, $B(2,2)$, $C(-1,2)$

Fie $f(x) = ax^2 + bx + c$.

$\begin{cases} f(0) = 0\\ f(2) = 2\\ f(-1) = 2\end{cases} \iff \begin{cases} c = 0\\ 4a + 2b = 2\\ a - b = 2\end{cases}$

Din a doua: $2a + b = 1$; adunând cu $a - b = 2$: $3a = 3$, $a = 1$, $b = -1$.

Răspuns: $f(x) = x^2 - x$. Barem: 3p sistemul, 2p soluția.

3. Ecuația $\log_2(x+3) - \log_2 x = 2$

Condiții: $x > 0$. Atunci $\log_2\dfrac{x+3}{x} = 2 \iff \dfrac{x+3}{x} = 4 \iff x + 3 = 4x \iff x = 1$.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 1p condițiile, 2p ecuația, 2p soluția.

4. Probabilitatea ca $n \in \{1,2,3,4\}$ să verifice $2^n \ge n^2$

$n$	$2^n$	$n^2$	$2^n \ge n^2$?
1	2	1	da
2	4	4	da
3	8	9	nu
4	16	16	da

$p = \frac34.$

Barem: 1p formula, 1p cazurile posibile, 2p cazurile favorabile, 1p probabilitatea.

5. $C$ cu $\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$; $A(2,0)$, $B(1,-1)$

$2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2(2\vec i) + (\vec i - \vec j) = 5\vec i - \vec j.$

Răspuns: $C(5, -1)$. Barem: 3p vectorul, 2p coordonatele.

6. Raza cercului circumscris, $AB = 6$, $C = 30^\circ$

Teorema sinusurilor: $\dfrac{AB}{\sin C} = 2R$:

$R = \frac{6}{2\cdot\frac12} = 6.$

Răspuns: $R = 6$. Barem: 3p formula, 2p calculul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

a) $\det A$

Matricea este inferior triunghiulară, deci determinantul este produsul diagonalei: $\det A = 1$.

Barem: 3p scrierea, 2p calculul.

b) Verificați $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Notăm $B$ matricea propusă.

$A\cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 - 1 & 0 & 1\end{pmatrix} = I_3, \qquad B\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 + 1 & 0 & 1\end{pmatrix} = I_3.$

Deci $B = A^{-1}$. Barem: 2p + 2p produsele, 1p concluzia.

c) $A\cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 3\end{pmatrix}$

Înmulțim la stânga cu $A^{-1}$:

$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 2 & 2 & 2\end{pmatrix}.$

(Linia a treia: $-1\cdot1 + 1\cdot3 = 2$.) Barem: 3p formula, 2p calculul.

2. $f = X^3 + \hat2X^2 \in \mathbb Z_3[X]$, $G = \{aX^3 + bX^2 + cX + d \mid a,b,c,d \in \mathbb Z_3\}$

a) $f(\hat1)$

$f(\hat1) = \hat1 + \hat2 = \hat3 = \hat0.$

Barem: 2p + 3p.

b) Rădăcinile lui $f$

$f = X^2(X + \hat2)$. Rădăcinile: $\hat0$ (din $X^2$) și $X = -\hat2 = \hat1$. Verificare pentru $\hat2$: $\hat8 + \hat8 = \widehat{16} = \hat1 \ne \hat0$.

Răspuns: $\hat0$ și $\hat1$. Barem: 2p factorizarea, 3p rădăcinile.

c) Numărul elementelor lui $G$

Fiecare coeficient $a, b, c, d$ poate lua 3 valori, independent:

$|G| = 3^4 = 81.$

Barem: 3p raționamentul, 2p rezultatul.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:[0,1]\to\mathbb R$, $f(x) = \dfrac{e^x}{1+x}$

a) $\dfrac{f'(x)}{f(x)} = \dfrac{x}{x+1}$

$f'(x) = \frac{e^x(1+x) - e^x}{(1+x)^2} = \frac{xe^x}{(x+1)^2},$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}\cdot\frac{x+1}{e^x} = \frac{x}{x+1}.$

Barem: 3p derivata, 2p raportul.

b) $f$ este crescătoare pe $[0,1]$

$f'(x) = \dfrac{xe^x}{(x+1)^2} \ge 0$ pentru $x \in [0,1]$, deci $f$ este crescătoare. Barem: 2p semnul, 3p concluzia.

c) $\dfrac2e \le \dfrac{1}{f(x)} \le 1$ pentru $x\in[0,1]$

Din monotonie: $f(0) \le f(x) \le f(1)$, adică $1 \le f(x) \le \dfrac e2$. Trecând la inverse (toate pozitive, sensul se schimbă):

$\frac2e \le \frac{1}{f(x)} \le 1. \ \blacksquare$

Barem: 2p încadrarea lui $f$, 3p finalizarea.

2. $f(x) = \begin{cases}\sqrt{x^2 + 3}, & x \ge 1\\ 2x, & x < 1\end{cases}$

a) $f$ admite primitive pe $\mathbb R$

Pe fiecare ramură $f$ este continuă. În $x = 1$: $\lim\limits_{x\nearrow1} 2x = 2$, $\lim\limits_{x\searrow1}\sqrt{x^2+3} = 2 = f(1)$. Deci $f$ este continuă pe $\mathbb R$ și, prin urmare, admite primitive. Barem: 3p continuitatea în 1, 2p concluzia.

b) Volumul pentru $g = f$ pe $[1,2]$

$V = \pi\int_1^2 (x^2 + 3)\,dx = \pi\left(\frac{x^3}{3} + 3x\right)\Big|_1^2 = \pi\left(\frac{26}{3} - \frac{10}{3}\right) = \frac{16\pi}{3}.$

Răspuns: $V = \dfrac{16\pi}{3}$. Barem: 1p formula, 3p calculul, 1p rezultatul.

c) $\displaystyle\int_1^{\sqrt6} x\cdot f(x)\,dx$

Pe $[1, \sqrt6]$, $f(x) = \sqrt{x^2+3}$. Substituția $t = x^2 + 3$, $dt = 2x\,dx$; $x = 1 \Rightarrow t = 4$, $x = \sqrt6 \Rightarrow t = 9$:

$\int_1^{\sqrt6} x\sqrt{x^2+3}\,dx = \frac12\int_4^9 \sqrt t\,dt = \frac12\cdot\frac23t\sqrt t\Big|_4^9 = \frac13(27 - 8) = \frac{19}{3}.$

Răspuns: $\dfrac{19}{3}$. Barem: 1p scrierea, 4p calculul.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$x \in \{-4, \dots, 2\}$
I.2	$f(x) = x^2 - x$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = \frac34$
I.5	$C(5, -1)$
I.6	$R = 6$
II.1.a	$\det A = 1$
II.1.c	$X = \begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\2&2&2\end{pmatrix}$
II.2.b	$\hat0$, $\hat1$
II.2.c	81
III.2.b	$\frac{16\pi}{3}$
III.2.c	$\frac{19}{3}$

Ce merită reținut din varianta 6

• Funcții definite pe ramuri: continuitatea în punctul de racord garantează existența primitivelor.
• Polinoame peste $\mathbb Z_n$: $-\hat a = \widehat{n-a}$; numărul polinoamelor de grad cel mult $k$ este $n^{k+1}$.
• Monotonie ⇒ încadrare: o funcție crescătoare pe $[a,b]$ ia valori între $f(a)$ și $f(b)$.
• Substituția $t = x^2 + c$ pentru integrale de forma $\int x\sqrt{x^2 + c}\,dx$.