Rezolvare BAC 2011 Matematică M2 (științe ale naturii) — Model oficial

Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2011 la Matematică (profilul real, științe ale naturii, și filiera tehnologică). Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Numerele întregi $x$ cu $-1 \le \dfrac{x+1}{3} < 1$

$-3 \le x + 1 < 3 \iff -4 \le x < 2.$

Răspuns: $x \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1\}$. Barem: 2p, 2p, 1p.

2. Intersecția graficelor lui $f(x) = 2x - 1$ și $g(x) = x^2 - 2x + 3$

$2x - 1 = x^2 - 2x + 3 \iff x^2 - 4x + 4 = 0 \iff (x - 2)^2 = 0 \iff x = 2,$

iar $f(2) = 3$.

Răspuns: $A(2, 3)$ (dreapta este tangentă parabolei). Barem: 1p, 2p, 2p.

3. $2 - \sqrt{2 - x} = x$

Rescriem: $\sqrt{2 - x} = 2 - x$. Condiție $x \le 2$. Notând $t = \sqrt{2 - x} \ge 0$: $t = t^2 \iff t \in \{0, 1\}$, adică $2 - x \in \{0, 1\}$.

(Echivalent, ridicând la pătrat: $2 - x = 4 - 4x + x^2 \iff x^2 - 3x + 2 = 0$.)

Răspuns: $x \in \{1, 2\}$. Barem: 1p, 1p, 2p, 1p.

4. $\dfrac{P_5}{C_5^2 + A_6^2}$

$P_5 = 120$, $C_5^2 = 10$, $A_6^2 = 30$:

$\frac{120}{10 + 30} = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 3p, 2p.

5. Ecuația dreptei $AB$, $A(2,3)$, $B(-1,0)$

$\frac{y - 3}{0 - 3} = \frac{x - 2}{-1 - 2} \iff y - 3 = x - 2 \iff y = x + 1.$

Răspuns: $y = x + 1$. Barem: 3p, 2p.

6. Perimetrul triunghiului $MNP$, $MN = 2$, $MP = 3$, $m(\angle NMP) = 120^\circ$

Teorema cosinusului, cu $\cos120^\circ = -\dfrac12$:

$NP^2 = 4 + 9 - 2\cdot 2\cdot 3\cdot\left(-\tfrac12\right) = 19 \Rightarrow NP = \sqrt{19}.$

Răspuns: perimetrul este $5 + \sqrt{19}$. Barem: 2p, 2p, 1p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}$

a) $\det A$

$1\cdot 1 - 2\cdot 0 = 1$. Barem: 2p, 3p.

b) $A^2 - 2A + I_2$

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad A^2 - 2A + I_2 = \begin{pmatrix} 1 - 2 + 1 & 4 - 4 + 0\\ 0 & 1 - 2 + 1\end{pmatrix} = O_2.$

Răspuns: $O_2$. Barem: 2p, 2p, 1p.

c) Matricele $X$ cu $X^2 = A$

Fie $X = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$; $X^2 = \begin{pmatrix} a^2 + bc & b(a + d)\\ c(a + d) & d^2 + bc\end{pmatrix}$. Egalând cu $A$:

$a^2 + bc = 1,\quad b(a + d) = 2,\quad c(a + d) = 0,\quad d^2 + bc = 1.$

Din a doua, $a + d \ne 0$, deci din a treia $c = 0$. Atunci $a^2 = d^2 = 1$ și, cum $a + d \ne 0$, $a = d$. Apoi $2ab = 2$, adică $b = \dfrac1a = a$.

Răspuns: $X = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ sau $X = \begin{pmatrix} -1 & -1\\ 0 & -1\end{pmatrix}$. Barem: 1p, 3p, 1p.

2. Legea $x * y = xy - 3x - 3y + 12$

a) $x * y = (x - 3)(y - 3) + 3$

$(x - 3)(y - 3) + 3 = xy - 3x - 3y + 9 + 3 = x * y$. Barem: 3p, 2p.

b) $x * x = 19$

$(x - 3)^2 + 3 = 19 \iff (x - 3)^2 = 16 \iff x - 3 = \pm4.$

Răspuns: $x \in \{-1, 7\}$. Barem: 2p, 3p.

c) $\sqrt[3]1 * \sqrt[3]2 * \ldots * \sqrt[3]{2011}$

$x * 3 = 3 * x = 3$ pentru orice $x$, iar printre factori se află $\sqrt[3]{27} = 3$. Folosind asociativitatea:

$\left(\sqrt[3]1 * \ldots * \sqrt[3]{26}\right) * 3 * \left(\sqrt[3]{28} * \ldots * \sqrt[3]{2011}\right) = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 2p, 2p, 1p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = e^x - x$

a) $f'(x) - f(x) = x - 1$

$f'(x) = e^x - 1$, deci $f'(x) - f(x) = e^x - 1 - e^x + x = x - 1$. Barem: 3p, 2p.

b) Tangenta în $x = 0$

$f(0) = 1$, $f'(0) = 0$: $y - 1 = 0$.

Răspuns: $y = 1$. Barem: 2p, 2p, 1p.

c) Asimptota oblică spre $-\infty$

$m = \lim_{x\to-\infty}\frac{e^x - x}{x} = \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{e^x}{x} - 1\right) = -1, \qquad n = \lim_{x\to-\infty}(f(x) + x) = \lim_{x\to-\infty}e^x = 0.$

Răspuns: $y = -x$. Barem: 2p, 2p, 1p.

2. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac1x + \dfrac{1}{x + 1}$

a) $\displaystyle\int_1^e\left(f(x) - \frac{1}{x+1}\right)dx$

$\int_1^e\frac1x\,dx = \ln x\Big|_1^e = 1.$

Răspuns: $1$. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) Aria între grafic, $Ox$, $x = 1$, $x = 2$

$f > 0$ pe $[1, 2]$, deci

$\mathcal A = \int_1^2 f(x)\,dx = \big(\ln x + \ln(x + 1)\big)\Big|_1^2 = \ln 2 + \ln 3 - \ln 2 = \ln 3.$

Răspuns: $\ln 3$. Barem: 2p, 2p, 1p.

c) Volumul pentru $g = f|_{[1,2]}$

$g^2(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{2}{x(x+1)}, \qquad \frac{2}{x(x+1)} = 2\left(\frac1x - \frac{1}{x+1}\right).$

$V = \pi\left(-\frac1x - \frac{1}{x+1} + 2\ln\frac{x}{x+1}\right)\Big|_1^2 = \pi\left(\frac12 + \frac16 + 2\ln\frac23 - 2\ln\frac12\right) = \pi\left(\frac23 + 2\ln\frac43\right).$

Răspuns: $V = \pi\left(\dfrac23 + 2\ln\dfrac43\right)$. Barem: 1p, 1p, 2p, 1p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$\{-4, \dots, 1\}$
I.2	$A(2, 3)$
I.3	$x \in \{1, 2\}$
I.4	$3$
I.5	$y = x + 1$
I.6	$5 + \sqrt{19}$
II.1.b	$O_2$
II.1.c	$\pm\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$
II.2.b	$x \in \{-1, 7\}$
II.2.c	$3$
III.1.b	$y = 1$
III.1.c	$y = -x$
III.2.b	$\ln 3$
III.2.c	$\pi(\tfrac23 + 2\ln\tfrac43)$

Ce merită reținut din model

• Element absorbant ascuns: la $(x-3)(y-3)+3$ caută termenul egal cu $3$ ($\sqrt[3]{27}$).
• Rădăcina pătrată a unei matrice: scrie $X$ generic și exploatează ecuația care forțează $c = 0$.
• Descompunerea în fracții simple: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac1x - \frac1{x+1}$.