Rezolvare BAC 2010 Matematică M2 (științe ale naturii) — Rezervă, varianta 8

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2010 la Matematică M2 (filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii; filiera tehnologică), sesiunea de rezervă, varianta 8. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $\log_2(3 + \sqrt5) + \log_2(3 - \sqrt5)$

$\log_2\big((3 + \sqrt5)(3 - \sqrt5)\big) = \log_2(9 - 5) = \log_2 4 = 2.$

Răspuns: $2$. Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = mx^2 + 2x - 5$; $m$ pentru care abscisa vârfului parabolei este $2$

$x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2m} = 2 \iff -\frac1m = 2 \iff m = -\frac12.$

Răspuns: $m = -\dfrac12$. Barem: 3p, 2p.

3. Ecuația $3^{1 - x^2} = \dfrac{1}{27}$

$\frac{1}{27} = 3^{-3}$, deci $1 - x^2 = -3 \iff x^2 = 4 \iff x \in \{-2, 2\}$.

Răspuns: $x \in \{-2, 2\}$. Barem: 3p, 2p.

4. $C_6^2 - A_4^2$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!\cdot 4!} = 15, \qquad A_4^2 = \frac{4!}{2!} = 12, \qquad C_6^2 - A_4^2 = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 2p, 2p, 1p.

5. $O(0,0)$, $A(2,-2)$, $B(6,8)$; distanța de la $O$ la mijlocul lui $(AB)$

Mijlocul: $C\left(\frac{2 + 6}{2}, \frac{-2 + 8}{2}\right) = C(4, 3)$.

$OC = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.$

Răspuns: $5$. Barem: 2p, 3p.

6. $\cos 130^\circ + \cos 50^\circ$

$\cos(180^\circ - x) = -\cos x$, deci $\cos 130^\circ = -\cos 50^\circ$ și

$\cos 130^\circ + \cos 50^\circ = 0.$

Răspuns: $0$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ 1 & 3 & -1\\ m & 0 & 2\end{pmatrix}$ și sistemul $\begin{cases} x - y - z = -2\\ x + 3y - z = -2\\ mx + 2z = 4\end{cases}$

a) Determinantul matricei $A$

Regula lui Sarrus:

$\det A = 6 + m + 0 - (-3m) - 0 - (-2) = 8 + 4m.$

Răspuns: $\det A = 4m + 8$. Barem: 3p, 2p.

b) $m$ pentru care $A$ este inversabilă

$A$ inversabilă $\iff \det A \ne 0 \iff 8 + 4m \ne 0 \iff m \ne -2$.

Răspuns: $m \in \mathbb R\setminus\{-2\}$. Barem: 3p, 2p.

c) Rezolvați sistemul pentru $m = -1$

$\det A = 4 \ne 0$, sistem Cramer. Scăzând prima ecuație din a doua: $4y = 0$, deci $y = 0$. Rămân:

$\begin{cases} x - z = -2\\ -x + 2z = 4\end{cases} \Rightarrow z = 2,\ x = 0.$

Răspuns: $(x, y, z) = (0, 0, 2)$. Barem: 2p, 3p.

2. $x \circ y = 2xy - 2x - 2y + 3$

a) $x \circ y = 2(x - 1)(y - 1) + 1$

$2(x-1)(y-1) + 1 = 2xy - 2x - 2y + 2 + 1 = x \circ y.$

Barem: 2p, 3p.

b) Elementul neutru

Legea e comutativă; căutăm $e$ cu $x \circ e = x$ pentru orice $x$:

$2(x-1)(e-1) + 1 = x \iff 2(x-1)(e-1) = x - 1,\ \forall x \iff 2(e - 1) = 1 \iff e = \frac32.$

Răspuns: $e = \dfrac32$. Barem: 2p, 3p.

c) Un exemplu de $a, b \in \mathbb Q\setminus\mathbb Z$ cu $a \circ b \in \mathbb Z$

Alegem $a - 1 = \frac32$ și $b - 1 = \frac23$, adică $a = \frac52$, $b = \frac53$ (ambele raționale, neîntregi):

$\frac52\circ\frac53 = 2\cdot\frac32\cdot\frac23 + 1 = 3 \in \mathbb Z.$

Răspuns (un exemplu): $a = \frac52$, $b = \frac53$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$

a) $f'(x)$

$f'(x) = \frac{(x^2 + 3)'}{2\sqrt{x^2 + 3}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}}.$

Barem: 3p, 2p.

b) Tangenta în $A(1, 2)$

$f(1) = 2$, $f'(1) = \dfrac12$:

$y - 2 = \frac12(x - 1) \iff y = \frac12x + \frac32.$

Răspuns: $y = \dfrac12x + \dfrac32$. Barem: 1p, 2p, 2p.

c) Asimptota oblică spre $+\infty$

$m = \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}}{x} = \lim_{x\to+\infty}\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}} = 1,$

$n = \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3} - x\right) = \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{\sqrt{x^2+3} + x} = 0.$

Răspuns: asimptota oblică spre $+\infty$ este $y = x$. Barem: 2p, 1p, 1p, 1p.

2. $f_n:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f_n(x) = x^n\ln x$

a) $\displaystyle\int_e^{e^2}\frac{\ln x}{f_1(x)}\,dx$

$f_1(x) = x\ln x$, deci $\dfrac{\ln x}{x\ln x} = \dfrac1x$ (pe $[e, e^2]$, $\ln x \ne 0$):

$\int_e^{e^2}\frac1x\,dx = \ln x\Big|_e^{e^2} = 2 - 1 = 1.$

Răspuns: $1$. Barem: 1p, 1p, 1p, 2p.

b) Primitivele lui $f_1$ sunt convexe pe $\left[\frac1e, +\infty\right)$

Dacă $F' = f_1$, atunci $F''(x) = f_1'(x) = \ln x + x\cdot\frac1x = 1 + \ln x$.

Pentru $x \ge \frac1e$: $\ln x \ge -1$, deci $F''(x) = 1 + \ln x \ge 0$, iar $F$ este convexă pe $\left[\frac1e, +\infty\right)$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

c) $\displaystyle\int_1^e\frac{f_{2009}(x)}{x^{2010}}\,dx$

$\dfrac{x^{2009}\ln x}{x^{2010}} = \dfrac{\ln x}{x} = \ln x\cdot(\ln x)'$:

$\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e = \frac12 - 0 = \frac12.$

Răspuns: $\dfrac12$. Barem: 1p, 1p, 2p, 1p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$2$
I.2	$m = -\tfrac12$
I.3	$x \in \{-2, 2\}$
I.4	$3$
I.5	$5$
I.6	$0$
II.1.a	$4m + 8$
II.1.b	$m \ne -2$
II.1.c	$(0, 0, 2)$
II.2.b	$e = \tfrac32$
III.1.b	$y = \tfrac12x + \tfrac32$
III.1.c	$y = x$
III.2.a	$1$
III.2.c	$\tfrac12$

Ce merită reținut din varianta 8

• Produsul conjugatelor $(a + \sqrt b)(a - \sqrt b) = a^2 - b$ simplifică sume de logaritmi.
• Unghiuri suplementare: $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$, $\sin(180^\circ - x) = \sin x$.
• Asimptota oblică $y = mx + n$: $m = \lim\frac{f(x)}{x}$, $n = \lim(f(x) - mx)$.
• Convexitatea unei primitive se studiază cu $F'' = f'$.
• $\int\frac{\ln x}{x}dx = \frac{\ln^2 x}{2}$ — forma $u\cdot u'$.