Rezolvare BAC 2011 Matematică M2 (științe ale naturii) — Sesiune specială, varianta 7

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2011 la Matematică M2 (profil real, științele naturii, și filiera tehnologică), sesiunea specială, varianta 7. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și punctajul cerinței. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Pentru această variantă nu avem baremul oficial publicat, așa că punctajul este indicat la nivel de cerință (5 puncte fiecare); orice rezolvare corectă primește punctajul integral.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Comparați $a = \log_2 4$ și $b = \sqrt[3]{27}$

$a = \log_2 2^2 = 2$, $b = \sqrt[3]{3^3} = 3$. Deci $a < b$.

Răspuns: $a < b$. Punctaj: 5p.

2. Inecuația $3x^2 - 11x + 6 \le 0$

$\Delta = 121 - 72 = 49$, rădăcinile $x_{1,2} = \dfrac{11 \pm 7}{6}$, adică $\dfrac23$ și $3$. Coeficientul lui $x^2$ este pozitiv, deci trinomul este $\le 0$ între rădăcini.

Răspuns: $x \in \left[\dfrac23, 3\right]$. Punctaj: 5p.

3. Ecuația $3^{x^2 + x + 1} = 3^{5x - 2}$

Funcția exponențială este injectivă:

$x^2 + x + 1 = 5x - 2 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \iff (x-1)(x-3) = 0.$

Răspuns: $x \in \{1, 3\}$. Punctaj: 5p.

4. $n \ge 2$ cu $C_n^1 + C_n^2 = 15$

$n + \frac{n(n-1)}{2} = 15 \iff 2n + n^2 - n = 30 \iff n^2 + n - 30 = 0 \iff (n+6)(n-5) = 0.$

Răspuns: $n = 5$. Punctaj: 5p.

5. $A_m(2m - 1, m^2)$ pe dreapta $d: x - y + 1 = 0$

$2m - 1 - m^2 + 1 = 0 \iff 2m - m^2 = 0 \iff m(2 - m) = 0.$

Răspuns: $m \in \{0, 2\}$. Punctaj: 5p.

6. $\cos x$, știind $0^\circ < x < 90^\circ$ și $\sin x = \frac{12}{13}$

$\cos^2 x = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}.$

În cadranul I, $\cos x > 0$, deci $\cos x = \dfrac{5}{13}$. Punctaj: 5p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $G = \left\{\begin{pmatrix} a & b\\ b & a\end{pmatrix} \,\middle|\, a, b \in \mathbb N\right\}$

a) $m, n$ naturale cu $\begin{pmatrix} 4 & m^2\\ 9 & n^2\end{pmatrix} \in G$

Trebuie ca elementele de pe diagonală să fie egale și cele din afara diagonalei să fie egale: $n^2 = 4$ și $m^2 = 9$. Cu $m, n$ naturale: $m = 3$, $n = 2$.

Răspuns: $m = 3$, $n = 2$. Punctaj: 5p.

b) $U, V \in G \Rightarrow U\cdot V \in G$

Fie $U = \begin{pmatrix} a & b\\ b & a\end{pmatrix}$, $V = \begin{pmatrix} c & d\\ d & c\end{pmatrix}$, cu $a, b, c, d \in \mathbb N$.

$U\cdot V = \begin{pmatrix} ac + bd & ad + bc\\ bc + ad & bd + ac\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & q\\ q & p\end{pmatrix},$

cu $p = ac + bd \in \mathbb N$ și $q = ad + bc \in \mathbb N$. Deci $U\cdot V \in G$. $\blacksquare$ Punctaj: 5p.

c) Suma elementelor lui $U$, dacă suma elementelor lui $U^2$ este $8$

$U^2 = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & 2ab\\ 2ab & a^2 + b^2\end{pmatrix}, \quad \text{suma} = 2(a^2 + b^2) + 4ab = 2(a+b)^2.$

$2(a+b)^2 = 8 \iff (a+b)^2 = 4 \iff a + b = 2$ ($a + b \ge 0$). Suma elementelor lui $U$ este $2a + 2b = 2(a+b) = 4$.

Răspuns: $4$. Punctaj: 5p.

2. $f = X^4 - X^3 - 4X^2 + 2X + 4$

a) Restul împărțirii la $g = X - \sqrt2$ este $0$

Teorema restului: restul este $f(\sqrt2)$. Cu $(\sqrt2)^2 = 2$, $(\sqrt2)^3 = 2\sqrt2$, $(\sqrt2)^4 = 4$:

$f(\sqrt2) = 4 - 2\sqrt2 - 8 + 2\sqrt2 + 4 = 0. \ \blacksquare$

Punctaj: 5p.

b) Ecuația $f(x) = 0$

Analog, $f(-\sqrt2) = 4 + 2\sqrt2 - 8 - 2\sqrt2 + 4 = 0$, deci $f$ se divide cu $(X - \sqrt2)(X + \sqrt2) = X^2 - 2$:

$f = (X^2 - 2)(X^2 - X - 2) = (X^2 - 2)(X - 2)(X + 1).$

(Verificare: $(X^2 - 2)(X^2 - X - 2) = X^4 - X^3 - 2X^2 - 2X^2 + 2X + 4$ ✔.)

Răspuns: $x \in \{-\sqrt2, -1, \sqrt2, 2\}$. Punctaj: 5p.

c) $16^x - 8^x - 4\cdot4^x + 2\cdot2^x + 4 = 0$

Cu $t = 2^x > 0$ ecuația devine $t^4 - t^3 - 4t^2 + 2t + 4 = 0$, adică $f(t) = 0$. Din b), rădăcinile pozitive sunt $t = \sqrt2$ și $t = 2$:

• $2^x = \sqrt2 = 2^{\frac12} \Rightarrow x = \dfrac12$;
• $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$.

Răspuns: $x \in \left\{\dfrac12, 1\right\}$. Punctaj: 5p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \begin{cases}\dfrac{x+1}{x}, & x > 1\\[2mm] x + 1, & 0 < x \le 1\end{cases}$

a) $f$ este continuă în $x_0 = 1$

$\lim_{x\nearrow1}(x + 1) = 2, \qquad \lim_{x\searrow1}\frac{x+1}{x} = 2, \qquad f(1) = 2.$

Limitele laterale sunt egale cu valoarea funcției, deci $f$ este continuă în $1$. Punctaj: 5p.

b) $f$ este convexă pe $(1, +\infty)$

Pe $(1,+\infty)$: $f(x) = 1 + \dfrac1x$, $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$, $f''(x) = \dfrac{2}{x^3} > 0$. Deci $f$ este convexă pe $(1, +\infty)$. Punctaj: 5p.

c) $f(x) + f\left(\frac1x\right) \le 4$ pentru $x > 0$

• $x = 1$: $f(1) + f(1) = 4$ ✔.
• $x > 1$: atunci $\frac1x \in (0, 1)$, deci $f(x) = 1 + \frac1x$ și $f\left(\frac1x\right) = \frac1x + 1$. Suma: $2 + \frac2x < 2 + 2 = 4$.
• $0 < x < 1$: atunci $\frac1x > 1$, deci $f(x) = x + 1$ și $f\left(\frac1x\right) = \dfrac{\frac1x + 1}{\frac1x} = 1 + x$. Suma: $2 + 2x < 4$.

În toate cazurile $f(x) + f\left(\frac1x\right) \le 4$. $\blacksquare$ Punctaj: 5p.

2. $f(x) = e^x\ln x$, $g(x) = \dfrac{e^x}{x}$, $x > 0$

a) $\displaystyle\int_1^2 x\cdot g(x)\,dx$

$x\cdot g(x) = e^x$:

$\int_1^2 e^x\,dx = e^x\Big|_1^2 = e^2 - e.$

Răspuns: $e^2 - e$. Punctaj: 5p.

b) $\displaystyle\int_e^{e^2}\frac{f(x)}{x\cdot e^x}\,dx$

$\dfrac{e^x\ln x}{xe^x} = \dfrac{\ln x}{x}$:

$\int_e^{e^2}\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{\ln^2 x}{2}\Big|_e^{e^2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac32.$

Răspuns: $\dfrac32$. Punctaj: 5p.

c) $\displaystyle\int_1^e\big(f(x) + g(x)\big)dx = e^e$

Observăm că $f + g$ este derivata lui $f$ ca produs: $(e^x\ln x)' = e^x\ln x + \dfrac{e^x}{x} = f(x) + g(x)$. Deci

$\int_1^e\big(f(x) + g(x)\big)dx = e^x\ln x\Big|_1^e = e^e\cdot1 - e\cdot0 = e^e. \ \blacksquare$

Punctaj: 5p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$a = 2 < b = 3$
I.2	$x \in [\frac23, 3]$
I.3	$x \in \{1, 3\}$
I.4	$n = 5$
I.5	$m \in \{0, 2\}$
I.6	$\cos x = \frac{5}{13}$
II.1.a	$m = 3$, $n = 2$
II.1.c	$4$
II.2.b	$\{-\sqrt2, -1, \sqrt2, 2\}$
II.2.c	$x \in \{\frac12, 1\}$
III.2.a	$e^2 - e$
III.2.b	$\frac32$
III.2.c	$e^e$

Ce merită reținut din varianta 7

• Rădăcini iraționale conjugate: dacă $\sqrt2$ e rădăcină a unui polinom cu coeficienți raționali, atunci și $-\sqrt2$ este; împarte la $X^2 - 2$.
• Ecuații exponențiale cu $2^x, 4^x, 8^x, 16^x$: substituția $t = 2^x$ le reduce la o ecuație polinomială — păstrează doar $t > 0$.
• Inegalități cu $f(x) + f\left(\frac1x\right)$ pentru funcții pe ramuri: analizează separat $x < 1$, $x = 1$, $x > 1$.
• $(e^x\ln x)' = e^x\ln x + \frac{e^x}{x}$ — recunoaște derivata unui produs în integrand.