Rezolvare BAC 2014 Matematică M2 (științe ale naturii) — Sesiune specială, varianta 9

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2014 la Matematică M_șt-nat, sesiunea specială, varianta 9. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $z = 2 + 3i$; calculați $z^2$

$z^2 = 2^2 + 2\cdot 2\cdot 3i + (3i)^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i.$

Răspuns: $z^2 = -5 + 12i$. Barem: 3p, 2p.

2. Punctul de intersecție a graficului lui $f(x) = x^2 - 6x + 9$ cu axa $Ox$

$f(x) = 0 \iff (x - 3)^2 = 0 \iff x = 3$ (graficul este tangent la $Ox$).

Răspuns: $(3, 0)$. Barem: 3p, 2p.

3. Ecuația $\log_9(x^2 + 5) = 1$

$x^2 + 5 = 9 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2$ (ambele verifică, $x^2 + 5 > 0$ mereu).

Răspuns: $x \in \{-2, 2\}$. Barem: 3p, 2p.

4. Probabilitatea ca un număr de două cifre să fie divizibil cu 13

Multiplii lui 13 de două cifre: $13, 26, 39, 52, 65, 78, 91$ — 7 cazuri favorabile; 90 posibile.

$p = \frac{7}{90}.$

Barem: 2p, 1p, 2p.

5. Aria triunghiului cu $A(-2, 0)$, $B(2, 0)$, $C(0, 3)$

$A, B$ sunt pe $Ox$, cu $AB = 4$; $C$ este pe $Oy$, deci $CO = 3$ este înălțimea din $C$.

$\mathcal A_{ABC} = \frac{AB\cdot CO}{2} = \frac{4\cdot 3}{2} = 6.$

Răspuns: $6$. Barem: 3p, 2p.

6. $E(x) = \cos x + \sin\frac x2$; calculați $E\left(\frac\pi2\right)$

$E\left(\frac\pi2\right) = \cos\frac\pi2 + \sin\frac\pi4 = 0 + \frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2}{2}.$

Răspuns: $\dfrac{\sqrt2}{2}$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(a) = \begin{pmatrix} 2a + 1 & 1\\ 1 - a & 2\end{pmatrix}$

a) $\det(A(1))$

$\det A(1) = \begin{vmatrix} 3 & 1\\ 0 & 2\end{vmatrix} = 6.$

Răspuns: $6$. Barem: 3p, 2p.

b) $a$ cu $\det(A(a)) = 1$

$\det A(a) = 2(2a + 1) - (1 - a) = 5a + 1 = 1 \iff a = 0.$

Răspuns: $a = 0$. Barem: 3p, 2p.

c) Inversa matricei $A(0)$

$A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}$, $\det A(0) = 1$. Pentru $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$, inversa este $\frac{1}{\det}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}$:

$(A(0))^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix}.$

Barem: 2p, 3p.

2. $x \circ y = 2xy - 3x - 3y + 6$

a) $1 \circ 2$

$1\circ 2 = 4 - 3 - 6 + 6 = 1.$

Răspuns: $1$. Barem: 3p, 2p.

b) $x \circ y = 2\left(x - \frac32\right)\left(y - \frac32\right) + \frac32$

$2\left(xy - \frac32x - \frac32y + \frac94\right) + \frac32 = 2xy - 3x - 3y + \frac92 + \frac32 = 2xy - 3x - 3y + 6.$

Barem: 2p, 3p.

c) Ecuația $x \circ x = 2$

$2\left(x - \frac32\right)^2 + \frac32 = 2 \iff \left(x - \frac32\right)^2 = \frac14 \iff x - \frac32 = \pm\frac12.$

Răspuns: $x \in \{1, 2\}$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(-\infty, 2) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{e^{-x}}{x - 2}$

a) $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$

$f$ este continuă în $1$:

$\lim_{x\to 1} f(x) = \frac{e^{-1}}{1 - 2} = -\frac1e.$

Răspuns: $-\dfrac1e$. Barem: 3p, 2p.

b) $f'(x) = \dfrac{(1 - x)e^{-x}}{(x - 2)^2}$

$f'(x) = \frac{-e^{-x}(x - 2) - e^{-x}}{(x-2)^2} = \frac{-e^{-x}(x - 1)}{(x-2)^2} = \frac{(1 - x)e^{-x}}{(x-2)^2}.$

Barem: 3p, 2p.

c) $f(x) \le -\frac1e$ pentru $x \in (-\infty, 2)$

$f'(1) = 0$, $f' > 0$ pe $(-\infty, 1)$, $f' < 0$ pe $(1, 2)$. Deci $x = 1$ este punct de maxim global:

$f(x) \le f(1) = -\frac1e. \ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

2. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{\ln x}{x + 1}$

a) $\displaystyle\int_1^2 (x + 1)f(x)\,dx = 2\ln 2 - 1$

$\int_1^2\ln x\,dx = x\ln x\Big|_1^2 - \int_1^2 1\,dx = 2\ln 2 - 1.$

Barem: 3p, 2p.

b) $\displaystyle\int_1^e\big(f(x) + (x + 1)f'(x)\big)dx = 1$

Integrandul este $\big((x + 1)f(x)\big)' = (\ln x)'$:

$\int_1^e\big((x+1)f(x)\big)'\,dx = (x + 1)f(x)\Big|_1^e = \ln e - \ln 1 = 1.$

Barem: 3p, 2p.

c) Volumul corpului de rotație pentru $g:[2, 3] \to \mathbb R$, $g(x) = \dfrac{\ln x}{f(x)}$

$g(x) = x + 1$:

$V = \pi\int_2^3(x + 1)^2\,dx = \pi\frac{(x+1)^3}{3}\Big|_2^3 = \pi\cdot\frac{64 - 27}{3} = \frac{37\pi}{3}.$

Răspuns: $V = \dfrac{37\pi}{3}$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$-5 + 12i$
I.2	$(3, 0)$
I.3	$x \in \{-2, 2\}$
I.4	$p = \tfrac{7}{90}$
I.5	$6$
I.6	$\tfrac{\sqrt2}{2}$
II.1.a	$6$
II.1.b	$a = 0$
II.1.c	$\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}$
II.2.a	$1$
II.2.c	$x \in \{1, 2\}$
III.1.a	$-\tfrac1e$
III.2.c	$\tfrac{37\pi}{3}$

Ce merită reținut din varianta 9

• Parabolă tangentă la $Ox$: $\Delta = 0$, un singur punct de intersecție.
• Aria unui triunghi cu o latură pe o axă: bază $\times$ înălțime $/ 2$, înălțimea fiind distanța până la axă.
• Inversa unei matrice $2\times 2$: schimbi elementele diagonalei principale, schimbi semnul celorlalte, împarți la determinant.
• $f + (x+1)f' = ((x+1)f)'$ — integrala se calculează direct prin Leibniz–Newton.